Группы, порожденные отражениями

В настоящее издание включено три новых добавления. Они отражают новое развитие геометрии систем лучей (теории особенностей и перестроек каустик и волновых фронтов, связанной с теорией групп, порожденных отражениями), теории интегрируемых систем (геометрической теории эллиптических координат, приспособленной для бесконечномерных обобщений) и теории пуассоновых структур (часто встречающихся в математической физике обобщений симплектических структур, отличающихся тем, что скобки Пуассона вырождаются). [c.6]

Гюйгенс (1654) обнаружил, что эвольвента плоской кривой имеет точку возврата в том месте, где она подходит к кривой (рис. 252). Эвольвенты и их многомерные обобщения — это волновые фронты на многообразии с краем. Особенности волновых фронтов, как и особенности систем лучей, классифицируются группами, порожденными отражениями. [c.446]

Остающиеся группы, порожденные отражениями (/2 (/ ), до недавнего времени не находили приложений в теории особенностей. Положение изменилось после того, как осенью 1982 г, выяснилось, что группа симметрий икосаэдра управляет особенностями системы эвольвент вблизи точки перегиба плоской кривой. [c.446]

Исследование этих полей приводит к своеобразной операции сворачивания инвариантов группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидово пространство). [c.455]

Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа Я4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации (эта связь уже указывалась в замечании 7 9 статьи Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.- С. 3-38). [c.464]

Пусть 2 — выпуклый многогранник в Я , причем группа, порожденная отражениями относительно всех его (п—1)-мерных граней, конечна. Доказать, что биллиард в 2 имеет п полиномиальных по скоростям интегралов, попарно находящихся в инволюции. Обобщите этот результат на многогранники в пространствах постоянной кривизны. [c.119]

В этой главе описан начальный отрезок классификации критических точек функций. Эта классификация простейших вырождений критических точек оказалась тесно связанной с классификацией простых групп Ли, группами, порожденными отражениями, и группами кос. [c.11]

В случае простой особенности квадратичная форма отрицательно определена, группа монодромии Г является конечной группой, порожденной отражениями в евклидовом пространстве Яп-1(К., Я) и сохраняющей целочисленную решетку Нп- ЛУ, 2), т. е. группой Вейля. В виду этой связи, в начале параграфа мы описываем необходимые сведения о группах, порожденных отражениями. [c.126]

Группы, порожденные отражениями ([152]). Пусть Н — евклидово пространство, скалярное произведение в нем обозначим < , >. Отражением 5 oeR , относительно гиперплоскости Я= х < с, и>=0 называется ортогональное преобразование К" [c.126]

Ласточкин хвост группы, порожденной отражениями. [c.129]

Определим группу Вейля W ) алгебры к) как совокупность линейных преобразований пространства Ф, порожденных отражениями со,-, 1 г, относительно гиперплоскости а а(Ы) = 0 , [c.28]

Функции на многообразии с особым краем. В этом пункте мы приводим полученную в [72] классификацию простых и унимодальных критических точек функций на многообразии с краем, имеющим изолированную особенность. Часть этой классификации связана с группами h p), G2 и Яз, порожденными отражениями [112]. [c.20]

Благодаря тому, что можно установить взаимно однозначное соответствие между дифракционными лучами, к-рые дает монокристалл, и узлами О. р., понятие О. р. чрезвычайно удобно при описании дифракции на кристаллах рентгеновских лучей, электронов и нейтронов (см. Рентгеновский структурный анализ, Электронография,Нейтронография). Индексы узла О. р. /), 9 и / связываются с индексами h, knl, нек-рой серии взаимно параллельных узловых сеток решетки кристалла, соотношениями р = пЛ, q = пк, г = п1, где п — порядок отражения дифракционного луча от данной серии сеток. В этом случае каждому узлу О. р. приписывается определенный вес, выражаемый через интенсивности дифракционных лучей. Спм.мет-рия такой взвешенной О. р. описывается одной из точечных групп симметрии с добавлением центра инверсии (если его нет в этой группе) и всех порожденных этим добавлением элементов симметрии (закон центро-симметричности дифракции на кристаллах). [c.470]

Теорема (1973). Ростки лежандровыл отображений общего положения многообразий размерности 5 в каждой точке просит и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами А, В, Е их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями. [c.452]

Теорема (1979). Линеаризованное сворачивание инвариан-тив группы, порожденной отражениями, изоморфно, как билинейная операция, операции на локальной алгебре соответствующей особенности, заданной формулой (р, д) 8 (р-д), где 8 = В [c.455]

Доказательство теоремы 1 основано на использовании известных свойств конечных групп, порожденных отражениями <см, [46]). Во-первых, симплициальный конус является фундаментальной областью группы IV образы камеры 7° при действии различных элементов нз W не пересекаются и замыкание их объединения совпадает с Таким образом, все К" можно Сзамостить> конусами вида (7 ), 1 . причем для каждой камеры (вида 5(7+)) найдется лишь один элемент х 6 [c.27]

Теорема. — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, в том и только том случае, когда ее граф Кокстера изоморфен одному из следующих графов [c.128]

