Уравнения в безразмерных переменных г простейших переменных

Примером такого результата может служить формула (2-34), дающая превышение температуры в центре стержня над поверхностной температурой. Как видим, исследование в безразмерных переменных позволяет, не предпринимая интегрирования уравнений, получить для некоторых простейших случаев решение с точностью до постоянного коэффициента. [c.53]

Если скорость входа в атмосферу превышает первую космическую, то уравнение движения преобразуется таким образом, чтобы получить, приближенные соотношения, связывающие условия входа в атмосферу с параметрами траектории в точке достижения минимума высоты при первом погружении в атмосферу. С помощью этих соотношений найдена простая приближенная формула для ширины коридора входа в атмосферу, справедливая для аппаратов с не слишком малым аэродинамическим качеством. Рассмотрена также обратная задача нахождения закона изменения подъемной силы при заданной зависимости высоты от скорости полета. Поскольку все эти решения получены для безразмерных переменных, результаты работы применимы к траекториям входа в атмосферу различных планет. [c.286]

Основные дифференциальные уравнения можно привести, как и любые другие уравнения физики, к безразмерному виду. При этом первоначальные размерные переменные, входящие в уравнение, будут выражаться числами, представляющими значение переменной, отнесенное к соответствующей масштабной величине. В одних случаях масштабы отнесения могут быть естественными (натуральными) и тогда мы приходим к безразмерным переменным — симплексам, т. е. к простым отношениям. В других случаях масштабы образуются искусственно, путем комбинирования разнородных величин, содержащихся в уравнении, соответственно чему получаются безразмерные переменные — комплексы. Например, естественным масштабом для координат л , у, г служит некоторый характерный размер поля Ь, если таковое предполагается ограниченным в пространстве. Естественным масштабом для местного температурного уровня служит некоторый характерный для явления температурный уровень Искусственным масштабом для времени х в вопросах апериодической теплопроводности является Ц-1а [см. (3-1)]. Необходимо, однако, заметить, что при рассмотрении периодической теплопроводности для времени т существует естественный масштаб, а именно длительность одного периода т рр. В этих случаях текущее относительное время т следует выражать в долях от т ер, т. е. считать т = т/т ер. [c.58]

Постоянные а и Ь, которые для различных газов имеют различные же значения, как мы видим, выпали, и если бы все неидеальные системы описывались уравнением Ван-дер-Ваальса (или еще каким-либо уравнением, содержащим только два параметра), то мы получили бы универсальное для всех них описание с помощью уравнений и соотношений в безразмерных переменных я, ф, тг (которые можно было бы просто протабулировать на все случаи жизни), причем какое-либо одно состояние этой безразмерной системы соответствовало бы различным по в, р и V соответственным состояниям реальных газов. Этот закон подобия, или, как его называли раньше, закон соответственных состояний, конечно, остается неосуществимой мечтой, так как двух параметров, как оказалось, слишком мало для реальной идентификации даже какого-либо отдельного класса термодинамических систем (в которых к тому же возможны фазовые переходы). [c.259]

Уравнение (2-4Б) дает только качественную картину, отражающую процесс с учетом сделанных допущений. Зато имеем набор масштабов процесса — чисел подобия гидродинамики и теплообмена. Новых чисел подобия не ожидается, а ожидается только другое соотношение между ними. Тем и характерны методы теории подобия, что, составляя уравнение процесса обмена для простейшего случая, делаем возможным описание сложных процессов зависимостью в безразмерных обобщенных переменных, если учтены условия для всего процесса в целом. [c.68]

По-разному складывается также ситуация в отношении масштаба скоростей. Если рассматривается конвекция при вынужденном движении среды (вынужденная конвекция), то подразумевается, что уровень скоростей задан условиями задачи. Следовательно, в этом случае всегда может быть выбран естественный масштаб скоростей, и зависимые переменные й), , йЗ,, w, будут простыми отношениями — симплексами. Одновременно (и это чрезвычайно важно) из динамического уравнения движения должен быть опущен член pg, , выражающий действие силы тяжести. В результате из безразмерных комплексов (4-35) и (4-36) выпадает число Фруда. [c.98]

