Изинга модель двумерная, точное

Изинга модель двумерная, точное решение 383 [c.513]

Модель Изинга явилась грубой попыткой отразить структуру реального физического ферромагнитного вещества ). Главное ее достоинство заключается в том, что двумерная модель Изинга может быть точно исследована методами статистической механики. Это единственный нетривиальный пример фазового перехода, который может быть рассмотрен математически строго 2). [c.361]

В частности, двумерные точно решаемые модели представляют большую ценность для проверки общих теорий и предположений, таких, как гипотезы подобия и универсальности. Например, первое доказательство универсальности было получено Онсагером в 1944 г. [184] в результате решения модели Изинга на квадратной решетке. Онсагер предположил, что константы взаимодействия У и У в горизонтальном и вертикальном направлениях различны, но его решение показало, что для температур Г, близких к [c.78]

Если не считать ограничения, накладываемого условием (8.12.25), функция И (х) остается неизвестной. Можно лишь пожалеть об этом, поскольку из всей совокупности моделей, включающей двумерную модель Изинга, модели типа льда и восьмивершинные модели, только эта сегнетоэлектрическая модель решена в присутствии поля, нарушающего симметрию. Было бы исключительно интересно получить точную двумерную функцию скейлинга. [c.168]

Методы Брэгга, Вильямса и Бете — только приближенные точное решение является трудной задачей статистической механики. Точное решение для двумерной модели Изинга впер- [c.43]

Двумерная задача Изинга имеет точное аналитическое решение при Я = О, однако довольно сложное и громоздкое. Мы ограничимся приведением основных результатов и отсылаем интересующихся самим решением к литературе [18, 30, 31]. Температура фазового перехода в двумерной модели Изинга определяется соотношением [c.441]

Крупным достижением статистической механики явилось опубликование в 1944 г. работы Онсагера, содержащей точное решение двумерной d = 2) проблемы Изинга для квадратной решетки с взаимодействием ближайших соседей в отсутствие магнитного поля. Впервые в истории Онсагеру удалось дать точно решаемую модель, в которой в термодинамическом пределе N <х> действительно происходит фазовый переход. Оригинальная работа Онсагера очень трудна для восприятия, поскольку в ней использованы весьма сложные математические методы. С тех пор были найдены гораздо более простые методы решения задачи, но их результаты все еще достаточно сложны и не будут приводиться здесь. Интересующимся читателям мы рекомендуем обратиться к книгам Ландау и Лифшица или Стенли, где изложено простое решение двумерной проблемы Изинга, полученное Вдовиченко. [c.360]

Ввиду того что наше описание обладает таким недостатком, интересно проверить его справедливость на простых моделях. Интересной моделью является двумерная модель Изинга, для которой статистическая сумма может быть вычислена точно (см. гл. 17). Модель Изинга претерпевает фазовый переход, который относится к одному из обсуждавшихся выше типов. Можно показать (см. Ли и Янг [32]), что в этом случае корни большой статистической суммы всегда лежат на единичной окружности в комплексной плоскости z. Когда линей- [c.350]

Согласно точному решению Онсагера, теплоемкость двумерной модели Изинга в нулевом поле имеет логарифмическую особенность, если приближаться к критической температуре Т как сверху, так и снизу. Спонтанная намагниченность стремится к нулю как Т — 7 ) - а восприимчивость расходится как Т — Отметим, что эти показатели степени довольно сильно отличаются [c.327]

В этой и остальных главах книги рассматривается несколько моделей типа Изинга, для которых были получены точные решения в двумерном случае. Как было отмечено в разд. 1.6, заслуживает сожаления, что они только двумерные и что решения получены лишь в отсутствие внешнего поля. Несмотря на это, они содержат существенные предпосылки, оправдывающие использование их в качестве физической модели магнетика или жидкости, а именно ненулевые короткодействующие взаимодействия и наличие критической точки. Поэтому они могут быть использованы для исследования физической природы (особенно в критической области) реальных систем. [c.78]

