Топологическая структура разбиения на траектории

Вместо ТОГО, чтобы говорить разбиения на траектории, определенные динамическими системами (Aj) и (Ag) соответственно в областях G и Gn, имеют одинаковую топологическую структуру мы будем говорить короче динамические системы (Aj) и (А2) имеют соответственно в областях i , и 2 одинаковую топологическую структуру . Мы будем также часто для краткости говорить динамические системы (Aj) и (А2) имеют одинаковую топологическую структуру либо топологические структуры разбиения на траектории областей 0 и G2 одинаковы . При этом подразумевается, что в первом случае известно, о каких областях, а во втором—о каких системах идет речь. [c.126]

Полным качественным исследованием динамической системы является установление топологической структуры разбиения на траектории, определенного этой системой. [c.129]

Последняя формулировка имеет весьма общий и неопределенный характер. Естественно поэтому постараться конкретизировать, в чем заключается задача установления топологической структуры разбиения на траектории, заданного дина.мической системой. Сделать это в общем виде для всевозможных динамических систем не представляется возможным. Однако если ограничиться рассмотрением некоторых более узких классов динамических систем, то в понятие установления топологической структуры можно внести точный и конкретный смысл. [c.129]

Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы качественного исследования. Качественное изучение разбиения на траектории в целом, другими словами, изучение топологической структуры разбиения на траектории можно считать основной задачей качественной теории динамических систем. Эта задача имеет два различных аспекта. [c.133]

Первый аспект — это выяснение того, каковы вообще возможные свойства разбиения на траектории (при тех или других ограничениях на правые части). Как по своему характеру, так и по своим методам круг вопросов, который при этом возникает, непосредственно примыкает к содержанию главы И, т. е. к исследованию возможных типов отдельной траектории, а также к рассмотрению простейших основных свойств разбиения на траектории в целом, которое дается предложениями 4. Дальнейшее исследование свойств разбиения на траектории, естественно, поднимает целый ряд новых вопросов. Простейшие примеры разбиений на траектории ( 1) показывают, что не все траектории равноправны, что среди траекторий существуют некоторые исключительные траектории, которые естественно назвать особыми . Такими траекториями являются, например, состояния равновесия и замкнутые траектории. Естественно поставить вопрос о внесении точного смысла в понятие особой траектории, о выделении вообще всех возможных типов особых траекторий, об их роли в разбиении и т. д. Наконец, возникает вопрос, каковы сведения о траекториях, в частности об особых траекториях, необходимые для определения топологической структуры разбиения на траектории, хотя бы в случае некоторых сравнительно узких классов динамических систем. Последний вопрос непосредственно и органически связан с вопросом, затронутым в п. 2, [c.133]

Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например, разбиений в случае систем (9) и (11) 1, п. 14) приводит к заключению, что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие траектории, которые естественно назвать особыми , в отличие от остальных неособых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что при установлении топологической структуры разбиения на траектории знание числа и расположения таких особых траекторий играет фундаментальную роль. [c.256]

Выделение особых траекторий и установление возможного характера ячеек позволяет получить весьма полное представление о возможном характере разбиения на траектории. При этом вносится известная ясность в вопрос о том, какие из траекторий динамической системы должны играть основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории. [c.257]

Теорема 36. Пусть даны две дина.мические системы, определенные или обе на сфере, или обе — в ограниченных плоских областях (G и G ). Если топологические структуры разбиения на траектории у этих [c.259]

Однако к вопросу о полном определении топологической структуры разбиения на траектории можно также подойти с несколько другой точки зрения, непосредственно не опираясь на рассмотрение ячеек. [c.315]

В таком аспекте проводится в следующих главах рассмотрение вопроса о полном определении топологической структуры разбиения на траектории. Такой аспект, когда основными элементами, которыми непосредственно определяется качественная структура, являются характер состояний равновесия и знание предельных континуумов (а не расположение и характер ячеек), представляется естественным также с точки зрения фактического качественного исследования конкретных примеров (см. исследование примеров главы ХП). [c.315]

В главе XI будет показано, что схема динамической системы определяет топологическую структуру разбиения на траектории полностью, т. е. если у двух динамических систем схемы одинаковы, то у них одинакова и топологическая структура разбиении иа траектории. [c.315]

Л е м м а 7. Топологические структуры разбиения на траектории всех замкнутых элементарных областей следующих типов 1) элементарного четырехугольника-, 2) правильного параболического сектора 3) правильной эллиптической области 4) правильной седловой области — различны между собой. [c.339]

