ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости из "Теоретическая механика " Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует знакоопределенная функция V( i, Ж2. ж ), производная которой V в силу этих уравнений есть знакоопределенная функция противоположного знака с V, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. [c.522] Прежде чем доказывать эту теорему, обратим внимание на дополнительное, по сравнению с теоремой предыдущего пункта, условие, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Это условие состоит в том, что производная V должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V знака. В предыду-щем же пункте функция V была лишь знакопостоянной. [c.522] Покажем, что 6 = О, т. е. поверхность V = Ь вырождается в точку XI = Х2 =. .. = Хт = о и, следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Предположим обратное, т. е. что Ь 0. [c.523] Уравнения (20) имеют частное решение р = q = г = О, отвечающее покою тела. Рассмотрим устойчивость этого частного движения тела по отношению к переменным р, г. [c.524] Так как V — определенно-положительная, aV — определенно-отрицательная функции, то, согласно теореме Ляпунова, равновесие твердого тела в среде, создающей момент сопротивления (9), асимптотически устойчиво по отношению к переменным р, q г. [c.524] Вернуться к основной статье