Отображение бесконечной области конечную

В дополнение к замечаниям по поводу преобразований растяжения, приведенным выще, отметим следующие положения, существенные для отображений бесконечных областей на конечные. [c.441]

Отношение размеров шагов сетки 42, 180, 199, 351 Отображение бесконечной области на конечную 439—441, 452 Отражение ударной волны от места изменения шага сетки 353, 427 Отражения способ см. Граничные условия для течения жидкости сжимаемой на стенке [c.606]

Граничные условия в преобразованной области. Рассмотрим сперва случай, когда область 8 (конечная или бесконечная) ограничена одним простым замкнутым контуром Ь. Отобразим эту область на круг радиуса 1 или на бесконечную область, находящуюся вне этого круга (принципиально безразлично, каким отображением пользоваться, но вообще в практических вопросах удобнее брать первое отображение в случае конечной области 1 , а второе — в случае бесконечной). [c.180]

Из последнего параграфа было видно, что затруднения при отыскании решения, связанные с методом функции напряжений, облегчаются вследствие использования комплексного потенциала и соответствующего конформного преобразования однако наибольшее преимущество от использования комплексного потенциала получено благодаря методам, развитым Мусхелишвили ), позволяющим определять потенциалы непосредственно по граничным условиям. Эти методы применимы к телу, занимающему в плоскости Z односвязную область, конечную или бесконечную, которую можно отобразить с помощью конформного преобразования на круг или полуплоскость исследование многосвязных областей значительно сложнее и обсуждаться здесь не будет. Области, отображенные на круг или на полуплоскость, можно исследовать двумя методами первый основан на использовании обычных интегралов Коши, второй основан на более тонких свойствах интегралов Коши. Второй метод наиболее при- [c.104]

Отметим также работы, в которых решались задачи теории трещин для криволинейных (некруговых) областей. Метод сингулярных интегральных уравнений использовался при определении напряженного состояния около трещин в конечной криволинейной области [377, 418] или в бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием [16, 60, 95, 154]. В работах [15, 348, 403) решались задачи о трещинах в эллиптической [15, 3481 и полукруглой [403] пластинах. В случае односвязной области, когда трещины выходят на край области, широкое применение нашел метод конформного, (отображения (см. обзор в работе [160], а также [74]). При [c.155]

В дальнейшем мы почти всегда будем отображать конечные односвязные области на круг < 1, а бесконечные односвязные области — на область > 1, т. е. на бесконечную плоскость с круговым отверстием. Можно было бы ограничиться в обоих случаях отображением на круг I [ <С 1, но указанный способ несколько удобнее в практическом отношении. [c.166]

До сих пор мы рассматривали только такие области, граница которых состоит из (конечных) замкнутых контуров. Изучение случая, когда граница есть разомкнутая линия, уходящая в бесконечность в обе стороны ( полубесконечная область ), не представляет новых существенных затруднений. В подобных случаях удобно применять конформное отображение области не на круг, а на полуплоскость ). Не останавливаясь здесь на общем случае, мы ограничиваемся решением основных задач для полуплоскости и для полубесконечных областей определенного класса ). [c.338]

Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням С- Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида [c.585]

Основанием другому оригинальному направлению исследования вопросов существования и единственности решений задач теории струй послужила работа М. А. Лаврентьева о некоторых свойствах однолистных функций (1938) (см. также его работы за тот же год в Докладах Академии наук СССР), основанная на развитых им вариационных принципах (1934). Лаврентьевым были изучены функции, реализующие конформное отображение полуплоскости на области с одной бесконечно удаленной граничной точкой, и далее были даны приложения математических результатов к теории струй. Были доказаны существование и единственность решения струйной задачи об обтекании неограниченным потоком дужки, симметричной относительно оси X. При этом рассматривалась только одна половина течения. В качестве естественного обобщения исследовалась задача о срыве струи с препятствием для полуплоскости (рис. 3). Эта задача отличается от задачи о симметричном обтекании дужки только тем, что на струи не накладывается более условие, запрещающее им проникать в верхнюю полуплоскость. Кроме того, в задаче о симметричном обтекании рассматривается случай, когда струи соединяются на конечном расстоянии за дужкой. Относительно дужки требуется, чтобы она состояла из конечного числа дужек ограниченной кривизны, и предполагается, что любая прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает обтекаемую дужку не более чем в двух точках или по вертикальному отрезку. [c.8]

Отметим здесь одно важное применение этого же метода, указанное Г. И. Савиным. Будем рассматривать задачу о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной каким-либо отверстием. Считая контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца — Кристоффеля. Разложив этот интеграл в ряд по степеням и удержав в ряде конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую вида [c.57]

Конформное отображение. Преобразование основных формул. Рассмотрим конечную или бесконечную односвязную область, ограниченную одним простым контуром L. [c.49]

При дальнейшем уменьшении параметра С обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение /а х) также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра С = Соо. За этим значением лежат области хаоса. [c.432]

Итак, мы рассмотрели преобразования конечной области на конечную. Другим широко распространенным типом преобразований является отображение бесконечной области на конечную, впервые, кажется, примененное Ваном и Лонгуэллом [1964] ). Прп помоши стационарных уравнений они рассчитывали задачу о входе потока в воздухозаборник, причем система координат х, у) выбиралась так, что х = О в плоскости входа в трубу, а затем координата х преобразовывалась по следующей формуле [c.439]

