Фиксированный интеграл

Фиксированный интеграл, 37 Гамильтонова функция, 12, 13 Герц П., 38 Гиббс, 6, 7 [c.116]

Рассмотрим теперь интеграл с весом от тензорной функции J по некоторому промежутку времени от некоторого фиксированного нижнего предела (зачастую в качестве будет выбираться —оо) до момента наблюдения t. Если / (т) — скалярная весовая функция, то [c.105]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Здесь учтено, что на экстремали Фа = 0, Ф з = 0, А5 = 0. Величина гр означает производную бгр/ду, взятую вдоль характеристики второго семейства и определяемую равенством (2.11). Выражение в квадратных скобках последней формулы берется при фиксированном верхнем пределе интеграла из (4.1), а вариации бф и 6ф определяются перемещением точки к. Производная йр/ду вдоль характеристики второго семейства в точке к непрерывна в силу равенства (2.15) и непрерывности функций а, б, (р, щ. Учитывая все это и собирая вместе члены, обусловленные варьированием положения точки к, получаем [c.115]

Если теперь параметр принять за некоторую новуЮ лагранжеву координату, то при различных начальных условиях эта система обыкновенных дифференциальных уравнений определит в фазовом пространстве системы семейство координатных линий, соответствующих изменению координаты при фиксированном времени 1. Условие, при котором координате соответствует циклический интеграл, сформулируем в виде теоремы. [c.561]

Интеграл вдоль границы Е с фиксированной температурой обращается в нуль. [c.283]

Аппарат интегральных уравнений позволяет сравнительно просто дать ответ на вопрос о корректности решения в зависимости от краевых условий, поскольку представление решения интегральных уравнений через резольвенту (фиксированную функцию, так как поверхность считается неизменной) сводит задачу к задаче об изменении интеграла в связи с изменением подынтегральной функции. Не составляет труда показать, что в этом случае имеет место корректность решения. Тогда и сами потенциалы, определяемые решением интегрального уравнения, будут меняться незначительно. [c.254]

Обратимся к формулам (2.10), (2.11) для внутренних изгибающих моментов Мх, Му и продольной силы N,. Подставим в них выражение о.. из равенства (11.7), Так как в пределах фиксированного поперечного сечения значение Е постоянно и постоянны в данном сечении производные от функций и, у и Шо по 2, то, вынося их за знак интеграла, для М.о например, получим цепочку равенств [c.229]

Мы можем неограниченно увеличивать R, не меняя С, и при этом р будет, разумеется, оставаться фиксированным благодаря выбору определенного значения Предельное значение /j ( при этом, очевидно, будет равно нулю. Однако, увеличивая R, мы деформируем Г таким способом, который не может изменить значения интегралов в уравнении (д). Следовательно, / должно обращаться в нуль, если R — конечно. Теперь первый интеграл в формуле (б) можно опустить. При этом останется равенство [c.221]

Это равенство называется интегралом Бернулли. Если уравнение (2.23) описывает установившееся движение для всего потенциального потока, то уравнение (2.26) — только движение жидкости вдоль определенной линии тока. Значит, интеграл Бернулли является частным случаем интеграла Лагранжа лишь при рассмотрении безвихревого движения вдоль фиксированной линии тока. [c.85]

Переходя от фиксированного к текущему значению параметра а, получим функцию напряжений в виде бесконечного интеграла [c.104]

Очевидно, что в экстремальных случаях идеально податливого нагружения (бд = О, 8и1 = dul/dq)8q) и идеально жесткого (би° = 0) интеграл но 2 в выражении (4.6) при решении задачи 2 исчезает, так же как и при решении задачи 1. Поэтому в дальнейшем полагаем этот член равным нулю. Кроме того, при симметричной нагрузке qt на поверхность S, а также, если не появляется на bS (при фиксированных точках приложения [c.41]

При фиксированном т погрешность приближения получена в виде контурного интеграла [c.291]

Здесь и далее в этом параграфе под неопределенным интегралом понимаем (как и в п. Г) определенный интеграл с переменным верхним пределом и фиксированным, не зависящим от а постоянным нижним пределом. [c.165]

Таким образом, согласно принципу Гамильтона истинное движение таково, что вариация интеграла 1 при фиксированных значениях 1 и ti равна нулю [c.43]

ТОГО, МОЖНО рассмотреть случаи, когда имеется несколько переменных Xj и интеграл У является кратным функция / будет тогда содержать производные от у, по каждому из переменных Xj. Наконец, можно рассматривать вариации, при которых конечные точки не являются фиксированными. Некоторые из этих обобщений будут рассмотрены нами позже. Пока же мы можем ограничиться интегралом типа (2.12), из которого интеграл Гамильтона [c.51]

Возможность приближенного вычисл ения интеграла (258) путем фиксирования параметра шо имеет те же основания, что и ранее, но здесь более жесткая фиксация двух множителей, а следовательно, менее высокая степень точности. Физически такая операция фиксирования 9 (шо. f) означает пренебрежение зависимостью функции 6 (х— х, г) от осевой координаты и, следовательно, влиянием токов / (т) соседних элементов трубки друг на друга, причем сохраняется только влияние на потенциал точек среды v х, г) со стороны радиально направленных токов поляризации / (х), выражаемое уравнением (258). Здесь очевидны следующие соотношения [c.199]

