Функция точечного преобразования

Функции точечного преобразования (рис 4 20, в) имеют вич Fi (li) = (tJ — тт У, Fi (ii) = (а -Ь — 4т[/д с [c.213]

Функция точечного преобразования 311, 213 316, 220 [c.430]

Далее в этой главе будет введена более удобная запись уравнений движения, ковариантная по отношению к произвольным точечным преобразованиям i) вида (4). Эта запись для системы из N точек будет содержать только ЗЛ/- -1 функций, меняющихся при преобразовании координат выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию. [c.123]

За координаты системы можем принять в данном случае любые Зл — k декартовых координат z , которые будем считать независимыми тогда остальные k из этих координат будут функциями первых. Можно Зи — k независимых декартовых координат системы преобразовать в другие посредством точечного преобразования, выразив их в функциях Зга — k независимых переменных q ,. ....Чзп-к> [c.178]

Пример 9.7.2. Тождественное и обобщенное точечное преобразование не могут быть заданы производящей функцией вида [c.685]

Вопрос о том, какой из этих форм пользоваться, связан с конкретными особенностями рассматриваемой задачи. Если, например, мы желаем произвести точечное преобразование [определяемое уравнением (8.3)], то и Q не будут независимыми переменными, и поэтому производящие функции типа Fi следует исключить. [c.266]

Ортогональные преобразования, подробно рассмотренные нами в главах 4 и 6, являются частными случаями точечных преобразований. Функции fi выражаются в этом случае равенствами [c.271]

Рассмотрим теперь точечное преобразование w, J)-> w, J ), определяемое производящей функцией [c.326]

Коэффициенты а /., как мы указывали в связи с уравнением (34.26), являются функциями от Ж1,. .., Хп, а следовательно, и от i,. .., qf. Таким образом, в то время как старые и новые координаты связаны друг с другом произвольным точечным преобразованием , скорости преобразуются друг в друга линейно, причем коэффициенты этого преобразования, в свою очередь, зависят от координат. [c.267]

Резюме. Преобразование Лежандра заменяет данную функцию заданной системы переменных новой функцией новой системы переменных. Старые и новые переменные связаны между собой точечным преобразованием. Замечательным свойством преобразования Лежандра является его симметрия относительно обеих систем. То преобразование, которое переводит старую систему в новую, приводит также от новой системы к старой. [c.193]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

При рассмотрении этого более общего вида преобразований наша точка зрения несколько отличается от той, которой мы придерживались в гл. III. Там при переходе к обобщенным координатам предполагалось, что новая форма функции L была получена из старой путем непосредственной подстановки формул преобразования. Это является частным случаем (называемым точечным преобразованием) преобразования более общего вида, рассматриваемого нами сейчас. Теперь уже нет прямого соотношения между двумя формами функции Лагранжа. [c.88]

Это показывает, какой вид должна иметь производящая функция для того, чтобы порожденное ею преобразование было точечным преобразованием. [c.92]

Рассуждения легко распространяются на случай расширенного точечного преобразования, содержащего f, в этом случае функции в формулах (24.4.1) также будут зависеть от t. Мы по-прежнему можем пользоваться производящей функцией (24.4.5) формулы (24.4.6) не изменяют своего вида, хотя теперь содержат t. [c.494]

Преобразования (25.1.8) и (25.1.10) представляют расширенные точечные преобразования весьма частного вида. В этих преобразованиях не только д являются функциями от Qi, Q2,. ., Qn), но и р являются функциями от Pi, Р2, . ., РпУ, далее, каждое есть функция от соответствующего Q,. и от t, а каждое р,. — функция от соответствующего Pj. и от i. [c.505]

Как известно, преобразование Лежандра переводит функцию данной группы переменных в новую функцию новой группы переменных. Старые и новые переменные относятся друг к другу, как точечное преобразование. Это преобразование обладает тем замечательным свойством, что оно совершенно симметрично в обеих системах, и то же преобразование, которое переводит старую систему в новую, переводит и, обратно, новую систему в старую. [c.876]

Гамильтонова функция есть инвариант по отношению к точечным преобразованиям вида [c.876]

Уравнения (6.203) представляют собой точечные преобразования типа (5.221, IV) или (5.203) и соответствуют, таким образом, каноническому преобразованию. Действительно, оно порождается функцией [c.167]

Функция W = /(2) даёт точечное преобразование плоскости Z = X + iy на плоскость [c.185]

