Мера Боуэна

Для потоков следует подсчитывать число периодических орбит вместо периодических точек. Это можно делать двумя разными способами. Подход, наиболее близкий к случаю дискретного времени, состоит в том, чтобы учитывать периодические орбиты с кратностями, равными их длинам, что в случае дискретного времени как раз и дает число периодических точек (сравним с описанием меры Боуэна для потоков в конце 20.1). С другой стороны, можно считать просто количество периодических орбит, без учета их длины. Если, однако, число периодических орбит растет с экспоненциальной скоростью, то различие несущественно, потому что большинство орбит, длина которых не превосходит Т, будет иметь длину, близкую к Т, так что скорость роста будет той же самой. [c.119]

Замечание. Таким образом, мера Боуэна — единственная мера, по отношению к которой периодические точки равномерно распределены. Она также называется мерой Боуэна — Маргулиса, так как Маргулис открыл ее в другой форме (см. теорему 20.5.15). [c.619]

Предложение 20.1.7. Если А — компактное локально максимальное гиперболическое множество для отображения / и М и/ л — топологическое перемешивание, то мера Боуэна / д является перемешивающей. [c.622]

Приведем краткое описание мер Боуэна для потоков. Подробности мы оставляем читателю, поскольку они вполне аналогичны доказательству теоремы 20.1.3. [c.622]

СХОДЯТСЯ (в -слабой топологии) к ( -инвариантной борелевской вероятностной мере Цд, называемой мерой Боуэна. Если поток является топологически перемешивающим, то можно получить (двусторонние) оценки, подобные тем, что были установлены в лемме 20.1.1, и доказательство перемешивания для равновесных состояний (предложение 20.3.6) проходит практически дословно. Таким образом, мера Боуэна для топологически перемешивающих потоков является перемешивающей. [c.623]

По аналогии с мерой Боуэна определим меру д следующим образом в силу компактности Ш1(/) существует точка накопления [c.631]

Две предыдущие леммы и лемма 20.1.1 (точнее, ее аналог для потоков) показывают, что мера Маргулиса абсолютно непрерывна относительно меры Боуэна. Поскольку мера Боуэна эргодическая, тем самым утверждение данной леммы доказано. [c.651]

Доказательство. Прежде всего заметим, что если fig обозначает меру Боуэна, то fj,g B) = Цд В° Т)) 1 Ч- 0 е)) для достаточно большого Т и согласно леммам 20.6.5 и 20.6.6 [c.655]

Пусть А —гиперболический аттрактор. Поскольку У (х)с А для всякого х А, то dim н(,1 (л )п А) = 1 и, следовательно, dim//A=l+i . Кроме того, если fj, — мера Боуэна — Рюэля— Синая на А, то dim//(G n V -"(- )) = xi/ Х (см. 3) и, следовательно, dim// Gn = 1 -f xj, /1 [c.170]

Следствие (см. [103]). Если Л — гиперболический аттрактор диффеоморфизма S класса С + , отображение 5 Л топологически транзитивно и ц. — мера Боуэна—Рюэля—Синая на Л (см, 3), то С(А) А. [c.172]

Р. Боуэн. пОдкОВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МЕРЫ............. [c.245]

Топологическое давление и топологическая энтропия.. Мы опишем сейчас другой подход к построению ы-гиббсовских мер, который предложил Боуэн [13]. Прежде чем сделать это,., нам необходимо ввести некоторые общие понятия и сформулировать относящиеся к ним результаты, имеющие важное самостоятельное значение для теории динамических систем. [c.147]

Теорема 20.1.3 (Боуэн). Пусть X, <1) —компактное метрическое пространство и / X X — разделяющий гомеоморфизм, удовлетворяющий свойству спецификации. Тогда существует в точности одна тлкая мера ц е ЯП(/), что 0) = Она называется мерой Боуэна [c.619]

Доказательство. Из Предыдущего доказательства видно, что полусопряжение, полученное с помощью марковского разбиения, сохраняет экспоненциальную скорость роста числа периодических точек, которая равна топологической энтропии. Таким образом, мера максимальной энтропии для сдвига индуцирует меру максимальной энтропии на Л посредством этого полусопряжения, и потому эта мера является мерой Боуэна. Но мера максимальной энтропии для сдвига — мера Перри, и, следовательно, согласно предложению 4.2.15 и предложению 4.4.2 она является перемешивающей [c.622]

Предложение 20.5.11, в частности, показывает, что при соответствующем выборе J мы можем, например, нормализовать меру, полученную с помощью (20.5.8), так, что она станет ( -инвариантнои борелевской вероятностной мерой fl, которая называется мерой Маргулиса для Теорема 20.5.15. Мера Боуэна и мера Маргулиса совпадают. Доказательство. Мы установим равенство с помощью оценок объема е-шаров метрики d/. [c.651]

