Вероятность безотказного функционирования

Согласно третьему определению вероятность безотказного функционирования есть вероятность того, что полезное время /п системы в оперативном интервале (О, /) достигнет или превзойдет некоторый заданный уровень /з, равный минимальному времени выполнения задания при отсутствии отказов элементов, т. е. [c.10]

Вероятность безотказного функционирования можно представить как функцию трех аргументов минимального времени 2з выполнения задания, оперативного времени t и совокупности w технических характеристик системы, в том числе и временных, которые определяют условия использования и пополнения резерва времени. В w могут входить значения пополняемого резерва времени, запас производительности отдельных устройств, емкость накопителей, коэффициенты, описывающие распределение общего задания между каналами в многоканальной системе, и прочее. Если вместо оперативного времени t задавать резервное время то вероятность безотказного функционирования выражает-ется уже другой функцией Р(4, Ui, w), которая получается из Pi(4, t, w) заменой t на 4 + и, т. е. Р(/з, /и, w) -Pi t,,, w). Зная функцию [c.10]

Если заявка на выполнение задания поступает в некоторый заранее известный или произвольно выбранный момент, то основными показателями надежности системы с временной избыточностью являются вероятность безотказного функционирования при выполнении ожидаемой задачи либо коэффициент готовности. Первый показатель находим по формуле полной вероятности [c.11]

Система с последовательным соединением элементов может находиться только в двух состояниях работоспособном (г = 0) и неработоспособном (г = 1). В этом случае выражение для вероятности безотказного функционирования можно представить в виде [c.11]

При нахождении коэффициента готовности за заданное время иногда полезно использовать его связь с вероятностью безотказного функционирования при выполнении ожидаемой задачи [c.12]

Выражение для вероятности безотказного функционирования представляется в виде ряда [c.13]

Вычисляя несколько первых членов ряда, из(1.4.1) и (1.4.2) находим оценку снизу для Pi(4, t, w) и t, w) соответственно. Затем по формуле (1.3.4) оценим вероятность безотказного функционирования сверху. [c.14]

Метод условных вероятностей (см., например, [25]) основан на представлении случайного времени выполнения задания в виде некоторой функции случайных величин наработки системы, времени восстановления, количества нарушений работоспособности и т. д. Вероятность безотказного функционирования находится сначала при условии, что все случайные величины, кроме одной, принимают фиксированные значения. Затем условия постепенно снимаются с учетом заданных распределений случайных величин и находится искомое выражение, записываемое обычно в операционной форме. [c.14]

Дифференциальный метод [11, 16, 44] получил свое название потому, что система уравнений для вероятности безотказного функционирования является в этом случае системой дифференциальных уравнений. При их составлении задаются приращения поочередно всем аргументам искомых функций и находится связь последних со значениями этих же функций в точке (ta, t, w). Устремляя затем приращения аргументов к нулю, получают систему дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями, отражающими поведение случайного процесса функционирования при /з=0, ==0 и w = wk,. где Wk — некоторые предельные значения векторного аргумента ш. [c.14]

При использовании интегрального метода [11, 49, 86—88] вводятся вероятности безотказного функционирования Я ) (4, w) при условии, что в начале оперативного интервала времени изучаемая техническая система находится в состоянии i. Рассматривая участок траектории процесса функционирования до первого изменения состояния, устанавливают между этими вероятностями связь в виде следующего интегрального соотношения [c.14]

Из (2.1.2) следует, что неравенство To>t эквивалентно неравенству а поэтому из (2.1.1) получаем еще одно определение вероятности безотказного функционирования [c.17]

Таким образом, для рассматриваемой кумулятивной системы существуют пять эквивалентных определений вероятности безотказного функционирования. [c.18]

При выводе уравнений воспользуемся интегральным методом. Рассмотрим две условные вероятности /и)—вероятность безотказного функционирования системы с резервом времени и при выполнении задания длительностью tg при условии, Ч70 в начальный момент система работоспособна t ) — то же, но при условии, что в начальный момент произошло нарушение работоспособности. Найдем теперь связь этих вероятностей с заданными функциями F(t) и Пусть в начальный момент рассматриваемая система работоспособна. Тогда сложное событие выполнение задания можно представить в виде суммы двух несовместных событий до выполнения задания не произойдет ни одного нарушения работоспособности (событие Ai) произойдет по крайней мере одно нарушение работоспособности, но задание будет выполнено в указанный срок (событие Лг). Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем выражение для вероятности безотказного функционирования системы с временной избыточностью в виде суммы [c.21]

Ограничивая в (2.2.9) количество членов ряда, можно приближенно оценить снизу вероятность безотказного функционирования. Чтобы получить оценку сверху, надо составить выражение для и) в виде положительного ряда. Подставляя (2.2.9) в (2.1.9) и учитывая, что [c.23]