Отображение бесконечной области на конечную при помощи преобразования = ехр(—I), где I — эллиптическая координата, проводилось и до этого см., например, Чушкин П. И. Расчет обтекания профиля и тела вращения в дозвуковом потоке. — В кн. Вычислительная математика, № 3. — М. Изд-во АН СССР, 1958. с. 99--1Ю. Прим. ред. [c.439]

Кенцер [1970а, 19706] рассчитывал трансзвуковое обтекание цилиндра, мгновенно помещенного в равномерный поток невязкого газа. При этом формировалась и распространялась наружу ударная волна. Эта волна в дальнейщем рассматривалась как поверхность разрыва, а область между ней и телом отображалась на прямоугольную при помощи зависящего от времени неортогонального преобразования к криволинейным координатам. В пределе при ( оо этот метод приближается к методу отображения бесконечной области на конечную, однако Кенцер [c.440]

Произвольные формы. Кикукава разработал и применил методы решения задач для отверстий и закруглений заданной произвольной формы ). По этому методу последовательные улучшения начального конформного отображения производятся до тех пор, пока не будет достигнуто адекватное приближение к заданной форме области. Подробные результаты получены для задач о концентрации напряжений в растягиваемой пластинке со следующими возмущающими факторами 1) отверстие ромбовидной формы с круглыми закруглениями по углам, 2) двойной вырез в полосе, причем каждый из вырезов имеет две параллельные прямолинейные стороны, соединенные полуокружностью, что придает вырезу форму буквы U, 3) закругленная в виде че верти окружности галтель в месте перехода пластинки от конечной ширины до ширины бесконечной. Результаты для случая 2) очень близки к результатам Нейбера для двойного гиперболического выреза (см. 64). [c.213]

Другой пример построения рещетки показан на рис. 47. Годограф скорости взят в виде круга, не содержащего начала координат [67]. В этом случае обе критические точки в области годографа 5 и не могут совпадать с точкой = 0, поэтому в них происходит нарущение конформности отображения и обе соответствующие кромки профиля рещетки получаются бесконечно тонкими с конечной скоростью в критических точках 5) и 52- [c.121]

Если область, в которой решается задача, неограничена, то перед применением численных методов, как правило, необходимо либо отобразить ее с помощью подхо дящего отображения на какую-нибудь относительно простую конечную область, либо попытаться определить асимптотическое поведение решения на бесконечности, с тем чтобы, пользуясь численными методами, правильно поставить граничные условия в обрезанной относительно небольшой области, где решение будет искаться, например, сеточными методами. Правильная и достаточно точная постановка краевых условий в такой обрезанной области может сильно увеличить экономичность и эффективность численных методов. [c.22]

Дальнейшие примеры. Приложение к некоторым другим граничным задачам. 1. Изложенный в 84—87 метод решения применим, в частности, ко всем односвязным областям, конформные отображения которых на круг указаны в качестве примеров в 48. Из числа этих примеров случай бесконечной плоскости с эллиптическим отверстием подробно рассмотрен нами в 82, 83. Случай конечной области, ограниченной улиткой Паскаля, рассмотрен в 63, где мы применили метод разложения в ряды применение метода 84 гораздо быстрее приводит к цели. Мы предоставляем читателю решение основных задач для этого случая только что указанным способом. Случай бесконечной плоскости с гипотрохоидальным отверстием ( 48, п. 4) подробно изучен при помощи метода 84 Г. С. Шапиро [1] в применении к некоторым практически важным задачам (см. еще в следующем параграфе о работах Г. Н. Савина). [c.333]

Первое обобш ение струйной задачи Жуковского — Чаплыгина дал в 1934 г. Н. И. Ахиезер, построивший обтекание решетки пластин (по схеме С. А. Чаплыгина — А. Л. Лаврентьева) со сходом струй с выходной кромки Р и некоторой точки за входной кромкой на последней при этом скорость становится бесконечной, как и при сплошном обтекании. Затем было изучено обтекание конечной системы пластин по toй же схеме (В. М. Абрамов, 1936), решетки со сходом струй в двух точках пластины (И. М. Беленький и И. Е. Зеленский, 1938), решетки из ломаных профилей состоящих из отрезков двух прямых (Н. В. Ламбин, 1944). Во всех перечисленных примерах решение легко получается по методу годографа скорости, область которого имеет настолько простую форму, что комплексный потенциал в ней строится непосредственно или путем конформного отображения из канонической области. Метод годографа скорости оказался довольно эффективным средством решения обратных задач, причем не толь- [c.120]

При решении плоской задачи часто бывает полезно предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной переменной В случае конечной одпосвязпой области 5 , ограниченной замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентрическое кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д. [c.46]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Рис. 5. Функция г 8т(г) может рассматриваться как голоморфное отображение цилиндра /27гZ в себя. В этом случае множество Жюлиа, показанное черным на рисунке, имеет бесконечную площадь (МакМюллен). Множество Фату ( /27rZ) 3 плотно, но предположительно имеет конечную площадь. (Изображенная область — [ — 0,5, тг - - 0,5] х [ — 1, 4].)

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...