Функция последования и точечное преобразование

Функция последования и точечное преобразование. Понятие функции последования было введено Пуанкаре и состоит в следующем. [c.328]

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме функция последования для точечного преобразования полупрямой (г ) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и (11). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г ) и (г ) (в последовательности V, , г 2,. ..) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования г (для нее г = г , = ) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151). [c.225]

Эта функция, определяюш,ая по заданной точке пересечения фазовой траектории с полуосью положительных х последующую точку пересечения, называется функцией последования. Она определяет некоторое точечное преобразование полупрямой (полуоси положительных х) самой в себя, устанавливая определенное взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точек х этой полупрямой с точками лг той же полупрямой. [c.186]

Таким образом, рассматривая точечное преобразование полуоси положительных лг самой в себя, осуществляемое фазовыми траекториями и выражаемое функцией последования (3.19), мы доказали, что на фазовой плоскости лампового генератора имеется единственная замкнутая фазовая траектория, соответствующая периодическим, незатухающим колебаниям в генераторе. Однако, для того чтобы утверждать, что эти незатухающие колебания действительно могут происходить и что наши высказывания о наличии периодического режима имели физическое значение, нам следует ответить еще на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, при каких начальных условиях устанавливается найденное нами периодическое решение, в частности установится ли оно, если начальные значения х и х будут достаточно малы. Во-вторых, на вопрос о том, устойчиво ли найденное периодическое движение по отношению к произвольным малым изменениям начальных условий, например по отношению к изменениям максимального значения силы тока. На оба эти вопроса мы легко сможем ответить, рассматривая график функции последования (3.19) — так называемую диаграмму Ламерея (рис. 124). Очевидно, графиком функции последования (3.19) является прямая линия с угловым коэффициентом [c.187]

Таким образом, фазовые траектории на листе (/) ставят точки полупрямых (и) и (и ) в некоторое однозначное и непрерывное соответствие или, другими словами, осуществляют некоторое точечное преобразование полупрямой (г ) в полупрямую (г ), выражаемое функцией последования (3.43а) и (3.436) (мы получили функцию последо-нания, записанную в параметрическом виде параметром является — наибольшее отклонение балансира )). В дальнейшем изображающая точка перейдет на лист II) и, двигаясь по соответствующей фазовой траектории (для которой есть симметричная на листе (/)), выйдет снова на полупрямую V) в некоторой точке (— 1, —г/ ). При этом в силу отмеченной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и II) г)з определяется по VI той же функцией последования, выражаемой соотношениями (3.43а) и (3.436). Иначе говоря, точечное преобразование полупрямой (г/ ) в полупрямую (г>) тождественно с точечным преобразованием полупрямой (г ) в полупрямую (г ) поэтому ниже мы будем говорить о едином точечном преобразовании полупрямых (г>) и (г ) друг в друга. [c.220]

Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей V, Юх, г, , г з,. .. в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка V точечного преобразования, т. е. точка, для которой г) = г = гi, очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми (г ) и V ). Для неподвижной точки имеем [c.220]

Как мы видели в гл. III, 3 —5, один из способов нахождения предельных циклов и определения их устойчивости состоит в сведении задачи к некоторому точечному преобразованию, к вычислению соответствующей так называемой функции последования. [c.328]

Условие устойчивости неподвижной точки я точечного преобразования, выражаемого функцией последования 5==/(5), а следовательно, и условие устойчивости соответствующего предельного цикла дается теоремой Кенигса [168, 169] ) [c.333]

Эта функция последования, существующая в некоторой окрестности точки Мо, определяет точечное преобразование отрезка I самого в себя (в той же окрестности), причем, конечно, точка УИо ( и = 5 = 0) является неподвижной точкой. [c.337]

Отыскание самих предельных циклов, охватывающих цилиндр, определение их числа и устойчивости могут быть проведены путем построения точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 8 = 8о самой в себя. Если через точки некоторого отрезка ( ) образующей 8 = 8о проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. 320), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и мы можем построить функцию последования [c.482]

Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы [c.504]

Напомним, что основные понятия метода точечных преобразований (понятия функции последования, неподвижной точки точечного преобразования и ее устойчивости) были сформулированы в 7 гл. V. Там же была дана и теорема Кенигса об устойчивости неподвижной точки. [c.504]

