Уравнения- Лагранжа в независимых координатах

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ [c.78]

Уравнения (14) носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах. [c.49]

Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения в случае натуральной системы были получены из общего уравнения динамики [c.107]

Уравнения Лагранжа в независимых координатах и общее уравнение механики циклические координаты и симметрия силового поля и связей [c.214]

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь подробная информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они [c.214]

Уравнения Лагранжа в независимых координатах [c.219]

Рассмотрим ряд примеров на решение уравнений Лагранжа в независимых координатах. [c.224]

При наличии обобщенно-потенциальных и диссипативных сил уравнения Лагранжа в независимых координатах можно записать в виде [c.234]

Закон изменения обобщенной энергии получим из уравнений Лагранжа в независимых координатах аналогично тому, как из уравнений Ньютона был получен закон изменения энергии (2.132). Умножая каждое из уравнений (5.77) на соот- [c.239]

Лекция 15. Уравнения Лагранжа в независимых координатах [c.118]

Лекция 15. Уравнения Лагранжа в независимых координатах 123 лагранжиан системы имеет вид Ь(д, д, 1) = Г(д, д, 1) — Ч, ), где [c.123]

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа [c.229]

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу дсд центра диска или угол ф отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а и ф являются зависимыми и связаны соотношением = гф. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем ф. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика Л1, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи = гф [c.283]

Уравнения движения системы в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Если неинтегрируемые дифференциальные связи отсутствуют и координаты q независимы, т. е. Ь [c.331]

Уравнения Лагранжа являются уравнениями равновесия системы материальных точек, записанными в независимых координатах. Очень важно выяснить, когда и при каких условиях можно применять эти уравнения, какие преимущества дают эти уравнения при решении задач на равновесие системы. Особенно большое значение здесь имеет определение обобщенных сил. [c.21]

Это необходимое и достаточное условие равновесия системы называется принципом виртуальных перемещений (необходимость и достаточность (5.52) следует из эквивалентности уравнений Лагранжа с реакциями связей и общего уравнения механики (см. с. 217)). Записывая принцип виртуальных перемещений в независимых координатах с помощью (5.42), получим [c.223]

Если исходить из общего уравнения механики (5.27), а в качестве независимых переменных взять координаты то, используя (5.98) и проводя вычисления, аналогичные (5.31) — (5.43), получим уравнения Лагранжа в новых переменных [c.248]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Поск ольку из принципа Гамильтона вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах (и наоборот), то принцип Гамильтона может бить положен в основу динамики голономных систем ). [c.106]

Эти уравнения известны под названием уравнений Лагранжа второго рода. Они представляют собой систему 5 обыкновенных уравненйй второго порядка с 5 неизвестными функциями времени q ,. ..,q . Все 2 произвольных постоянных, которые введутся при интегрировании этих уравнений, будут согласно формуле (32.41) независимы друг от друга. Интегрирование уравнений Лагранжа в независимых координатах представляет собой кратчайший путь для решения вопроса о движении рассматриваемой [c.331]

Итак, уравнения Лагранжа в независимых координатах не содержат реакций связей в качестве неизвестных функций, хотя полностью учитывают влйяние связей на движение механической системы. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные [c.221]

XXXII. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [c.320]

Решение. В отличие от системы, рассмотренно/ в задаче Л 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями. Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины ф и л. .,]. При подсчете кинетической энергии скорость точки А мы уже не можем опре- [c.444]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Уравнения Лагранжа в общем случае. — Предположим, что координаты х, у, г точек системы выражены в функции от / и от обобщенных координат при помощи уравнений (4) предыдущего пункта. В движении системы параметры и координаты х, у, г представляют собой функции от 1. Условимся считать переменные д, - независимыми при частном дифференцировании, которым мы будем пользоваться, и обозначать штрихами полные производные переменных X, у, г и <7,-, рассматриваемых как функции от t. Если-про-ди( ерен1щровать полным образом первую из формул (4) относительно t, то получим в этих обозначениях [c.216]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Различные типы уравнений движения свободного твёрдого тела. Подобно тому, как кинетическая энергия свободного твёрдого тела может быть пре дставлена в той или другой форме, точно так же и уравнения движения могут принимать различный вид. Главных тигюв уравнений движения три, соответствен числу форм кинетической энергии, изложенных выше уравнения движения, отнесённые к неподвижным осям,-уравнения движения, отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, и урав 1ения движения в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Твёрдое тело, не стеснённое никакими связями, имеет Qie Tb степеней свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324) [c.500]

Случай Б. В этом случае все считаются формально независимыми. Условие (1.3) здесь не налагается на а , но должно автоматически выполняться за счет соответствующего выбора матриц кинети ческой и потенциальной энергий и начальных условий. При этом координаты д (и д ) изображающей точки тоже, конечно, считаются независимыми, и условие (2.6) должно выполняться автоматически. (Исключение правой части уравнений Лагранжа в [ приводит, фактически, к формальной независимости применяемых при этом переменных). [c.95]

В предыдущем параграфе было выяснено, насколь ко важен выбор независимых обобщенных координат при составлении уравнений Лагранжа. В свою очередь, вопрос о выборе координат требует более тщательного изучения структуры этих уравнений. С этой целью прежде всего рассмотрим структуру кинетической энергии. [c.229]

Уравнения Лагранжа (5.44) в независимых координатах были получены из общего уравнения механики (5.27), с помощью преобразования (5.28),-представляющего собой преобразование от радиусов-векторов всех точек к обобщенным независимым координатам д. Однако выбор этих координат неоднозначен в самом деле, координаты д всегда можно задать с помощью произвольных однозначных функций других 5 перехменных и времени [c.248]