Сейчас мы будем выделять их, т. е. мы будем выде.лять все особые полутраектории, стремящиеся к состоянию равиовесия О, как являющиеся его - и а-сепаратрисами, так и не являющиеся. Для того чтобы описать расположение этих особых полутраекторий по отношению к сепаратрисам состояния равновесия О, а также по отношению друг к другу, мы введем понятие полной (глобальной) схемы состояния равновесия. Это понятие играет основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории в целом (а не только в окрестности данного состояния равновесия ). [c.356]

Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию к главе VHI. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также схема границы области G в предположении, что эта граница нормальна. Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди них предельных) — схемы динамической системы , которое, как мы увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. [c.411]

Основная теорема 76. Для того чтобы топологические структуры разбиения на траектории динамических систем В и В в замкнутых областях С и С были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы схемы этих систем были тождественны. [c.497]

Прежде чем переходить к более детальному описанию свойств качественного характера как отдельной траектории, так и всего разбиения на траектории в целом (которое приводится в следующей главе), уточним понятие качественной (топологической) структуры разбиения на траектории. [c.37]

Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы. Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую оол стъ).. Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области) 2°). [c.37]

Уточнение понятия качественной картины фазовых траекторий или, в другой терминологии, топологической структуры разбиения на траектории дается следующим образом. [c.37]

Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории 2). [c.38]

Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что тоже самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, [c.38]

Особые и неособые полутраектории п траектории. Рассмотрение конкретных частных примеров динамических систем естественно приводит к мысли, что для знания топологической структуры разбиения на траектории нужно знать взаимное расположение не всех траекторий, а лишь некоторого конечного числа особых траекторий. В рассмотренных выше примерах такими траекториями являлись состояния равновесия, замкнутые траектории и сепаратрисы седел. Естественно возникает вопрос о том, исчерпываются ли этими типами особые траектории и как в общем случае эти особые траектории могут быть охарактеризованы. Эти вопросы рассматриваются в настоящем параграфе. [c.50]

Однако к вопросу определения топологической структуры разбиения на траектории можно подойти также с несколько другой точки зрения, непосредственно не привлекая с самого начала рассмотрения ячеек. [c.57]

Именно, для установления топологической структуры разбиения на траектории в первую очередь естественно исследовать характер состояний равновесия (ниже это понятие уточняется), что даст, в частности, и сведения о числе сепаратрис и их расположении вокруг каждого отдельного состояния равновесия затем установить число и взаимное расположение предельных континуумов, в частности предельных циклов, и, наконец, установить расположения сепаратрис, не являющихся предельными, т. е. для каждого состояния равновесия установить, к какому предельному множеству стремится сепаратриса этого состояния равновесия соответственно при i +oo и t—о°. [c.57]

Указанный второй подход к определению топологической структуры разбиения на траектории (путем определения характера состояний равновесия, взаимного расположения предельных континуумов и хода сепаратрис) представляется наиболее естественным, так как он адекватен тому подходу, которым фактически проводится качественное исследование в тех случаях, когда существующие методы позволяют это сделать (см. ч. III). [c.57]

Отметим, что малое изменение решения на конечном промежутке значений t отнюдь не обеспечивает неизменность характера целых траекторий и тем более неизменность качественной (топологической) структуры разбиения на траектории в целом ). [c.134]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Мы скажем, что проведено полное качественное исследование динамической системы, если установлена топологическая структура разбиения на траектории этой системы. Как уже указывалось, на основании рассмотренных частных примеров можно думать, что для установления топологической структуры разбиения на траектории нужно знать поведение не всех траекторий, а линь некоторых особых траекторий. [c.412]

Односвязные и двухсвязные ячейки. Естественно поставить теперь вопрос о том, какие возможны типы отдельных ячеек у рассматриваемых нами динамических систем. Именно, так же как мы говорим о топологической структуре разбиения на траектории области плоскости О, в которой определена динамическая система, можно говорить о топологической структуре разбиения на траектории отдельной ячейки и интересоваться вопросом о классификации ячеек по топологической структуре их разбиения на траектории. При этом мы можем рассматривать либо ячейку как таковую, либо ячейку вместе с границей (состоящей из целых особых траекторий), т. е. замкнутую ячейку, являющуюся замкнутой областью (для. целей качественного исследования больший интерес представляет рассмотрение именно ячеек вместе с границей). [c.424]

Используя приведенные теоремы, можно исчерпывающим образом описать границы, возможные у ячеек, и установить условия (геометрически эти условия представляются очевидными), при которых две ячейки, рассматриваемые без границ или вместе с границами, имеют одинаковую топологическую структуру разбиения на траектории ). Однако это рассмотрение выходит за рамки настоящей книги. [c.425]

