Биллиард аналитический

Проведем простой анализ, позволяющий получить аналитические результаты в явной форме [138]. Этот анализ выполняется одинаковым образом как для рассеивающих, так и для нерассеивающих биллиардов. [c.245]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Другими словами, в некотором смысле, почти все аналитические биллиарды являются неинтегрируемыми. В идейном отношении теорема 1 аналогична известному результату К. Зигеля о неинтегрируемости типичной гамильтоновой системы в окрестности устойчивого положения равновесия [71]. [c.123]

Таким образом, координаты точек на торе T = i, о1 о(12-), соответствующих невырожденным периодическим траекториям типа (д, 1), довольно плотно и равномерно заполняют кольцо —при малых 8 в том смысле, что в любой открытой области на Т , содержащей точку i>,,), такую, что = >2, имеются точки, соответствующие невырожденным периодическим траекториям типа (п, 1). Пусть F — первый интеграл биллиарда, аналитический на торе. Во всех этих точках grad/ = 0. По непрерывности имеем gradf ,9 = 0. [c.131]

Пространство аналитических биллиардов. Формулировка теоремы о неинтегрируемости. Рассмотрим биллиард Биркгофа, ограниченный гладкой выпуклой замкнутой кривой на евклидовой плоскости. Пусть фтос12я — параметр на этой кривой. Тогда любой паре точек (фь ф2)тос12л единственным образом сопоставляется пара (ф2, фз)== (фь фг), где точка ф , такова, что последовательность фь ф2. Фз является частью траектории биллиарда Таким образом, биллиарду Биркгофа соответствует отображение —>-Т двумерного тора на себя. [c.120]

Биллиард Биркгофа назовем аналитическим, если он задается кривой,, лежащей в Оа.л при некоторых А, а>0. В дальнейшем будем отождествлять аналитические биллиарды с соответствующими элементами i/л. . [c.122]

Аналитический биллиард называется интегрируемым, если он обладает аналитическим первым интегралом на торе 12= = (ф1, ф2то(12я . Читателю предлагается проверить, что квадратич- [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...