Теорема об асимптотической устойчивости

При доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости консервативной системы и только что доказанной теоремы об асимптотической устойчивости диссипативной системы мы нигде не использовали того факта, что функция Е имеет смысл механической энергии системы. При доказательстве теоремы Лагранжа были использованы лишь следующие три свойства функции Е [c.232]

Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определенно-диссипативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.202]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Теорема об асимптотической устойчивости поверхности состояний равновесия неголономной системы. Как было уже выяснено, изучать устойчивость состояний равновесия неголономной системы имеет смысл лишь по отношению к малым отклонениям от поверхности От- Временно трактуя переменные 1, щ,. .., Нт как параметры, естественно рассматривать вторую группу уравнений (2.14) независимо от первой группы. Характеристический полином этой вспомогательной системы определяется выражением (2.16). [c.273]

В соответствии с теоремой об асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия неголономной системы, при отклонении изображающей точки от устойчивой поверхности состояний равновесия она возвратиться на эту поверхность, но уже в другую. [c.279]

Таким образом найденная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы об асимптотической устойчивости, а следовательно, невозмущенное движение устойчиво асимптотически, что и нужно было доказать. Поэтому всякое возмущенное движение, для которого начальные возмущения численно достаточно малы, будет неограниченно приближаться к невозмущенному, когда -> + 00. [c.98]

Условия асимптотической устойчивости даны Ляпуновым теореме об асимптотической устойчивости. Эта теорема формула руется следующим образом. [c.414]

Теорема об асимптотической устойчивости 415 [c.415]

Теорема об асимптотической устойчивости 417 [c.417]

При достаточно малой р производная отрицательно-определенная функция и следовательно, выполнены условия теоремы об асимптотической устойчивости. [c.462]

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю я К i = О, и ф 0). Поэтому равновесное состояние системы i — = 0, U = О будет асимптотически устойчиво относительно тока [c.74]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. [c.219]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпунов получил следующую теорему, дающую достаточные условия асимптотической устойчивости движения. [c.522]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

В отличие от теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, где характер поведения соответствующей Г-функции является монотонным, в данном случае F-функция может стремится к нулю ступенчато, причем горизонтальные участки графика F-функции соответствуют движению на множестве М (рис. 2.1.9). [c.80]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения нелинейной системы. [c.424]

Теорема 2 второго метода Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы (2) можно указать функцию У(/, х), удовлетворяюш ую условиям [c.430]

На 810 обстоятельство не было обращено внимания в первом издании книги, и теорема об асимптотической устойчивости в той форме, как она была там сформулирована неверна (см. Г а н т-махер Ф. Р., Замечание по книге Лйкции по аналитической механике , Физматгиз, Москва, 1960, Прикладная математика и механика, т. 26, вып. 2, 1962). [c.201]

Теорема об асимптотической устойчивости, Если при выполнении условий теоремы об устойчивости производная V является знакоопределенной, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически. [c.37]

Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопределенные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. II, а), так как функция V [c.37]

Теоремы об асимптотической устойчивости (в том числе об асимптотической устойчивости в большом и в целом) доказаны при менее жестких условиях. Оказывается, что для асимптотической устойчивости можно требовать лишь знакопостоянства производной V, если последняя обращается в нуль на множествах, не содержащих целых траекторий исследуемой системы [2, 7]. [c.38]

Левые части системы (39) представляют собой тг-периодические функции угла -д. Они могут быть представлены сходяш имися рядами Фурье, а тождественное равенство нулю этих рядов влечет за собой равенство нулю всех в отдельности коэффициентов этих рядов. Таким образом, может быть получена бесконечная система алгебраических уравнений для нахождения восьми неизвестных h, а, п, g, Р, d, 7, с. Такая переопределенная система всегда совместна и имеет единственное решение относительно hi — /г os 2а, h2 — /г sin 2а, п, gi — g- os2 , 7, с. Это следует из доказанной выше теоремы об асимптотической устойчивости отсчетного многообразия, а также из линейности системы (39) по отношению к этим переменным. Для их нахождения из указанной переопределенной системы достаточно взять любые восемь уравнений с отличным от нуля детерминантом. Пользуясь условием, что г много больше /е, эту задачу можно решать приближенно. В частности, в нулевом приближении А = О, г = л/2Ео, и из системы (39) находим [c.385]

