Функция Гамильтона контактная

Определение. Контактной функцией Гамильтона контактного векторного поля на контактном многообразии с фикси- [c.329]

Уравнения движения после контактных преобразований. Рассмотрим те видоизменения, которым подвергаются уравнения движения механической системы при переходе от старых переменных к новым посредством контактного преобразования. Пусть динамическая система характеризуется функцией Гамильтона Н qi,. . q , Pi, Рг, Pn i t). Уравнения движения запишем в виде [c.504]

Рассмотрим систему с функцией Гамильтона Н q-, р t) п подвергнем ее бесконечно малому контактному преобразованию (25.6.1). После преобразования система будет иметь функцию Гамильтона Н. равную [c.518]

Если теперь совершить контактное преобразование, получаемое из производящей функции W (см. формулы (25.7.5)), то новая функция Гамильтона [c.520]

Обратимся теперь к задаче отыскания контактного преобразования, приводящего функцию Гамильтона к форме (25.10.7). Требуется построить матрицу К размером т X т т = 2п) такую, чтобы [c.525]

Таким образом, матрица К обладает требуемыми свойствами (25.10.10) и (25.10.11) преобразование х = Ку является контактным, а новая функция Гамильтона [c.526]

Формулы (29.7.1) определяют контактное преобразование. Новая функция Гамильтона, записанная в переменных и , v , не содержит линейных слагаемых. Так как и, v остаются малыми, то первое приближение мы получим, если в уравнениях движения сохраним лишь линейные члены, что равносильно сохранению одних только квадратичных членов в функции Гамильтона. Указанное первое приближение определяется уравнениями [c.582]

Теорема. Контактная функция Гамильтона К контактного векторного поля X на контактном многообразии с выбранной [c.330]

Доказательство. Воспользуемся выражением для приращения обычной функции Гамильтона вдоль пути через векторное поле и контактную структуру ( 48, В). [c.330]

Задача. Найти компоненты контактного поля с данной контактной функцией Гамильтона К = К х, у, z). [c.330]

Если заменить в (2г) частную производную У1 = У1 У,1) в (2/1 + 1)-мерном пространстве y,t) полной производной у = у 1) вдоль кривой в фазовом пространстве, то (2г) представит тогда не что иное, как гамильтонову систему с функцией Гамильтона Н. Описывая это свойство, обычно говорят, что канонические преобразования являются контактными преобразованиями. [c.97]

Pi, Р2, , Pn, определяемые соотношениями (25.4.2), удовлетворяют уравнениям Гамильтона (25.4.6). Перейдем в них к новым переменным (р1, Q2, ( , Pi, Р2, Р , с помощью контактного преобразования (25.4.1). Выразим функцию W через у и t [c.514]

Можно дать новое, весьма изящное доказательство теоремы Пуассона ( 22.3). Возьмем в качестве функции ф известный интеграл исходной системы Гамильтона, при этом семейство траекторий в фазовом пространстве преобразуется само в себя, т. е. каждая траектория преобразуется в другую, близкую траекторию системы. Если а з (д р t) есть другой интеграл уравнений Гамильтона, то приращение его при контактном преобразовании (т. е. разность г]) Q Р i) — г (д р t)) будет равно (г з, ф) эта последняя величина остается постоянной, поскольку преобразованная траектория является одновременно траекторией исходной системы. Таким образом, (г ), ф) является функцией от (д р г), которая сохраняет постоянное значение вдоль траекторий гамильтоновой системы, иными словами, если ф и г з — известные интегралы уравнений Гамильтона, то (t 5, ф) также будет интегралом этих уравнений, и теорема Пуассона, таким образом, доказана. [c.518]

Но согласно (25.7.14) функция Н тождественно равна нулю, откуда и следует теорема. Функции Р от (д р () образуют п новых интегралов исходных уравнений Гамильтона. Эти интегралы находятся в инволюции (в силу условий для скобок Пуассона, выполняющихся при контактных преобразованиях, см. 24.9). [c.520]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Если контактное преобразование задается производящей функцией V (см. (24.3.6), (24.3.7)), то новая функция Гамильтона Н равняется сумме Н -Ь (dUldt), выраженной через Q, Р vi t. В частности, если уравнений преобразования не содержат t, то новые уравнения Гамильтона в перзменных ( Р) получаются из функции Гамильтона Н, которая равна исходной функции Гамильтона Н, выраженной в новых переменных. [c.504]

Контактные преобразования встречаются и во многих других случаях. Движение динамической системы определяет контактное преобразование (goJ Ро) в Р)- Кроме того, если мы будем фиксировать траекторию в фазовом пространстве с помощью параметров (а Р), связанных с q -, рд) соотношениями р,. da. = dq g, то преобразование от (а Р) к (q р) будет контактным ( 24.1). В самом деле, подобное контактное преобразование мы получаем всякий раз, когда решаем задачу динамики с помощью теоремы Гамильтона — Якоби ( 25.2). Можно, наконец, определить контактное преобразование с помощью производящей функции ( 24.3) в дальнейшем, при исследовании задачи трех тел (гл. XXIX), мы приведем много примеров контактных преобразований. [c.503]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Теперь от лагранжевой формы уравнений движения мы можем обычным путем перейти к гамильтоновой форме. С помощью (10.91) и (10.92) в выражении (10.99) можно исключить скорость ф и получить гамильтониан Я = = Я (Яц, x , t) как функцию от сопряженных канонических переменных (Рд, х ) и t. Тогда уравнения движения можно записать в гамильтоновой форме dPix, dt = — дН1дх dx4dt — дН дР и соответствующим выбором контактного преобразования использовать метод интегрирования Гамильтона —Якоби. [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...