Если бы мы были вправе рассматривать величины Sqk и Spk как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при Sqk и Spk-Это, однако, недопустимо хотя qk и pk и входят в Н как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как и в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по р от выражения (41.1) (при фиксированных ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю. [c.291]

Таким образом, задача нахождения стационарного значения интеграла I при произвольных вариациях по при фиксированных граничных значениях решена. Условия стационарности получаются в виде следующей системы дифференциальных уравнений [c.84]

Это и есть принцип Гамильтона . Он утверждает, что движение произвольной механической системы происходит таким образом, что определенный интеграл А приобретает стационарное значение по отношению к любым возможным вариациям положения системы, при которых начальное и конечное положения остаются фиксированными. [c.139]

Резюме. При помощи интегрирования по времени виртуальная работа сил инерции может быть преобразована в истинную вариацию. Таким образом, принцип Даламбера может быть математически переформулирован в принцип Гамильтона последний требует стационарности определенного интеграла, взятого по времени, от функции Лагранжа L, где L — разность между кинетической и потенциальной энергиями. Варьирование должно производиться при фиксированных граничных положениях системы (н фиксированном интервале времени). [c.140]

Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Следовательно, хотя мы и изменили канонический интеграл, это изменение свелось лишь к добавлению некоторой константы. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. Это означает, что канонические уравнения движения остаются инвариантными относительно преобразования (7.4.1). [c.238]

Из предыдущего известно, что вариация интеграла А равна нулю при варьировании с фиксированными граничными значениями, и содержит только граничный член, если граничные значения варьируются (см. гл. VI, п. 8) [c.258]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Найдем теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы интеграл j P dx представлял собой интегральный инвариант. Для этого введем параметр и, изменяющийся от О до 1, и выразим через него кривую у. Выбор параметра и подчиним дополнительному требованию, чтобы фиксированному значению и отвечали точки, лежащие при любом t на одной и той же траектории. Таким образом, [c.411]

В такой записи наглядна связь этих принципов. При существовании интеграла энергии Н = к и фиксированном к на сравниваемых траекториях функция Н не варьируется и пото.му выпадает из функционала ]. Переменные р,, г = 1,..., м, па концах не закреплены. [c.636]

Рассмотрим несколько простейших примеров. Прежде всего определим нормировку винеровского интеграла, т. е. возьмем Р = = 1. В этом случае интеграл положим равным единице, поскольку вероятность того, что траектория частицы, вышедшей при т = 0 из Хо, придет за время t куда-нибудь (т. е. в любую точку), равна единице. Если для введения интеграла Винера использовать (5.148) и множество траекторий С(хо, О, х, t), заканчивающихся в фиксированной точке х, то соответствующая вероятность (условная) равна Р хо, 0 х, t). (Заметим, что иногда используются и другие способы нормировки.) [c.93]

Поэтому интеграл (4.79) будет решением уравнения (4.63), если он сходится и допускает дифференцирование под знаком интеграла по переменным х, t. Можно доказать [34], что при любой кусочнонепрерывной и ограниченной ф (х) интеграл (4.79), как и интегралы, получающиеся из него в результате дифференцирования по л и любое число раз, равномерно сходится на области [t — 1<х<.+1, где е, / — произвольно фиксированные положительные числа, и, следовательно, допускает почленное дифференцирование по л и любое число раз для любых t > О, х (—оо, + оо). Но в таком случае справедливо равенство [c.143]

Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной L движется со скоростью V по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Ti равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Г, = 0. Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение U2 t) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени t [Q, 6 + L/y], если 0 —тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени U2(t) неизвестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу Uiip) не представляется возможным. Такое же положение возникает и при прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, при окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл [c.599]

Наибольшие трудности встречаются при определении /-интеграла вязких низкопрочных материалов. При нагружении образцов, изготовленных из таких материалов, перед разрушением происходит подрастание предварительно наведенной усталостной трещины. С целью фиксирования момента начала подрастания трещины испытания проводят на нескольких образцах, имеющих предварительные трещины одинаковой длины. Первый образец нагружается до разрушения или заметного спада нагрузки, остальные — до меньших значений /р, а затем разрушаются на маятниковом копре. Зона пластического разрушения может быть отмечена термическим от-тенением (нагрев до температуры 500—600°С, приводящий к окислению плоскости разрушения), методом красок, циклическим нагружением или доломом разгруженных образцов при отрицательных температурах. На рис. 8.9 показана схема изломов образцов при такой последовательности нагружения (зона пластического разрушения фиксировалась доломом образцов при температуре жидкого азота). В плоскости разрушения образца измеряется подрастание трещины [c.142]

Полагая [i. = onst, мы на каждой образующей получаем точку, а на трубке — замкнутую кривую. Будем считать, что в интеграле (12) вместо у,-, р,- и t подставлены их выражения (17). Тогда интеграл / будет представлять собой функцию параметра jj. и при каждом фиксированном значении [J. будет криволинейным интегралом вдоль соответствующей замкнутой кривой (i. = onst. [c.118]

Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл V(xi, t) [не зависящии от t в стационарном случае и периодический относительно t с периодом 18 периодическом случае] и этот интеграле точке x =...=x = Q при любом фиксированном t имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво. [c.209]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...