Биллиард

Соударения. Коэффициент восстановления. Развитие теории соударений было вызвано (в значительной степени) играми с шарами, в частности биллиардом в то же время эта теория доставляет модели для молекулярных столкновений, когда принимаются в расчет моменты импульса ). [c.188]

Рассеивающие биллиарды (биллиард Синая). Обобщение предыдущей модели, в к-рой вместо рассеивающих шаров имеется кривая граница. Пример биллиарда [c.399]

Др. тип биллиарда реализуется, если граница вогнутая (по отношению к частице). На рис. 6 показан пример бил- [c.399]

Наиб. содержательна Э. т. рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая). У такого биллиарда граница состоит из конечного числа гладких кривых или многообразий большей размерности, строго выпуклых внутрь области Q (рис. 6). Эта фаница, взятая в качестве зеркала, рассеивает (делает расходящимся) узкий параллельный пучок света, падающий на неё из Q. Рассеивающие биллиарды относятся к классу гиперболич. ДС с особенностями преобразования, из к-рых состоит система, теряют свойство гладкости (и даже непрерывности) в нек-рых точках фазового пространства (при отражении от границы направление вектора скорости меняется скачком). Теория таких [c.633]

Рис. 7. Примеры областей, в которых биллиард обладает К-свойст-вом, хотя и не является рассеивающим.

Играющего на биллиарде не интересует, как меняются скорости шаров во время удара. Важно только то, как будут двигаться шары после удара (рис. 4.3). [c.183]

Длины сторон биллиарда а=3 м и 6=1,5 м (рис. 41). У борта в произвольной точке А шару сообщили скорость у=1 м/с под углом а=30° к борту. Считая, что движение шара равномерно н что при ударах угол падения равен углу отражения, определите, через какое время шар вернется к борту, от которого начал движение (12 с.) [c.309]

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В БИЛЛИАРДАХ С МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ [c.171]

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Прямоугольный биллиард. Рассмотрим частицу, движущуюся в двумерном прямоугольном биллиарде, который медленно вращается с постоянной угловой скоростью ш > 0. Вращение предполагается медленным и) 1. Считается, что частица взаимодействует со стенками по закону упругого отражения. Гамильтониан системы во вращающейся системе координат имеет вид [c.171]

Будем считать, что длины сторон биллиарда являются медленными функциями времени = di et), где е о <С 1 является малым параметром. Если постоянны и вращение отсутствует, то новые переменные (/ ,( г) представляют собой переменные действие-угол рассматриваемой системы. [c.171]

Резонансные явления в биллиардах с медленно изменяющимися границами 173 [c.173]

Эллиптический биллиард. Перейдем к рассмотрению динамики частицы в эллиптическом биллиарде. Пусть — расстояния между частицей и фокусами биллиарда, 2с — расстояние между фокусами. Гамильтониан системы в эллиптических координатах — г + Г2, г] — г — Г2 имеет следуюш,ий вид [c.177]

Следует отметить, что возможно такое изменение параметров биллиарда, при котором не будет прохождений через резонансы, и динамика будет определяться КАМ-теорией [1]. Пусть параметры а и с изменяются таким образом, что а/с = [c.182]

Результаты численного исследования системы представлены на рис. 9-15. На рис. 9, 10 показаны результаты численного исследования медленно деформируемого эллиптического биллиарда без враш,ения. Полуоси биллиарда da и dь изменялись периодически во времени. На рис. 9 показаны скачки адиабатического [c.183]

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКИХ БИЛЛИАРДОВ [c.204]

Динамическую систему, описываемую уравнениями движения материальной точки с ударным выходом на одностороннюю связь, назовем динамическим биллиардом. Частным случаем является классический кинематический биллиард, когда на материальную точку не действуют никакие силы и ее траектория определяется только ударными выходами на связь, а отрезок траектории между двумя последовательными ударами есть прямолинейное движение с постоянной скоростью. В общем случае динамического биллиарда движение материальной точки определяется не только ударами, но и действующими на точку силовыми полями [1. [c.204]