Выражая в уравнениях (51) и граничных условиях (52) все переменные через безразмерные их значения, получим после простых сокращений (г = 1, 2) [c.225]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин — чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить, будет ли ъ р чи автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет выражаться. [c.375]

Предварительная оценка задачи облегчается разработкой исходной математической модели изучаемого процесса. Построение математической модели начинается с формализованного описания объекта, в которое включаются элементарные процессы, наиболее существенные для объекта. Среди них могут быть уравнения, отражающие основные физические законы, теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процессов и т. д. Полезно (а во многих случаях просто необходимо) преобразовать размерные переменные уравнений в безразмерные относительные формы. Относительные величины могут вводиться по разным правилам, например [c.42]

Что касается непредсказуемости эволюции реальных физических систем, то проведенное нами обсуждение отображений и хаоса многим читателям может показаться неубедительным. И если бы не нижеследующий пример из области механики жидкостей, связь между отображениями, хаосом и дифференциальными уравнениями, описывающими физические системы, могла бы до сих пор не выйти за рамки математических журналов. В 1963 г. специалист по физике атмосферы по имени Э.Н. Лоренц из Массачусетсского технологического института предложил простую модель тепловой конвекции в атмосфере . Жидкость, подогреваемая снизу, становится легче и всплывает, а более тяжелая жидкость опускается под действием гравитации. Такие движения часто организуются в конвективные валики, подобные движениям жидкости в трехмерном торе, показанном на рис. 1.23. В математической модели конвекции, которую предложил Лоренц, используются три переменные (х, у, г), описывающие состояния системы. Переменная х пропорциональна амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует в жидком кольце, а переменные у и г отражают распределение температуры по кольцу. Так называемые уравнения Лоренца можно формально получить из уравнения Навье — Стокса, уравнения в частных производных механики жидкости (см., например, гл. 3). В безразмерном виде уравнения Лоренца записываются следующим образом [c.40]

Таблицу определяющих параметров наиболее просто составить, если задача сформулирована математически, т. е. составлены уравнения, описывающие изучаемый процесс, и сформулированы начальные и граничные условия. Тогда определяющими параметрами задачи будут являться независимые переменные и все постоянные, входящие в краевые условия и в уравнения, так как от их изменения будут зависеть численные значения искомых величин. Заметим, что определяющими параметрами будут как размерные, так и безразмерные постоянные. Но для анализа размерностей прежде всего важны размерные величины. [c.31]

Форма J + выбрана таким образом, чтобы параметры задачи вошли в безразмерные переменные (по крайней мере в случае, когда теплопроводностью вдоль оси трубы можно пренебречь). Возможно, с первого взгляда и не очевидно, что выбранная форма х+ удовлетворяет указанному условию. Однако если безразмерная координата х+ будет просто равна х/го, то RePr появится как параметр в безразмерном уравнении. При указанной выше форме представления д +эти параметры входят неиосредственно в безразмерную длину. [c.152]

Несмотря на вышеизложенное, программа ONDU T может быть использована для получения безразмерных решений задач заданного класса. Существуют два способа добиться этого. В рамках первого основное дифференциальное уравнение в безразмерном виде сравнивается с уравнением (3.6) (которое решает ONDU T) и величины t, X, ф, Г, 5 и др. в вычислительной программе интерпретируются как соответствующие безразмерные переменные. Например, переменная х может обозначать безразмерное расстояние хИ, ф может быть использована для представления безразмерной температуры (Г - 7 ,)/(7 2 - Г,), а Г может быть просто приравнен к единице и т.п. Второй способ очень похож на проведение лабораторного эксперимента. Осуществляем вычисления с размерными величинами, но выводим на печать результаты в безразмерном виде. Таким образом, мы можем даже проконтролировать, останутся ли безразмерные результаты неизменными (как и должны), когда изменятся свойства материала, размеры расчетной области и др. Очень [c.70]

