Гамильтона переменные вторая форма

Теперь мы можем сформулировать вторую форму принципа Гамильтона. Пусть голономная материальная система движется в потенциальном силовом поле и состояние движения системы определяется каноническими переменными тогда в действительном движении обращается в нуль первая вариация функционала (5.70) при краевых условиях (5.57) [c.302]

Образуем комбинацию подынтегральных выражений второй формы принципа Гамильтона в новых и старых переменных вида [c.306]

В 5 настоящей главы мы рассмотрели вторую форму принципа Гамильтона в фазовом пространстве. Было показано, что в действительном движении функционал (5.70) принимает стационарное значение при условиях (5.57) и что уравнения Гамильтона могут быть выведены из второй формы принципа Гамильтона. При этом изохронные вариации 6д и 8р рассматривались как независимые. Новые переменные Qi и Р вариации которых также [c.306]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Примечание. Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно q , 2, 9д. Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда Т б щет однородной функцией второго порядка, т. е, квадратичной формой относительно и определитель из коэффициен- [c.470]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Дифференциальное уравнение (63) открывает много возможностей для преобразования выражений путем выбора других независимых переменных, которыми частично пользовался уже Гамильтон ). Но так как он при этом предполагал, что живая сила является однородной функцией второго порядка от скоростей, то я позволю себе здесь провести то из этих преобразований для более общей формы задачи, при котором не приходится исключать действие внешних переменных сил. Это преобразование получается следующим образом в выражении для Н или соответственно для Е скорости д, заменяются импульсами 5,-. [c.457]

Перейдем теперь к мемуару Второй очерк об общем методе в динамике . После вводных замечаний, описывающих общее содержание мемуара, Гамильтон обращается к установлению новой формы уравнений движения системы свободных материальных точек в произвольной криволинейной системе координат gi, дг. 9зп Отправляясь от принципа Даламбера, он устанавливает уравнения Лагранжа и, вводя в них вместо производных Qi, qtf-T qsn новые переменные pi, рг,---, Рзп о формулам [c.12]

При составлении уравнений движения в переменных Гамильтона в случае непотенциальных сил можно заметить следующее. Первая группа уравнений (см. (3.31)) не изменится, так как они представляют собой соотношения в преобразовании Лежандра (19) (при обратном переходе от переменных pi к переменным qi). Изменение правых частей второй группы уравнений (см. (3.31)) состоит в появлении дополнительных слагаемых Р. Таким образом, уравнения движения при наличии непотенциальных сил имеют следующую форму [c.52]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Гамильтон (1805—1865). Совершенно новый мир, скрывавшийся за достижениями Лагранжа, открылся в исследованиях сэра Уильяма Роуанн Гамильтона. Уравнения Лагранжа были довольно сложными дифференциальными уравнениями второго порядка. Гамильтон сумел преобразовать их в систему дифференциальных уравнений первого порядка с удвоенным числом переменных позиционные координаты и импульсы рассматривались при этом как независимые переменные. Дифференциальные уравнения Гамильтона линейны и разрешены относительно производных. Это простейшая и наиболее удобная форма, к которой могут быть приведены уравнения вариационной задачи. Отсюда название канонические уравнения , данное им Якоби. [c.391]

Отсюда видно, что форма второго порядка в разложении функции Гамильтона не изменила своего вида. Подставим (103) в (104) и отметим, что в получившемся уравнении переменные X, у являются, по существу, фиктивными и могут быть заменены на любую пару, переменных х, у или X, Y. Тогда урав-пепие (104) запишется так [c.214]

В первом из них изменение координаты радиуса-вектора точки Р обозначено через г, а во втором изменение координаты радиуса-вектора обозначено через йР. Преимущество последнего состоит в том, что обозначение явно указывает на точку Р. 0(5означение 5ф/дг можно сравнить с обычной частной производной дф/дх, но следует помнить, что мы не можем делить на вектор, так что выражение дф/дг нельзя рассматривать как предел отношения двух малых величин. Символ V (произносится набла ) введен Гамильтоном и называется так потому, что знак V формой напоминает арфу ). Векторный оператор V аналогичен скалярному оператору D = /с/дстем, что это обозначение не указывает явно независимую переменную. Тем не менее это обозначение удобно. В дальнейшем мы будем использовать то обозначение из равенств (4), которое окажется более подходящим к рассматриваемому случаю. [c.46]

Первое издание книги опубликовано издательством Московского университета в 1988 г. Во втором издании книги приведены решения 160 новых задач. Включена новая глава 11 Релятивистская механика . Теперь сборник содержит решения 560 задач, иллюстрируюш их приложения методов теоретической механики к исследованию широкого круга проблем. Представлены задачи по всем разделам классической механики динамика частицы во внешнем поле и тел переменной массы, динамика системы частиц, уравнения Лагранжа, линейные и нелинейные колебания, динамика твердого тела, электромеханика, уравнения Гамильтона и канонические преобразования. Задачи по электромеханике рассмотрены в рамках лагранжева формализма. Включены также 42 задачи по релятивистской динамике, которые отсутствуют в известных сборниках задач по механике. Ряд задач, представляюш их различные аспекты одной проблемы, представлен в нескольких разделах сборника. Значительно расширен раздел, включаюш ий множество задач, иллюстрируюш их применение новых методов интегрирования систем нелинейных уравнений обш его вида, представленных в гамильтоновой форме. [c.5]

Однако в действительности реальные системы обладают существенно более сложными движениями. Опишем их в краткой форме на примере ангармонического осциллятора, в котором стохастичность возникает под действием внешнего периодического возмущения (гл. 4). Гамильтонов характер системы предполагает четное число переменных (в примере с осциллятором их две). По одной из них (фазе О) происходит быстрый процесс перемешивания с характерным временем Тс. По второй (действию I) идет медленный процесс диффузии с характерным временем тв. Таким образом, возникают, вообще говоря, два масштаба универсальности глобальной динамики универсальность динамических систем ио процессам перемешивания, если их Я-энтроиии одинаковы (на временах Тс), и универсальность по процессам диффузионной релаксации, если эти процессы имеют одинаковый коэффициент диффузии (на временах Тс). Естественно, что, например, две динамические системы могут быть изоморфными относительно перемешивания и неизоморфными относительно диффузии. [c.219]

Задаем вид обобщенной функции Лагранжа (Гамильтона), зависящей от искомых функций, предполагая, что уравнения движения, определяемые обобщенной функцией Лагранжа, являются уравнениями Лагранжа второго рода с нулевой правой частью (канонические уравнения имеют гамильтонову форму). Отождествляя полученные уравнения и уравнения движения непотенциальиой системы, находим систему дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций. Решая эту систему, находим искомые функции, а затем определяем явный вид обобщенных функций Лагранжа и Гамильтона и преобразования переменных. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...