Функция w= f (г) точечное преобразование (или отображение) плоскости г на плоскость w каждая точка zi переходит в соответствующую точку wi, кривая д = д (О, у = > (О переходит в кривую и = u x(t), у (t)], у = = v[x t), у (t) (t — параметр) координатные линии у = с переходят в линии и — и х, с), и = и х, с), где х — параметр координатные линии х = i переходят в линии и= u( i,y), V = v( i,y), где у — параметр. [c.194]

Шесть зависимостей Ляме (III. 6.6), (111.6.8), полученные преобразованием тождества (III. 6.1), тождественно удовлетворяются, если коэффициенты Ляме определены по заданному точечному преобразованию (III. 1.1) с помощью формул (III. 3.2). Обратно, три наперед заданные функции Hs q q ) являются при выполнении этих зависимостей коэффициентами Ляме для некоторого преобразования, определяемого системой дифференциальных уравнений (III. 3.2) зависимости Ляме представляют условия интегрируемости этой системы. [c.860]

Растровое преобразование состоит в умножении исходного изображения на периодическую функцию (растр) и в регистрации результата перемножения на фоточувствительном материале с пороговой характеристической кривой. Результатом такой обработки является бинарная периодическая картина (растровое клише) с модулированной шириной темных и светлых частей периода. Путем формирования нужного профиля функции пропускания штрихов растра и при последующей пространственной фильтрации изображения растрового клише можно получить требуемую функцию точечной нелинейности, т, е. зависимость выходной интенсивности от входной. [c.282]

Из соотношения между точечной и линейной функциями рассеяния можно показать, что преобразования Фурье — Бесселя и Абеля тесно связаны. Фактически имеется тесная связь между преобразованиями Абеля, Фурье — Бесселя и Фурье. Последовательное применение этих преобразований к некоторой функции дает исходную функцию [4]. В оптике этот результат отразился в соотношениях между точечной и линейной функциями рассеяния (преобразование Абеля), между линейной функцией рассеяния и (одномерной) пере- [c.38]

Точечное преобразование производится так называемой функцией соответствия [Л. 7], вид которой зависит от дифференциальных уравнений движения системы на листе, покидаемом изображающей точкой. В частных случаях, когда движение в пределах данного листа описывается линейными дифференциальными уравнениями, функция соответствия просто выражается аналитически. [c.46]

В тех случаях, когда механическая характеристика в пределах данного листа фазовой плоскости линейна, аналитическое выражение для инверсных линий переключения может быть получено по той же методике, которая использовалась выше. Пусть, например, движение системы определяется уравнением (16). Тогда для определения 5 , являющейся по определению точечным преобразованием /7(7 ", -Сп) линии 5° , можно использовать функцию соответствия (65) и (66). Потребовав, чтобы начальные значения и 6 удовлетворяли уравнению линии 5и(68г), получим [c.55]

Эти функции, как и функции (5.28), обращают в тождество уравнения связей (см. (5.30)), и, следовательно, величины д также являются обобщенными координатами механической . системы. Преобразование (5.97), т. е. преобразование от одной системы обобщенных координат к другой системе, называется точечным преобразованием. [c.248]

Траектории системы (3) осуществляют точечные преобразования полупрямой и в полупрямые Г и С/ь Назовем их соответственно преобразованием Т и преобразованием 5. Параметрические уравнения функции соответствия будут для преобразования Т [c.420]

При этом допускаются все точечные преобразования, при которых соответствующие функции и все их производные непрерывны. Для исходной динамической проблемы прямые ро = О и до = О соответствуют двум семействам асимптотических движений. Все другие близкие движения приближаются к периодическому движению с тем, чтобы потом опять удалиться от него. [c.317]

Равенства (IV. 79) можно рассматривать как формулы точечного преобразования, позволяющие поставить в соответствие точке N( / ) деформированного пространства, арифметизирован-ного координатами Лагранжа, точку М(х ) пространства, ариф-метизированного координатами Эйлера, Мы будем предполагать, что такое соответствие взаимно однозначно и функции гс непрерывны и дифференцируемы. [c.503]

Излагаемая ниже теория деформаций носит чисто геометрический характер и не связана с какими-либо предположениями о свойствах деформируемой среды. Будем рассматривать точечное преобразование евклидова пространства, в результате которого точка М (х) сопоставляется точке М (х ). Будем говорить, что материальная точка М переместилась из точки пространства с радиусом-вектором х в точку с радиусом-вектором ж, хотя для кинематической теории вводить понятие материальной точки не обязательно. Деформация области пространства V задана, если величины Xi заданы как функции от Xi s V. Будем считать эти функции непрерывными и деформируемыми всюду, кроме, может быть, некоторых поверхностей S в объеме V. Будем считать также, что если функции Xi xs) неоднозначны, то можно выделить однФзначную ветвь. [c.213]