Хотя время релаксахщи точно неизвестно, простые соображения размерности дают требуемую информацию. В самом Деле, в линеаризованном кинетическом уравнении существует естественная единица скорости (квТ1тУ . Все интересуюпще нас функции, т. е. ф (у) и фп (у), зависят от скорости только через безразмерную переменную [c.90]

Так как ё, / и /1 — все положительны, /1 > / из предыдущего уравнения. Таким образом, интеграл всегда положителен. Следовательно, наибольшая возможная величина а при данных числах Рейнольдса Ре = /1/у = гцмаксА соответствует = 0 или из равенства Р( а) =2/г/Зv — состоянию неизбежности отрыва. Чтобы найти Омакс в зависимости от Ке, g в последнем уравнении принимается равным нулю, а / равным 1 (к — просто безразмерная переменная) [c.214]

В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчёты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. Для больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден. Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближённые методы решения уравнений для пограничного слоя. Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем дифференциальные уравнения с частными производными (1.13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами. В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа, уравнений и составляются соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не одной какой-либо задачи). [c.272]

Обобщение конкретных количественных знаний, достигаемое благодаря применению безразмерных переменных, продемонстрировано на простых примерах, относящихся к задачам теплопроводности. Это особенно ценно в тех случаях, когда уравнения, описывающие некоторый физический процесс, известны, но их аналитическое решение трудно или вовсе невозхюжно. Такое положение, как мы увидим далее, имеет место в вопросах конвективного переноса тепла. Откладывая рассмотрение специальных подробностей, относящихся к этой форме теплооб .1ена, уже здесь воспользуемся имеющимся наглядным материалом для уточнения смысла и границ делаемых обобщений. При обсуждении вопроса будем иметь в виду краевые задачи математической физики, поскольку оии только и характерны для теории теплопроводности и ко1Ц екции. [c.57]

При первоначальном расчете скорости v и касательного напряжения t было найдено, что некоторые члены, включающие в себя полные производные искомой функции / уравнения (1), могут быть объединены весьма простым путем. Данный раздел следует начать с более детального рассмотрения уравнения количества движения с целью определения условий, которые приводят к формуле (9), описывающей распределениз касательного напряжения в жидкости с постоянной плотностью. Для этого удобно представить зависимую переменную и в уравнении (3) в безразмерном виде [c.142]

В случае двумерного течения, перпендикулярного оси кругового цилиндра, не существует решения уравнений Стокса, обращающегося в нуль на поверхности цилиндра и остающегося конечным вдали от него. Эта двумерная задача сильно отличается от трехмерной задачи об обтекании сферы. Указанное обстоятельство иногда называют парадоксом Стокса. Тот факт, что этот парадокс должен возникать в двумерном случае, можно просто продемонстрировать при помощи элементарных соображений, следующих из теории размерности. Так, при обтекании кругового цилиндра радиуса а необходимо рассматривать не силу, действующую на все тело, как это имеет место для трехмерных течений, а только силу, действующую на единицу длины тела, скажем F. Так как в уравнениях Стокса плотность жидкости р не входит в качестве параметра, то F может зависеть только от [л, а, и. Возможна только одна безразмерная комбинация FlyiU из этих переменных. Отсюда следует, что F iU = onst. Такая связь, очевидно, невозможна, так как из нее получается, что сила на единицу длины не зависит от размера цилиндра. Если положить а - 0, что соответствует исчезновению цилиндра, то сила [c.65]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.12 , c.20 , c.29 , c.30 , c.60 , c.294 , c.295 , c.296 , c.297 , c.298 , c.299 , c.300 , c.301 , c.302 , c.303 , c.304 , c.305 , c.306 , c.307 , c.308 , c.312 , c.314 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.12 , c.20 , c.29 , c.30 , c.60 , c.294 , c.309 , c.312 , c.314 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...