Если фазовые траектории, выходящие из некоторого отрезка полупрямой 5, возвращаются на него, пройдя по всем трем областям (пройдя через области (/), (//), (III) и (//) см. рис. 347), то точечное преобразование II этого отрезка полупрямой S самого в себя (с функцией последования s =f(s)) получается последовательным применением преобразований IIj, Щ, П3 и П4, т. е., как говорят, преобразование П является произведением преобразований IIj, П , П3 и П4 [c.506]

Точечное преобразование. Предельные циклы, если они существуют, должны охватывать начало координат (единственное состояние равновесия) и, с другой стороны, не могут лежать целиком в области (/) (или в области (//)). Следовательно, они обязательно будут пересекать прямую у = Ь и, в частности, выделенную нами полупрямую 5. Поэтому для отыскания предельных циклов уравнения (8.26) нам достаточно рассмотреть точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, осуществляемое траекториями этого уравнения (с функцией последования я1=/( ) (см. рис. 370). Обозначим это преобразование через П. Назовем также преобразованием П1 переход изображающей точки из точки (—5, Ь) полупрямой 5 по соответствующей траектории в области (/) в точку (я, Ь) полупрямой 5 и преобразованием Пз — переход из точки (я, Ь) по траектории в области II) обратно на полупрямую 5 (в точку (—Я1, Ь) рис. 370). Тогда, очевидно, полное преобразование [c.531]

В большинстве практических задач функция последования получается в параметрической форме 5 = Ф(т) 5 = Т(т), т - параметр. Разумеется, метод точечных преобразований применим и в этом случае. Неподвижная точка 5 ищется, как обычно, из уравнения = 5, т.е. Ф(т) = Р(х). Если т = т - корень этого уравнения, то 5 = Ф(т ) = Ч (т ). По теореме Кёнигса неподвижная точка устойчива, если [c.151]

Метод точечных преобразований разработан одновременно с качест ной теорией дифференциальных уравнений в трудах А. Пуанк В частности, А. Пуанкаре использовал отрезок (либо поверхность) контакта и функцию последования при исследовании поведения фазо траекторий на плоскости и на торе [26] и при решении задач небес [c.164]

А. А. Андронов и его ученики решили методом точечных преобразований целый ряд актуальных нелинейных задач теории автоматического регулирования, долгое время остававшихся неприступными. В частности, была решена знаменитая задача Вышнеградского о регуляторе прямого действия с учетом сухого трения [1,2]. Тем не менее следует признать, что практическое применение этого метода сопряжено с рядом трудностей, главная из которых - отыскание функции последования. В связи с этим метод точечных преобразований обычно находил применение в исследованиях динамики кусочно-линейных систем, т.е. таких нелинейных систем, фазовое пространство которых состоит из областей, в каждой из которых уравнения динамики линейны. В таких областях довольно легко определяется ход фазовых траекторий и в итоге строится функция последования. Рассмотренные выше упрощенные модели лампового генератора и часового механизма как раз являются кусочно-линейными. В настоящее время благодаря работам Ю.И. Неймарка и его учеников возможности метода точечных преобразований значительно расширены. Он стал важным инструментом в решении общих вопросов теории нелинейных колебаний и был применен к анализу конкретных систем нового типа, например виброударных, марковских, цифровых и др. [19]. [c.165]

Качественное исследование системы (П.22) состоит в изучении основных элементе фазового портрета - особых точек, сепаратрис и предельных циклов. Но замкнутые фазовы траектории (в частности, предельные циклы) на фазовом цилиндре могут быть двух типов охватывающие и не охватывающие цилиндр. Для изучения замкнутых траекторий второ типа пригодны все методы и результаты, изложенные выше для систем на фазовой плоскости Отыскание предельных циклов, охватывающих цилиндр, можно проводить с помощь точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 0 = бц в себя. Если через точки некоторого отрезка образующей 0 = Оц проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. П. 9), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и можно пытаться построить функцию последования у = / у) данного точечного преобразования. (Как и в случае фазовой плоскости, вычисление функции последования наиболее просто Щ)оводигся для кусочно-линейных систем.) Неподвижные точки у, определяемые уравнением у = / у), являются точками пересечения [c.337]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...