Биллиард в однородном гравитационном [c.204]

При переходе в режим качения центр нтара дннжотся по касательной к параболе (21), Г сли ога касательная составляет Tynoii угол с начальной скоростью центра тара, то шар может повернуть назад явление, хорошо иннестпое игрокам на биллиарде. [c.193]

Это и будут начальные значения величин ое, р, тг, у, р во второй фазе, в течение которой центр О продолжает двигаться по прямой линии с постоянной скоростью составляющие этой скорости определяются из уравнений (10). Так как эти составляющие совпадают с составляющими скорости точки О в конце параболической траектории первой фазы, то мы непосредственно видим, что центр О после пробегания дуги параболы движется равномерно вдоль касательной в конце параболы в ту же сторону. Так как может случиться (это видно из уравнений (10)), что ориентированное направление этой касательной образует тупой угол с начальной скоростью, то мы имеем здесь теоретическое объяснение того факта, хорошо известного игрокам на биллиарде, что шар при известных условиях может в своем движении повернуть назад. [c.191]

С биллиардами связаны нек-рые задачи классич. и квантовой механики. Так, движение по отрезку прямой п материальных точек, упруго сталкивающихся друг с другом и с концами отрезка, сводится к биллиарду в п-мерном многограннике (при и = 2 — в треугольнике). Аналогичная система из п упругих шаров в прямоугольном ящике сводится к биллиарду в более сложной области, граница к-рой состоит из кусков цилиндрич. гиперповерхностей. В этих примерах постоянство длины движущегося вектора служит выражением закона сохранения энергии. Рассмотрение биллиарда в области с гладкой границей позволяет получить содержательную информацию о спектре Дирихле задачи в такой области. [c.633]

В зависимости от вида границы dQ выделяют неск. классов биллиардов с существенно разл. эргодич. свойствами, к-рые к настоящему времени (1997) изучены далеко не полностью. [c.633]

Кое-что известно о биллиардах в многоугольниках и многогранниках, в частности то, что энтропия такого биллиарда равна нулю и что биллиард в большинстве прямоугольных треугольников эргодичен. Рассмотрим биллиард в л-угольнике с углами а , к-рые соизмеримы с л (т. е. а,- = /,я//и,, где / , —целые числа). Всякой траектории биллиарда отвечает ее проекция на Q—ломаная линия L со звеньями, концы к-рых лежат на сторонах многоугольника. Вследствие соизмеримости всех di с It угол между любым звеном ломаной L и горизонталью может принимать лишь значения вида целое число т зависит от рассматриваемого звена, а ф — постоянно вдоль траектории и удовлетворяет условию 0<ф<я//. Очевидно, <р — инвариантная ф-ция, не являющаяся константой, а потому биллиард не эргодичен (тем не менее для каждой его траектории, кроме нек-рого множества нулевой меры, соответствующая ломаная L всюду плотна в Q). [c.633]

Ещё менее эргодичен биллиард в выпуклой области с достаточно гладкой границей (простейшие примеры — жруг и эллипс). У такого биллиарда всегда существуют каустики—гладкие кривые у, лежащие в Q и обладающие по отношению к любой из траекторий (точнее, к любой из их проекций) L тем свойством, что либо L и у не имеют общих точек, либо каждое звено ломаной L касается у. Для биллиарда в круге каустики—концентрич. окружность (рис. 5), для биллиарда в эллипсе—софокусные эллипсы н гиперболы. [c.633]

Рис, 6, РассеиваюЕций биллиард параллельный пучок после отражения становится расходящимся. [c.633]

