Бесселя однородные

Другой путь избрал Бессель в своих известных Исследованиях о длине простого секундного маятника , чтобы освободиться от предположения об однородности частей маятника и одновременно исключить другую причину ошибок, которая состоит в следующем. Ось вращения маятника образуется обычно призмой, которая покоится на горизонтальной подставке. Но острие приз.мы представляет не математическую линию, а узкую часть цилиндрической поверхности очень большой кривизны это означает, что ось вращения маятника лежит не точно в плоскости, которая несет призму, и определяется неточно. Аналогичная ненадежность остается при любом другом способе подвешивания маятника. Бессель использовал два маятника, которые были образованы одним и тем же шаром, одной и той же призмой и двумя стержнями, разность длин которых измерялась с предельно возможной точностью. [c.72]

Уравнение (4.75) имеет точное аналитическое решение, определяемое зависимостями (4.74), (4.19), (4.23) при подстановке z вместо Z и у вместо у. Можно показать, что однородное дифференциальное уравнение, полученное из (4.75) при отмеченном способе формирования р (t), оказывается модификацией родственного уравнения Бесселя [40]. [c.159]

Решение однородного уравнения (10.120) находим через функции Бесселя действительного и мнимого аргумента [c.210]

Решение однородного уравнения (10.136) находится через функции Бесселя [c.212]

Постоянные а и 6 находятся из условий закрепления края пластинки. Для диска без отверстия таких условий будет два, и они в каждом случае закрепления приводят к системе однородных уравнений относительно-постоянных а и Ь. После исключения а и Ь получается одно трансцендентное уравнение относительно k, корни которого, найденные по таблицам функций Бесселя, определяют частоты свободных колебаний диска. [c.8]

Как следует из (3.3.10), однородная часть предыдущего уравнения соответствует модифицированному уравнению Бесселя. Так как общее решение однородного уравнения известно, то решение неоднородного уравнения (3.3.13) можно найти, используя метод вариации постоянных. В конце концов это приводит к выражению [c.91]

Решение однородного уравнения Бесселя можно представить в аналитической форме записи через функции Бесселя [c.177]

После подстановки выражения (7.179) в указанное однородное уравнение получим дифференциальное уравнение Бесселя для определения функции v r), идентичное уравнению (7.6) [c.443]

В выражение для (г) входит линейная комбинация функций Бесселя и Неймана. Функция Неймана имеет бесконечную особенность при г = 0. Физически очевидно, что эту особенность необходимо исключить, положив константу при функции Неймана (В , см. ниже) равной нулю. Если считать, что диск сделан из однородного материала, т. е. не учитывать неоднородность, в виде пьезокерамического кольца, то при указанных условиях получается следующее уравнение для собственных частот диска [c.302]

Свертывание р с / (76) делает функцию р более размазанной по углам, более однородной по переменной "ф. Коэффициенты Фурье й (78) в среднем спадают с увеличением п, причем все = 1. Поэтому умножение на них коэффициентов Рг.1 В (82) уменьшает их величину и тем самым как бы гасит вклад трансформант Фурье — Бесселя высоких порядков п в структурную амплитуду/"г (82). Значит, и эта функция г (/ , ,/с ) становится более однородной по углам Ч обратного пространства. Такое угловое сглаживание происходит одинаково для всех слоевых линий, так как / (гр), а значит, и (78) зависят только от углов. [c.296]

Чтобы определить и , обратимся ко второму из уравнений (2.1) и рассмотрим сперва решение однородного уравнения. Так как по известному свойству функций Бесселя [c.662]

Упругое равновесие бесконечного цилиндра изучалось многими авторами, Осесимметричная задача о действии на полый цилиндр нормального давления, приложенного на участке боковой поверхности, была рассмотрена в 1943 г. Г, С. Шапиро им было получено решение этой задачи при помощи интегралов Фурье — Бесселя (это решение было позднее повторено В. Н, Поповым, 1956). Однородные решения для сплошного и полога цилиндров при осесимметричной их деформации рассматривались В. К. Прокоповым (1949, 1950). Осесимметричная задача для бесконечного сплошного цилиндра, нагруженного нормальными усилиями по боковой поверхности, была изучена в 1953 г, А. И, Лурье решение этой задачи, [c.19]