Из выражения (10.14.47) следует, что если бы мы могли вычислить собственные значения трансфер-матрицы V трехмерной модели Изинга, то могли Ьы также вычислить их для двумерного гамильтониана Ж Наоборот, можно надеяться, что решение последней проблемы приведет к решению первой. К сожалению, ни та, ни другая проблема не решена точно, хотя приближенные методы, рассмотренные в разд. 1.5, привели к полному успеху. [c.270]

За время, отделяющее решение модели Изинга Онсагером в 1944 г. от решения модели жестких шестиугольников Бакстером в 1980 г., статистическая механика двумерных систем обогатилась значительным числом точных результатов. Принято называть модель точно решаемой, когда для некоторой физической величины, такой как свободная энергия, параметр порядка или корреляционная функция, получено удобное математическое выражение или, по крайней мере, когда удалось свести их вычисление к задаче классического анализа. Такие решения, которые поначалу кажутся иногда каким-то курьезом, часто бы-виют интересны тем, что иллюстрируют общие принципы и теоремы, строго выведенные в рамках определенных теорий, а также позволяют контролировать приближенные методы, применимые к более реалистическим и сложным моделям. В теории фазовых переходов модель Изинга, результаты Онсагера и Янга успешно сыграли такую роль. Методы Либа и Бакстера для разнообразных вершинных моделей развили этот успех и расширили набор известных критических показателей, дав материал для сравнения с методами экстраполяции, и заставив уточнить концепцию универсальности. Тесно связанные с классическими двумерными моделями, хотя и не представляющие интереса для теории критических явлений, квантовые одномерные модели, такие, как магнитная цепочка, и знаменитое решение Бете, несомненно внесли вклад в понимание структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы. Можно было бы также обратиться к физике одномерных проводников. Все эти вопросы теоретической физики, которые, несомненно, оправдывают исследования точно решаемых моделей, не являются предметом настоящей книги, поскольку их изложение потребовало бы обширных и в то же время глубоких познаний в теоретической физике. Речь будет идти в основном [c.8]

Поскольку структура спинового гамильтониана блоков (5.207) не обязательно имеет такой простой вид, как мы предполагали, не видно причин, по которым условия подобия должны выполняться точно. Тем не менее решение Онзагера ( 5.7) для двумерной модели Изинга точно удовлетворяет соотношению (5.212) с г/ = 1 и X = 15/8. Трехмерная сферическая модель ( 5.9) также удовлетворяет этому соотношению, причем у — i. Однако различные формулы, полученные в приближении среднего поля ( 5.2—5.4 и 5.11), в своей совокупности не согласуются с законом подобия при d = 3. Ряд для корреляционной функции в трехмерной модели Изинга [см. (5.188)] дает значение Ну та 0,64. Это близко к числу 0,625, получающемуся при комбинировании других критических индексов, но не совпадает с ним в точности. Классическая модель Гейзенберга, по-видимому, согласуется со значением 1/у a 0,70 и т. д. [c.241]

Алгебраически наиболее серьезное следствие перехода от одномерной модели к трехмерной состоит в том, что при этом теряются все преимущества представления через матрицу переноса (8.19). Иначе говоря, появляется та же фундаментальная трудность, что и в статистической механике при рассмотрении модели Изинга (ср. 5.7) поскольку в двумерной или трехмерной решетке каждый узел имеет соседей в разных направлениях, процесс распространения возбуждений уже нельзя изобразить в виде простого произведения независимых матриц, как в формуле (8.20). При рассмотрении линейной цепочки такое представление обеспечило самосогласованный характер уравнения Дайсона — Шмидта (8.76), из которого можно получить точный спектр. Строгого аналога этой теоремы для случая большего числа измерений, по-видимому, нет. [c.377]

Точное решение двумерной модели Изинга [c.137]

Л У-модель J, = Jy=iiO, Л = 0) сводится к другой Т. р. м.— знаменитой двумерной модели Изинга, точное решение к-рой в 1944 нашёл Л. Онсагер (L. Onsager) (см. Изинга модель). [c.151]