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы найти мультипликативную асимптотику роста числа периодических орбит потоков. Эта асимптотика более точна, чем экспоненциальная. Отметим, что для случая дискретного времени это утверждение, а также экспоиеициальиая оценка погрешности содержатся в теореме 20.1.6. Сначала мы опишем локальные кубы потока и их полные компоненты пересечения, аналогичные рассмотренным в гл. 15. Введение этих понятий позволит воспользоваться равенством мер Боуэна и Маргулиса, а также полученными выше оценками, и получить мультипликативную асимптотику роста числа периодических точек. [c.652]

Лемма 5 иэ [6] состоит в следующем. Пусть / — разделяющий траектории гомеоморфизм компактного метрического пространства X. обладающий свойством спецификации (в смысле Боуэна) и сохраняющий меру ц, Ф — непрерывная функция. Snif x) = <р(д ) +4> f(x)) +. .. + p f"" W). Р (ф) — топологическое давление. Обозначим [c.154]

Действительно, здесь Vf( ) состоит из одной меры ц. Заметим, что, как указывает сам Боуэн, стимулом к написанию [Б6] явилось желание получить равеиство h (f) = h(f M J (Мд, вообще говоря, ие замкнуто). [c.202]

Мера максимальной энтропии и распределение периодических точек. В работах данного сборника гиббсовские меры для А-снстем строятся с помощью марковских разбне-нин. Возможен н другой подход, развитый Боуэном в рабо тах [24], [25], [26], для мер с максимальной энтропией. При STOM подходе мера с максимальной энтропией получается как предел мер, сосредоточенных на периодических траекториях. [c.230]

Б5. Боуэн Р., Подкова положительной меры, настоящий сб.. стр. 178—18С Б6. Боуэн Р., Топологическая энтропия для нгкомпак]ных множеств, стоящий сб., стр. 181—195. где. Гладкие динамические системы, Девятая летняя ыатематипсская шко ла, Киев, Наукова Думка , 1976, стр. 50—341. [c.238]

Теорема 20.3.7 (Боуэн). Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство, / X —— разделяющий гомеоморфизм со свойством спецификации треС (X). Тогда существует единственная такая мера = д е ЯЛ(/), что ip) = Р(/, ip). Она является перемешивающей, и [c.635]

В этом параграфе мы приведем другую конструкцию единственной меры максимальной энтропии в случае топологически перемешивающих потоков Аносова, принадлежащую Маргулису. В отличие от конструкции Боуэна из 20.1, где эта мера строится как предельное распределение периодических орбит, в конструкции Маргулиса мы имеем дело с пределами нормированной меры Лебега на очень длинных кусках неустойчивых многообразий. Конечно, данная конструкция также применима к случаю дискретного времени, но в этой ситуации она не дает особенно интересных новых результатов. Однако в следующем параграфе с помощью этой конструкции мы получим самую точную известную асимптотику скорости роста числа периодических орбит в случае потока. Таким образом, всюду в этом параграфе мы будем считать, что <р М М —топологически перемешивающий поток Аносова. Сначала введем необходимые обозначения. [c.643]

Теперь мы в состоянии описать подход Боуэна к построению i-rn66 oB KHx мер. Рассмотрим в 2л равновесное состояние, отвечающее функции ф ((о) =ф (г з (о1))). В силу (7.25) оно >пределено однозначно. Обозначим его [c.149]

В заключение отметим, что подход Боуэна к построению равновесных состояний обобщается на произвольные ЛМГМ. Хотя в этом случае понятие и-гиббсовской меры не имеет смысла, равновесное состояние, отвечающее функции ф , представляет известный интерес (см. [13]). Аналог и-гиббсовской меры для подковы Смейла построен в [45]. [c.150]

Теория систем Аносова, сохраняющих меру Лиувилля, изложена в монографии [4], представляющей собой первое систематическое и фундаментальное исследование в гиперболической теории. Общие результаты теории систем Аносова имеются также в книге [8] и обзорной статье [6]. Теория гиперболических множеств (топологические свойства, различные примеры) и связанные с ией пробл1емы (Л-оисгемьг и др.) освещены в иниге [86] (см. также [21], где приведено полное доказательство теоремы о семействах е-траек-торий). Символическая динамика для систем Аносова (марковские разбиения, равновесные состояния, меры с максимальной энтропией) построена к-[41] (см. также [40], [43]) обобщение на случай гиперболических множества осуществлено в серии работ Боуэна (см. [13]) некоторые дальнейшие обобщения имеются в [3] (там же дан краткий обзор по топологическим марковским цепям). Основы теории РЧГ-систем развиты в [14]. НПГ-снстемы введены в [31], где исследованы их локальные свойства и эргодические свойствас по отношению к мере Лиувилля (ом. также [70]). Обобщение на меры Синая дано в [75]. [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...