Из формул (2.2.9) —(2.2.17), заменяя переменные = и 4 = =-4—tii, можно получить выражения соответственно для функций Р (1з, t) и P t, Ui). Найдем теперь вероятность безотказного функционирования при выполнении ожидаемой задачи. По формуле полной вероятности имеем [c.24]

Здесь первое слагаемое есть не что иное, как вероятность безотказного -функционирования при выполнении ожидаемой задачи системой без временной избыточности. Остальные два слагаемых, выражаемые интегральными соотношениями, составляют приращения, возникшие благодаря введению резерва времени. [c.25]

До сих пор внутренняя структура системы не принималась во внимание. Для нее задавали две функции распределения F(t) и в( ), которые характеризовали всю систему в целом. Это не значит, что она имеет простую структуру и содержит небольшое количество элементов. Такой подход во многом определяется методикой сбора и обработки статистических данных. Если в данных об отказах не указывается место их возникновения в системе, то результатом обработки могут стать только две функции распределения F(t) и Рв(0, какой бы сложной система ни была. С помощью этих функций в дальнейшем по аналитическим формулам находятся вероятность безотказного функционирования и другие характеристики надежности системы с временной избыточностью. Может возникнуть вопрос, зачем нужны приведенные формулы и нельзя ли получить характеристики надежности системы с временной избыточностью непосредственно по статистическим данным об отказах и восстановлениях. Действительно, так делать можно, если система выполняет всегда одно и то же задание и ей предоставляется всегда один и тот же резерв времени. Если же система выполняет различные функции и ей придается различный резерв времени, то целесообразно однажды провести статистическую обработку данных для получения функций F(t) и а затем уже по аналитическим формулам находить характеристики надежности в условиях временной избыточности. В том случае, когда сбор и обработка данных для различных устройств и подсистем производится отдельно, при расчете надежности всей системы необходимо учитывать способ соединения элементов. При введении в такие системы резерва времени необходимо, вообще говоря, составлять новые уравнения и новые расчетные формулы. Однако в некоторых частных случаях удается воспользоваться полученными результатами, определив функции F(t) и / в(О Для всей системы по известным функциям Fi(t) и FBi(t) для ее элементов. [c.30]

Вероятность безотказного функционирования можно рассчитать и другим способом. Известно 80], что при простейшем потоке событий количество событий на заданном интервале распределено по закону Пуассона, а время до наступления /г-го события —по закону гамма с параметром к. Поэтому в (2.2.10) и (2.2.11) [c.32]

Рис. 2.3. Зависимости вероятности безотказного функционирования от минимального времени выполнения задания и резерва времени.

Рис. 2.6. Зависимости вероятности безотказного функционирования от приведенной кратности временного резервирования.

Чтобы оценить кратность резерва времени, при которой достигается заданное значение р вероятности безотказного функционирования, надо решить уравнение Р(р, тф)=р относительно т. Из рис. 2.8 следует, что в диапазоне значений р, представляющих наибольший интерес при анализе надежности технических систем (0,9<р<0,99), кривые имеют пологий участок с медленно изменяющимся Ши начиная с р 0,25. [c.37]

Одним из интересных свойств временного резервирования в рассматриваемой системе является слабая зависимость вероятности безотказного функционирования от начального состояния, а также от значения коэффициента готовности Кт- Это свойство иллюстрируется графиками на рис. 2.9, рассчитанными по формуле (2.3.12) при р=Я4=0,25. Увеличивая немного резерв времени, удается компенсировать весьма значительную разницу в значениях коэффициента готовности сравниваемых систем. Так, для достижения уровня / = 0,95 требуется резерв ta = 2tn при /Сг = 0,95 и ta=2,7 te при /Сг = 0,7. [c.37]

Рис. 2.8. Зависимости приведенной кратности временного резервирования, при которой достигается требуемый уровень вероятности безотказного функционирования, от минимального Времени выполнения задания.

Рис. 2.9. Зависимости вероятности безотказного функционирования при выполнении ожидаемой задачи от резерва времени при различных значениях коэффициента готовности

Рис. 2.11. Зависимости относительного значения интенсивности восстановления, при которой достигается требуемый уровень вероятности безотказного функционирования, от коэффициента использования оперативного времени систе.мы.