Теперь, чтобы довести до конца рассмотрение вопроса о допустимых системах отсчета, хотя бы в виде кратких указаний, мы перейдем от специальной теории относительностщ которую мы рассматривали до сих пор, к общей теории относительности (Эйнштейн, 1915 г.). В специальной теории относительности имеются правомерные системы отсчета, преобразующиеся друг в друга путем преобразований Лоренца, и неправомерные системы отсчета, например, системы, движущиеся ускоренно относительно правомерных. В общей же теории относительности допускаются всевозможные системы отсчета преобразования между ними не должны, подобно (2.10), быть линейными или ортогональными, а могут быть заданы произвольными функциями = fk xiy Х2у жз, Х4). Таким образом, речь идет о системах отсчета, произвольно движущихся и произвольно деформированных по отношению друг к другу. При этом пространство и время утрачивают последние черты той абсолютности, которой они обладали в основоположениях Ньютона. При подобных рассмотрениях даже евклидова геометрия оказывается недостаточной для этой цели и должна быть заменена значительно более общей геометрией, основание которой было заложено Риманом. При этом возникает задача придать физическим законам такую форму, которая делала бы их справедливыми для всех рассматриваемых систем отсчета, другими словами, придать им форму, инвариантную по отношению к любым точечным преобразованиям x j = //г(ж1,. .., Х4) четырехмерного пространства. В разрешении этой задачи и заключается положительное содержание общей теории относительности. Очень сложная в математическом отношении форма. [c.28]

Резюме. Канонические уравнения инвариантны относительно точечного преобразования Лагранжа. Преобразование импульсов происходит с учетом инвариантности дифференциальной формыФункция Гамильтона является инвариантом преобразования, если новая система координат покоится относительно старой. В противном случае функция Гамильтона изменяется за счет гироскопических членов. [c.233]

Две оптические системы, показанные па рис. 5.1, можно соединить каскадно. В результате получится система с тремя плоскостями (рис. 5.2), где н плоскости Рз формируется фурье-образ пространственного спектра функции пропускания плоскости Pi. Таким образом, выходом является инвертированное изображение входных данных. Чтобы такая оптическая схема могла выполнять как прямое, так и обратное преобразование Фурье, достаточно изменить направление координатных осей в плоскости Pi, как показано на рис. 5.2. Теперь в плоскости Рз наблюдается обратное преобразование Фурье от амплитуды света в плоскости Рг-Если бы входным сигналом такой системы была 6-функция точечный источник света), а пропускание в плоскости Р2 описывалось функцией Я(и v), тогда выходной сигнал h X, у) в плоскости Рз представлял бы собой фурье-образ функции Я(и v). По определению функция Л х у) является импульсным откликом системы Отсюда видно, что, варьируя пропускание в плоскости Р2, можно управлять импульсным откликом системы, Если пропускание плоскости Р] равно g x у), а в плоскости Рг записан фурье-образ Н и у), тогда на выходе системы появляется сверт-ка функций g и где символ обозначает операцию сверт- [c.263]

Так как преобразования евклидовой] симметрии , образующие подгруппу группы точечных преобразований, могут рассматриваться и как преобразования, образующие подгруппу группы канонических преобразований, то шести бесконечно малым преобразованиям этой группы должны, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, отвечать шесть интегралов движения — законов сохранения количества движения и момента количества движения. Конкретный вид генераторов евклидовой группы позволяет благодаря соотношениям (15) вычислить соответствующие производящие функции, отождествляемые с шестью упомянутыми первыми интегралами. [c.234]

Если механическая характеристика исполнительного двигателя имеет произвольный вид и функция соответствия аналитически не выражается, то точечное преобразование может быть построено графически с помощью шаблона, соответствующего преобразующей траектории. Время запаздывания отсчитывается по шкале времени, нанесенной вдоль контура шаблона. Следует отметить, что графический метод построения линии переключения применим во всех случаях и требует минимальной затраты времени. [c.46]

При количественном исследовании многократных систем целесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностями задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специальный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов многолистной поверхности. Нумеруя квадранты т-листной поверхности (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а, а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через Vi a) (i = 1, 2,. .., 4m). Тогда процесс установления вокруг начала координат может быть задан циклической подстановкой 4т функций [c.107]

Наиболее эффективным и универсальным способом исследовашя пока что йваяется применяемая кусочная линеаризация точечных преобразований и вторая метода Ляпунова [30 J. Этот способ состоит в том, что прежде всего п-иерное фазовое пространство разбивают накускя, имеющие то свойство, что на территории каждого из них всякая функция Д может быть с допустимой погрешностью объявлена линейной, т. е. [c.560]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...