Конечные подгруппы 5С/з. простые особенности и группы Вейля. Конечная подгруппа 5С/з определяет простую особенность (как фактор по ее действию п. 1. 2.4), которая в свою очередь определяет соответствующую группу, порожденную отражениями (как группу монодромии). Таким образом, каждой группе правильного многогранника соответствует одна из кокстеровоких групп Л , Следующий результат [c.141]

Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, н особые проекцн гладких псжерхностей. Успехи мат. наук, 1979, 34, № 2, 3—38 [c.236]

Сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями и связанных с простыми особенностями функций. Функц. анализ и его прил.,. [c.238]

Теорема ((72]). Бифуркационная диаграмма нулей 2с критической точки типа /г(р). Р 4, или Яз аналитически тривиальна вдоль страта (x= onsi. Пересечение 2 с гиперплоскостью в базе версальной деформации, трансверсальной страту х= onst, биголоморфно эквивалентно многообразию нерегулярных орбит соответствующей группы, порожденной отражениями [112], действующей на комплексификации евклидова пространства С". [c.22]

Для простых особениостей А , D , каустику можно получить из дискриминанта (многообразия нерегулярных орбит) соответствующей группы, порожденной отражениями в С , следующей конструкцией. Спроектируем С на С - вдоль любого некасательного к дискриминанту направления (например, вдоль оси инварианта старшей степени). Проекция ребра возврата дискриминанта и будет каустикой (точнее будет локально диффеоморфна каустике соответствующего семейства функций). [c.101]

Существует список стандартных особенностей (таких как полу-кубическая точка возврата и ласточкин хвост в предыдущем примере). Эти особенности (довольно загадочным образом) связаны с геометрией групп, порожденных отражениями. Их можно изучать используя соответствующие алгебраические средства (группы Ли, теорию инвариантов, системы корней, диаграммы Дынкина и т. д.). [c.3]

Ее граф Кокстера получается из графа л) отбрасыванием одной вершины. Этот случай отличается от общего тем, что все линейно независимые векторы из Д удовлетворяют условию (4.7). Если все коэффициенты V отличны от нуля, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (4.10) не имеют дополнительного интеграла, степень которого не превышает шести число 6 выбрано не случайно — это ранг группы Кокстера, порожденной отражениями относительно векторов из спектра Д. Отметим, что в остальных интегрируемых системах с двумя степенями свободы степень дополнительного полиномиального интеграла равна именно рангу соответствующей группы Кокстера. [c.394]

Рассмотрим биллиард внутри многоугольника Р, углы которого соизмеримы с тг. Мы будем называть такие многоугольники рациональными. Пусть С — группа движений плоскости, порожденная отражениями в сторонах Р. Она содержит нормальную подгруппу параллельных переносов конечного индекса, а факторгруппа С/Сц изоморфна группе диэдра Д она соответствует действию С на множестве направлений. Другими словами, направление любой орбиты биллиарда после отражения принадлежит той же самой орбите С/Сг . Теперь выберем элементы д ,. , д2и- группы О в каждом смежном классе С . Их можно упорядочить таким образом, что 5о = И, =-й ,5т> где — одно из отражений в сторонах Р, порождающее С. Теперь возьмем 2iV копий Р, R P, Д2Л1-Р1 -1 2ы-1 [c.484]

Предположим, что Х (0, 1), р, (0, 1), v (0, 1). rpynriai порожденная отражениями относительно сторон треугольника, содержит подгруппу индекса 2, состоящую из дробно линейных преобразований обозначим ее G. Стандартное проектирование переводит группу монодромии гипер геометрического уравнения, удовлетворяющего предыдущим ограничениям, а группу G. Если сумма Л+jx+y Мёньщ 1 (равнХ 1, бр [c.134]

Информацию, описывающую группу Г, порожденную отражениями, удобно закодировать в граф — диаграмму Дынкина. Она строится по отмеченному базису исчезающих циклов Дь. .., Ди следующим образом каждому исчезающему циклу Д, ставится в соответствие вершина графа, занумерованная соответствующим номером две вершины графа <1> и соединяются (пунктирным) ребром с индексом 1, если индекс пересечения равен >0 (равен —к). [c.67]

Рассмотрим конечную неприводимую группу W, порожденную отражениями в К (такие группы мы будем называть группами Кокстера). Каждое отражение 546 определяет зеркало Ни множество всех зеркал разбивает Я на области, которые называются камерами группы Зафиксируем одну из камера С и для каждого зеркала выберем то из полупространств, на которые зеркало разбивает Я , которое содержит камеру С. Пусть Ни. .., Як — минимальный набор зеркал такой,, что пересечение соответствующих им полупространств совпадает с С. Тогда зеркала Ни.., ,Нк называются стенками камеры С. [c.126]

Соотношения (8.73) показывают, что (Л — 1) линейных отображения У12, Угз, . являются инволюциями или отражениями, причем произведение двух таких отражений есть поворот порядка 2 или 3 (8.77). Согласно работе (Коксетер, Мозер, 1980), группа, порожденная такими генераторами, изоморфна группе перестановок nN [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...