Для сравнения временного резервирования с другими методами повышения надежности удобно использовать эквиваленты. Эквивалентом называется значение резерва времени, которое обеспечивает тот же уровень вероятности безотказного функционирования или другой характеристики, что и сравниваемый ме- [c.47]

Пример 2.2. Системы, описанные в примере 2.1, предназначаются для решения задачи, поступающей в ЦВМ в произвольно выбранный момент времени. Необходимо сравнить системы по коэффициенту готовности и вероятности безотказного функционирования при выполнении ожидаемого задания. [c.50]

Решение. Согласно (38] при одной обслуживающей бригаде коэффициент готовности и вероятность безотказного функционирования при выполнении ожидаемой задачи системы с общим нагруженным дублированием находятся по следующей формулам [c.50]

При аналитическом исследовании процесс функционирования технической системы формализуется и сводится обычно к модели полумар-ковского или многомерного марковского процесса [24]. Приведем здесь краткую характеристику четырех основных методов, которые мы будем использовать в дальнейшем. Два из них (метод перебора гипотез и метод условных вероятностей) опираются на прямое вычисление вероятностей, а два других (дифференциальный и интегральный) требуют составления и последующего решения уравнений относительно вероятности безотказного функционирования системы с временной избыточностью. [c.13]

Во многих технических системах вторичные потери оперативного времени удается устранить только с помощью либо алгоритмических методов, либо изменений структуры системы, что приводит к заметному увеличению основного времени выполнения задания и росту количества оборудования. Так, в упомянутой ЦВМ требуется аппаратурный контроль работоспособности, включающий проверку результатов выполнения каждой операции и тестовый контроль незанятого оборудования. ЦВМ должна иметь систему прерывания и набор обслуживающих программ, выполняющих запоминание и восстановление данных по сигналам неисправности и восстановления работоспособности. Структуру вычислительного алгоритма необходимо приспособить для возобновления счета с того места, на котором задача была выведена из решения. Для этого могут потребоваться изменения в самом алгоритме, дополнительные внутренние передачи данных, дополнительные емкост памяти и, конечно, дополнительное время. Очевидно, что для системы, не располагающей резервом времени, эти мероприятия не только бесполезны, но и вредны, так как уменьшают вероятность безотказной работы. И только с введением временной избыточности они могут осущественно улучшить показатели надежности. В рассматриваемой системе отказ (срыв функционирования) возникает в тот момент времени, когда суммарное время восстановления пр превзойдет уровень tn (рис. 2Л,в). Согласно (1.3.1) вероятность безотказного функционирования системы в течение времени t с резервом времени и есть вероятность того, что отказ произойдет за пределами оперативного интервала времени [c.17]

Чтобы воспользоваться этим разложением для определения моментов случайных величин Т, г пр и tp, необходимо предварительно убедиться в том, что они являются собственными. Собственность случайной величины Т не подлежит сомнению из физических соображений. Ясно, что при любом конечном резерве времени безграничное увеличение длительности задания снижает вероятность безотказного функционирования до нуля. Используя тауберовы теоремы [14], в этом можно убедиться с помощью формального перехода в (2.2.29) к пределу при s—>-0. Для пр и tp положение не столь очевидное и нужно изучать поведение функции Pita, tu) при /и-И Ql( 3, О ПрИ ta->-00. ПрйВЛеКЭЯ ОПЯТЬ [c.27]

Для быстрых инженерных прикидок удобны графики зависимости у = от р = из, полученные в результате решения уравнения Р(р, y) = = р для типовых уровней р (рис. 2.5). По ним можно сделать, в частности, вывод о том, что при постоянном Y рассматриваемые системы с большим р имеют меньшую вероятность безотказного функционирования. Однако если планирование резерва времени проводится в относительных цифрах и фиксируется отношение = = где 3 = = 1/Я, а mt = talt3 — кратность резерва времени, то такое соответствие не всегда имеет место (рис. 2.6). Системы с большим минимальным временем выполнения задания имеют меньшую вероятность безотказного функционирования лишь при небольших значениях frit (для значений Xts, изображенных на рис. 2.6, при т 2,1). С увеличением т<, наоборот, большей вероятностью безотказного функционирования обладают системы, выполняющие большее задание, а при постоянном — системы, имеющие большую интенсивность отказов к. Согласно графикам рис. 2.6 при л/з>0,1 такая закономерность имеет место, начиная со значения iht = 7,S. Если же проследить за точками пересечения кривыми некоторого уровня вероятности р, то выясняется, что начиная с некоторого р системы с меньшей вероятностью безотказной работы достигают заданного уровня р при меньших значениях т. [c.35]

Постоянство nit при изменении р обеспечивается всегда, если непо-полняемый резерв времени создается за счет запаса производительности. Коэффициент запаса 6ц связан с fht соотношением 6ц=Шг/ А. Поэтому из (2.3.14) следует вывод о том, что для обеспечения гарантированного уровня pmin и неуклонного роста вероятности безотказного функционирования при р>ркр необходимо создавать запас производительности [c.36]

Рис. 2.19. Зависимости вероятности безотказного функционирования ЦВМ УРАЛ-14 от расдре-деления резерва времени между задачами.

Согласно формуле (2.3.12) вероятность безотказного функционирования 1ДВМ-2 при наличии резерва времени равна [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...