Важным открытым вопросом остается возможность неограниченного ускорения частицы в рассматриваемом биллиарде. Хорошо известно (см., например, [2]), что в сходной одномерной задаче (модель Улама [2], движение частицы между двумя осциллирующими стенками) неограниченное ускорение невозможно при условии, что движение стенок описывается достаточно гладкими функциями. Причина состоит в том, что когда частица движется достаточно быстро по сравнению со скоростью движения стенок, в системе имеется сохраняющийся вечно адиабатический инвариант (см. [8]), что ограничивает скорость частицы. В рассматрива- [c.176]

Пусть биллиард медленно вращается с угловой скоростью uj, причем параметры с и а медленно изменяются с = et), а = а (et). Пусть в декартовой системе координат х,у) фокусы биллиарда имеют координаты (с, 0) и (—с,0). Обозначим импульсы, канонически сопряженные (х,у), через PxtPy)- Переходя к новым переменным Ри,и, P ,v) с помощью канонической замены переменных с производящей функцией W = с(рж osh v os w — Ру sinh г sin и) [11], получим следующий гамильтониан [c.178]

Гамильтониан (19) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. Невозмущенная система (г = = onst, = ш = 0) интегрируема. Кроме интеграла энергии, имеется дополни-тельний интеграл движения i = с = с , [c.179]

Рис. 8. Фазовые портреты осцилляторов (20) а) плоскость (Ри,и). Если с А + с > О (случай А), движение в плоскости Ри, и) колебательное. Если с к Си < О (случай Б), движение вращательное, б) плоскость (/, ,г ). Вертикальные прямые V = агссо8Ьа/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А с к + Сг, >0) фазовая точка, которая начала движение из точки на левой стенке с > О, движется направо до столкновения с правой стенкой , затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Ру = О, затем движется влево до столкновения с левой стенкой , затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б [с к + с < 0) фазовая точка, начавшая двигаться из точки на левой стенке с Ру > О, движется вниз до столкновения с той же стенкой , затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии г = О, затем движется вверх до столкновения правой стенкой , затем перескакивает в начальную точку, и т. д.

Рис. 8. <a href="/info/10625">Фазовые портреты</a> осцилляторов (20) а) плоскость (Ри,и). Если с А + с > О (случай А), движение в плоскости Ри, и) колебательное. Если с к Си < О (случай Б), <a href="/info/2736">движение вращательное</a>, б) плоскость (/, ,г ). Вертикальные прямые V = агссо8Ьа/с соответствуют потенциальной стенке биллиарда. Область между прямыми соответствует частицам, движущимся в биллиарде. Заштрихованная область вне прямых соответствует частицам, движущимся вне биллиарда (их движение мы не рассматриваем). В случае А с к + Сг, >0) <a href="/info/15667">фазовая точка</a>, которая начала движение из точки на левой стенке с > О, движется направо до столкновения с правой стенкой , затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии Ру = О, затем движется влево до столкновения с левой стенкой , затем перескакивает в начальную точку, и т. д. В случае Б [с к + с < 0) <a href="/info/15667">фазовая точка</a>, начавшая двигаться из точки на левой стенке с Ру > О, движется вниз до столкновения с той же стенкой , затем перескакивает в точку, расположенную симметрично относительно линии г = О, затем движется вверх до столкновения правой стенкой , затем перескакивает в начальную точку, и т. д.

Итак, динамика в эллиптическом биллиарде похожа на рассмотренную в предыдущем разделе динамику в случае прямоугольного биллиарда. Фазовая точка в пространстве (/ , 7 ,, Pf, г) движется следующим образом вдали от резонансных поверхностей низкого порядка ки00и 1и, Р ,т ) kv v Iv, = 0 [c.182]

В последние годы автор и его коллеги занимались некоторыми прикладными задачами динамических биллиардов [2-10]. В настоящей статье дается краткий обзор этих исследований. Эти исследования проводились при финансовой поддержке Фонда фон Гумбольдта (Германия, 1993-94 гг, 1998 г) и грантов ШТА8 94-644, РФФИ 95-01-00308, РФФИ 98-01-00940, ШТА8 99-01096. [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...