Перманентное вращение в пространстве

Прежде всего легко видеть, что ось перманентного вращения в пространстве может быть только вертикалью. Действительно, речь идет о том, чтобы показать, возможно ли удовлетворить уравнениям (34), (35) и, следовательно, их первым интегралам (28), (32), предполагая в них постоянной в пространстве угловую скорость о . Но в таком случае, как мы знаем (т. I, гл. IV, п. 11), эта угловая скорость будет постоянной также и в теле, откуда следует на основании соотношений между векторами ю и К, что будет постоянным в теле также и момент ЛГ количеств движения достаточно принять во внимание интеграл живых сил (32), который можно написать в виде [c.104]

Если Мх = My = Mz = 0, (u =0 и Q О, то гиростат, как известно [108], совершает периодические колебания либо находится в перманентном вращении. В пространстве скоростей траектории движения изображающей точки — полодии — расположены па эллипсоиде энергии несущего тела гиростата [c.290]

Перманентное вращение. Посмотрим, имеются ли между бесконечно разнообразными движениями по Пуансо, возможными для твердого тела, закрепленного в точке О, равномерные вращения. Это равносильно вопросу возможно ли удовлетворить уравнениям Эйлера (5 ) или эквивалентному векторному уравнению (18 ). полагая ш равным постоянному вектору в теле (а следовательно, также и в пространстве т. I, гл. IV, п. 11) Но а таком, случае в силу [c.88]

Заметим, кстати, что если при движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, остается постоянным в теле момент АГ, то постоянной (в теле) будет в силу соотношения между w и АГ и угловая скорость в а так как она будет тогда неизменной и в пространстве, то мы опять приходим к перманентным вращениям, которые поэтому можно определить как такие движения, в которых сохраняется постоянным внутри тела результирующий момент АГ количеств движения. [c.105]

Резюмируя, можно сказать, что тяжелый гироскоп может совершать бесконечное множество равномерных и обратимых перманентных вращений. Все эти вращения имеют своей осью в пространстве вертикаль, проходящую через закрепленную точку. Если вдоль этой вертикали располагается гироскопическая ось, безразлично, вверх или вниз, то угловая скорость и сторона вращения остаются совершенно произвольными, всякая другая прямая в теле гироскопа, проходящая через О, может быть осью перманентного вращения только тогда, когда она располагается вдоль вертикали в одном вполне определенном из двух возможных направлений, после чего будет однозначно определено абсолютное значение соответствующей угловой скорости (но уже не меньшее некоторого заданного критического значения). [c.132]

Так как правая часть есть отрицательная постоянная величина, то движение будет равнозамедленным и скорость обратится в нуль по истечении конечного промежутка времени от =0 до t=ty Начиная с этого момента вершина V остается неподвижной в достигнутом таким образом положении V , и движение гироскопа сведется к перманентному вращению (с угловой скоростью г ) вокруг гироскопической оси, неподвижной в пространстве в положении OV . [c.158]

В частном случае, когда ось вращения проходит через вершину эллипсоида инерции, твердое тело совершает постоянное вращение около главной оси инерции твердого тела, сохраняющей неизменное положение в пространстве. Такая ось называется постоянной, или перманентной, осью вращения твердого тела. [c.416]

При h оо (либо Д 0) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92]. h < ji. Центр масс совершает плоские колебания по закону физического маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, 5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. 70 а,Ь,с) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения. [c.244]

Случай Эйлера. В 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные М, а, /3,7). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось 0Z направлена вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем [c.321]

Перманентные оси вращения. Предположим, что тело, на которое не действуют силы, закреплено в пространстве в какой-либо точке О и приведено в движение вокруг некоторой оси, которую мы примем за ось Oz. Выясним, при каких условиях тело будет вращаться вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью, а сама ось будет неподвижной в пространстве. Если эти условия удовлетворяются, то ось называется перманентной осью вращения для точки О. [c.106]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

В настоящем добавлении кратко обсуждаются динамические системы в приведенных фазовых пространствах и их связь с инвариантными многообразиями в исходном фазовом пространстве. Все эти вопросы исследовались еще Якоби и Пуанкаре ( исключение узла в задаче многих тел, понижение порядка в системах с симметрией, перманентные вращения твердого тела и т. п.). Подробное изложение в современной терминологии имеется в статьях С м е й л С. Топология и механика // УМН.— 1972.— Т. 27, № 2.— С. 78—133 (1пуеп11опе8 Ма1Ьеша11сае.— 1970.— V. 10, № 4.— Р. 305-331 1970.— V. 11, № 1.- Р. 45-64) М а р с-д е н Дж., Вейнстейн А. Редукция симплектических много- [c.337]

Теперь рассмотрим, как неизменяемая прямая 0L движется в пространстве под действием приложенной к телу пары сил с моментом Q. Существующий момент количеств движения волчка эквивалентен некоторой паре снл с моменто.м G, ось которой совпадает с прямой 0L. Момент количеств движения, возникающий за вре.мя dt от приложенной к телу пары сил с моментом Q, равен Q dt. Складывая эти пары, видим, что положительная полуось 0L всегда движется к положительной полуоси приложенной пары сил с моментом Q. Помимо этого перманентного движения трех осей, будут происходить и малые колебания, обусловленные движением мгновенной оси вращения вдоль полодии. [c.177]

Маятникообразные движения. Кроме перманентных вращений, можно также указать условия, при которых тяжелый гироскоп может иметь маятникообразные колебания около какой-либо из своих главных осей инерции, но тут уже необходимо горизонтальной (и неподвижной в пространстве), как это следует из уравнений Эйлера и формулы скорости прецессии. Нетрудно усмотреть, что такое движение возможно не у всяких тяжелых гироскопов, а только если центр тяжести лежит на одной из главных (т. е. проходящих через две главные оси инерции для точки опоры) плоскостей. Тогда главная ось инерции, перпендикулярная к этой плоскости, будет служить осью маятника, как, например, это имеет место у гироскопа Гесса (см. конец 1, раздел 1). Очевидно, между прочим, что кинетически симметричные гироскопы все допускают такие движения. Так, для гироскопа Ковалевской возможны два (и только два) уже рассмотренных нами маятникообразных движения около оси д и оси г, подобное же возможно и для гироскопа Чаплыгина. Исследования Штауде [8] и Млодзеев-ского [9] впервые показали, что не только не будет других перманентных вращений или маятникообразных движений около главных осей, но что если вообще искать движения гироскопа, где ось вращения неподвижна в пространстве, хотя бы скорость около нее и менялась, то никаких других, кроме указанных выше, найти нельзя. [c.133]

В большинстве вопросов гидродинамики полагают, что полные ускорения имеют потенциальную функцию Т, вследствие чего вравцение для ускорений течения равно по величине, но противоположно по направлению враш ению перманентных ускорений. Так как вращение ускорений течения есть геометрическая производная вращения жидкости в данной точке пространства, то получаем по формуле (36") следующее уравнение [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...