Однородные решения при осесимметричной деформации конической оболочки постоянной толщины, выполненной из изотропного материала, могут быть получены в замкнутой форме при помощи функций Бесселя второго порядка от комплексного аргумента 11 /1 (г —мнимая единица) [38, 39, 63]. [c.136]

Частные решения однородного уравнения зависят от п и выражаются через функции Бесселя порядка N [си. [И], стр. 670). Если п не является целым числом, то [c.296]

Если рассматривается случай рассеяния однородной сферой, то элементы ( -матрицы 5- также легко можно продолжить на нецелые значения J. Функции, содержащиеся в (2.127), непосредственно выражаются через функции Бесселя и Ганкеля, которые являются аналитическими функциями индексов, обозначающих их порядок. Согласно определению функций Риккати — Бесселя [c.88]

Численный метод расчета градиентных оптических волноводов, пригодный для использования в области больших V, заключается в том, что внутри неоднородной сердцевины выделяется область с постоянной диэлектрической проницаемостью [21]. Волновое уравнение (1.2) в этой области и в оболочке имеет вид уравнения Бесселя. Решения его можно представить в явном виде с точностью до постоянных. Значения полей на границах неоднородной области с соседними однородными связаны с помощью матрицы передачи размерностью 4X4. Элементы матрицы определяются в результате численного решения системы уравнений Максвелла методом прогноза и коррекции в неоднородной области сердцевины. Полученная линейная однородная система уравнений относительно постоянных в разложении поля имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда ее определитель равен нулю. Равенство нулю определителя дает дисперсионное уравнение, из которого численно определяются постоянные распространения мод. По сравнению с одношаговыми методами удается снизить время счета и повысить точность вычислений. Кроме того, можно рассчитывать ДХ мод в области больших частот, где другие методы дают большую погрешность из-за накопления ошибок в процессе вычислений. Рассмотренный численный метод расчета выгодно отличается от метода, предложенного в работе [52], тем, что нет необходимости предварительно определять точки поворота, разделяющие области колебательного и экспоненциального характера решения. [c.27]

Частота сравнительно просто входит в формулы (15,40) Atj oj, а остальные параметры, кроме т, от oj не зависят. Это позволяет вычислить преобразование Фурье по со от р (г, г о) и тем самым найти звуковое давление в случае, когда источник излучает -образный импульс. Оно состоит из двух компонент импульса 6(/ - т), где т - время распространения звука от источника, и хвоста , начинающегося при t т и медленно спадающего при /-> >, давление в котором ограничено и выражается через функцию Бесселя первого порядка. При переходе к однородной среде [c.342]

Упрощенные уравнения в стационарном случае приводятся к уравнениям в частных производных, в которые нелинейность обычно входит простым образом. В неодномерном случае их, как правило, не удается решить аналитически. Однако в большинстве случаев легко можно определить, имеет данное уравнение солитонное решение или нет. Общая математическая теория этих вопросов в случае неодномерных задач, если они относятся к неинтегрируемым, пока не разработана. В [2.5] предложен простой алгоритм, позволяющий найти солитонное решение. По этому алгоритму легко получить такое решение численным методом. К сожалению, с его помощью не всегда удается определить, является ли локализация решения экспоненциальной или степенной. В [2.5] указано, что с помощью преобразований Фурье или Фурье-Бесселя уравнения солитонов приводятся к однородному нелинейному интегральному уравнению вида [c.39]

В работе [86] рассмотрено отражение б-импульса от поверхности раздела вакуум — плазма (холодная и однородная). Решение найдено в виде разложения по функциям Бесселя и Струве амплитуда отраженного сигнала осциллирует вокруг нуля, причем сигнал сильно растягивается во времени амплитуда заметно отличается [c.144]

Уравнение (1) имеет структуру, заранее предопределяющую применение машинного счета. Для однородного стержня, правда, имеется надежда свести решение уравнения к та-( улированным функциям Бесселя либо родственным им. Однако даже в этом случае наиболее быстро решается задача при помощи ЭЦВМ. Полагаем [c.306]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...