Нетрудно видеть, что число различных типов ячеек (т. е. ячеек с различной топологической структурой разбиения на траектории) в случае, когда ячейка рассматривается без границы, конечно. Число различных типов замкнутых ячеек, т. е. в случае, когда ячейка рассматривается вместе с границей, неограниченно увеличивается при увеличении числа состояний равновесия у динамической системы. Однако в случае грубых систем, рассмотренных в следующем параграфе, независимо от числа состояний равновесия системы существует лишь конечное число типов замкнутых ячеек. [c.425]

Можно показать (ср. 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы. [c.457]

Типы ячеек, возможных в грубых системах. Выясним, какие могут быть топологические структуры разбиения на траектории отдельных ячеек в грубых системах. При этом мы будем отдельные ячейки всегда рассматривать вместе с границами. Кроме того, среди ячеек, имеющих одинаковую топологическую структуру, мы будем все же различать два типа именно, мы будем считать ячейки принадлежащими к одному и тому же типу лишь в случае, если между ними существует топологическое отображение (переводящее траектории в траектории), сохраняющее направление вращения ). [c.457]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Для иллюстрации понятия тождественности топологической структуры разбиения на траектории приведем простые, в основном геометрические, нрнмеры. Рассмотрим разбиение круга С радиуса единицы на траектории системы (40) примера 3 и системы (45) примера 4 1 (рис. 10 и 13). Начало координат является у системы (40) состоянием равновесия типа [c.129]

ИЛИ в лучшем случае задания численных значений комбинаций из этих параметров. Между тем в динамические системы, возникающ ие из приложений, всегда входит то или другое число параметров, которые могут принимать различные значения. Необходимость задания параметров затрудняет обозрение всей задачи в целом. Поэтому там, где возможно применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда следует предпочитать методам приближенного численного интегрирования. Однако в некоторых случаях использование приближенного интегрирования является единственным возможным методом получения сведений о топологической структуре разбиения на траектории данной динамической системы. Подчеркнем, что при этом представляет интерес не приближенное вычисление траекторий на том или другом промежутке значений I, само по себе, которое, конечно, имеет смысл и значение во многих задачах, а то, как такое приближенное вычисление служит для установления качественной структуры разбиения на траектории или хотя бы для получения тех или других качественных характеристик разбиения на траектории. [c.250]

Перейдем теперь к доказательству тон дествеиности топологическо структуры разбиения на траектории замкнутых об.частей одного и того [c.339]

Теорема 72. Если локальная схема двух со (а или 0)-предельных континуумов и Кдвух динамических систем различных или совпадающих) тождественна, то топологическая структура разбиения на траектории всяких двух замкнутых канонических окрестностей этих континуумов тюждестеенна. [c.426]

Полная (глобальная) схема предельного континуума. Напомним прежде всего понятие локальной схемы предельного континуума. Мы говорим (см. 24, и. 3), что задана локальная схема предельного континуума или К , если задано перечисление его траекторий и указано, каким именно континуумом он является ю-, а- или О-иредельным. Из теоремы 72 следует, что локальная схема однозначно определяет топологическую структуру разбиения на траектории замкнутой канонической окрестности континуума Далее (см. лемму 1), локальная [c.442]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Таким образом, полная схема является топологическим инвариантом динамической системы. Выше, при рассмотрении конкретных примеров, мы неоднократно говорили о том, что для знания топологическо структуры разбиения на траектории нужно знать характер состояний равновесия, число и расположение замкнутых траекторий и ход сепаратрис . Введение понятия схемы динамической системы фактически является внесением точного смысла в указанные наглядные, но весьма расплывчатые определения. [c.453]

Здесь прежде всего следует отметить работу Брауэра, в которой вопрос о разбиении. сферы на области, заполненные траекториями со сходным поведением, рассматривается для весьма общего случая, именно, для случая непрерывного векторного поля на сфере, с конечным числом особых точек. (В силу того, что Брауэр предполагает по.т1е просто непрерывным, а не непрерывно-дифференцируемым, как в настоящей книге,— через неособые точки сферы может проходить более одной траектории.) Если классификацию областей, данную Брауэром, использовать в рассматриваемом нами случае непрерывно-дифференцируемого поля, то отдельные области Брауэра, вообще говоря, будут состоять из нескольких ячеек в смысле 17. В качестве примера можно привести область, представленную на рис. 341, образующую одну область Брауэра. Она состоит из двух ячеек. Вопрос о выделешш траекторий, определяющих топологическую структуру разбиения на траектории, Брауэром не ставился. [c.555]

Определение бифуркации. Бифуркацией динамической системы мы будем называть изменение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории, ироисходящее при переходе от данной негрубой системы [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...