Если бы ДЛЯ спонтанной намагниченности в двумерной модели Изинга не было точной формулы Онзагера (5.129) и очень аккуратной оценки критических индексов [типа (5.188)], полученной С помощью разложения в ряд, то можно было бы считать, что формулы Ландау правильно описывают поведение любой системы вблизи фазового перехода второго рода. Но мы знаем, что формулы (5.194) и (5.204) неправильны. Не оправдано здесь предположение (5.193) нет никаких оснований а priori считать феноменологические коэффициенты в разложении (5.189) аналитическими функциями температуры в критической точке. Тщательный анализ решения Онзагера показывает, например fl.21], что при температуре выше Tf. свободная энергия содержит член, пропорциональный Т — In (Г — Т(.), очевидно, отсюда проистекает логарифмическая особенность темплоемкости. [c.237]

Для ряда двумерных фазовых переходов К. п. удаётся вычислить точно, напр, в Изинеа моделях и 8-вершинной, а также в XF-модели (см. Двумерные решёточные модели). В модели Изинга К. п. универсальны а=0, P = /в, 6 = 15, v= /4> v=l, В 8-вергаинной [c.524]

Л А г-модсль J = J,), или модель Гейзенберга — Изинга, точно решается методом анзатца Бете и сводится к двумерной, т.н. шестивершинной, модели, к-рая, в свою очередь, известна также как модель типа льда на квадратной решётке (см. Двумерные решёточные модели). Связь этих моделей позволяет использовать результаты, полученные для шестивершинной модели в случае XXZ-модели. Преимущество классич. двумерной шестивершинной модели перед одномерной квантовой A A Z-моделью заключается в том, что для решения двумерной модели удобно использовать метод трансфер-матрицы. [c.151]

Поскольку точное решение модели Изинга получено лишь для одномерной системы [I и 53 и для набора двумерных решеток в нулевом магнитном поле, задача установления простых и достаточно гибких аппроксимаций остается актуальней. Нам представляется, что аппроксимации не потеряют своего значения и в тем случае, если будет найдено точное решение. В свое время С. В. Тябликовым и авто- [c.26]

В качестве предварительного шага к получению точного решения для двумерной модели Изинга сформулируем модель в матричном виде. Рассмотрим квадратную решетку из N = п спииов, состоящую из п строк и п столбцов, как показано на фиг. 116. Представим [c.383]

Однако вблизи критической точки до сих пор приходится ограничиваться экстраполяцией высокотемпературного и низкотемпературного разложения исключение составляет двумерная модель Изинга с взаимодействием только между ближайшими соседями ). В этом единственном случае для нескольких простых решеток (например, квадратной, треугольной, шестиуго.чьной) известно точное выражение для свободной энергии в нулевом магнитном поле и для спонтанной намагниченности -). Следует подчеркнуть, что получение этих результатов представляет собой одно из наиболее впечатляющих достижений теоретической физики, хотя для построения решаемой с таким трудом модели и пришлось пойти на значительные упрощения. [c.327]

Существуют физики и химики, которые отрицают решеточные модели как нереалистические. Их основной аргумент, выраженый в наиболее крайней форме, состоит в том, что модель, которая может быть решена точно, должна быть непременно патологической. Я считаю такие доводы пессимистической чепухой трехмерная модель Изинга — весьма реалистическая модель, по крайней мере для бинарных сплавов, таких, как латунь. Если предсказания, основанные на принципе универсальности, правильны, то мы должны получить точно такие же критические показатели. Известно, что решение модели Изинга было получено только в случаях одного и двух измерений, но ведь двумерные системы реально существуют [c.7]

В данной главе изучаются три основных модели магнетизма — Изинга, Х7-модели и модели Гейзенберга в двумерном пространстве. Приводится точное решение модели Изинга с помощью метода трансфер-матрицы и фермион-ного представления. Вычисляются свободная энергия и корреляционные функции и находятся основные критические индексы, описывающие особенности физических величин вблизи точки фазового перехода. [c.137]

Нам представляется с этой точки зрения наиболее эффективным в решении задачи о двумерной модели Изинга метод, использованный в работе Шульца, Маттиса и Либа [144], основанного на применении трансфер-матрицы и последующем переходе к фермионно-му представлению. Отметим, однако, что имеется много методов получения и анализа точного решения Онсагера [44, 134]. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...