Из выражений (2.45) следует, что при р с , когда сферическая чашка превраш,ается в плоскость, условия устойчивости (2.46) выполняются при любь1х значениях у 0. В частности, все состояния равновесия полушара на горизонтальной плоскости являются устойчивыми (в смысле теоремы об асимптотической устойчивости, см. п. 3). [c.287]

Первое общее решение задачи об устойчивости по формам т-то порядка в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений было дано Г. В. Каменковым сначала для случая двух переменных (1935), а затем для общего случая п 2 переменных (1936). Было показано, что при исследовании устойчивости системы п + 2)-го порядка в случаях, не существенно особенных, когда вопрос об устойчивости решается по формам конечного порядка, можно перейти к эквивалентной задаче об устойчивости для системы второго порядка. Даны теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по формам т-го порядка в случаях, когда функция [c.55]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Ляпу-11011 получил следующую теорему, дающую достаточные условия асп.мптотпческой устойчппостн двп/кеппя. [c.373]

Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.17) можно найти опреОеленно-полижи-тельпую в области (2.1) ф>уакцию V такую, чпи> ее производная V удовлетворяет в этой области двум условиям [c.42]

Так как производная не определеиио-отрицательная, а просто отрицательная функция, то теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости применить нельзя. Попытаемся воспользоваться теоремой Красовского. Множество К найдем, приравняв производную V к нулю [c.45]

Это выражение не обращается в нуль (точка ж = О, как обычно, исключается), поэтому многообразие F = х — х = О не содержит целых траекторий. Теперь видпо, что выполнены все условия теоремы Гхрасовского об асимптотической устойчивости. Действительно [c.45]

Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной Boei части совпадает с аналогичным обоснованием теоремы И. Н, Красовского об асимптотической устойчивости — см. 2.3. Действительно, возьмем начальную точку М (Xq) такую, чтобы в ней выполнялось условие V (хд) > 0. Так как в этой точке Fo > О и Г>0 (предполагаем вначале, что М не принадлежит многообразию К), то функция V будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или Л/о принадленсит К, то вскоре она дол жна будет покинуть это многообразие (оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от начала координат. Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27]. [c.52]

Прежде чем п( рейтп к примерам на применение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, заметим, что иногда с помощью выбранной связки интегралов построить знакоопределенную функцию нельзя. В этом случае нун<но испытать другие комбинации интегралов. Если же все связки интегралов не дают возможности определить условия устойчивости движения, то это еще не [c.66]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

На основании теоремы Ляпунова об асимпотической устойчивости получаем отсюда вывод об асимптотической устойчивости невозмущенного движения, если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны. [c.531]

Докажем теперь, что нулевое решение системы (3.76) при выполнении термодинамического условия (3.77) асимптотически устойчиво в целом, т. е, приближается к нулю (релаксация напряжений), Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости, обобщенной Е. А. Барбашиным и Н. Н. Красовским. Эта теорема формулируется следующим образом Допустим, что существует функция V х) с вещественными значениями, обладающая следующими свойствами [c.103]

Основная теорема H.H. Красовского [1966] об оптимальной стабилизации движения (по отношению ко всем переменным) представляет собой модификацию классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости движения, и получена с учетом метода динамического программирования [Bellman, 1957 Bellman и др., 1958]. [c.126]

Обсуждение теоремы 5.2.4. 1°. Условие типа (5.2.14) является фундаментальным для теорем об асимптотической устойчивости, использующих К-функции конечного числа переменных. В случае устойчивости (неасимптотической) можно положитьу(г)= г. [c.261]

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если в некоторой окрестности D положения равновесия ж = О существует функция Ляпунова, такая, что функция —dVjdt положительно определена в D, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...