Ось симметрии четвертого порядка

В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой л-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360°/ . Например, для куба (см. рис. 5.20) прямая АВ — ось симметрии третьего порядка, СО — ось симметрии четвертого порядка. Вообще правильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. [c.70]

Если три плоскости симметрии пересекаются по одной линии, то эта линия называется осью симметрии третьего порядка и тело может иметь три симметричных положения если пересекаются четыре плоскости симметрии, то они образуют ось симметрии четвертого порядка и тело может иметь четыре симметричных положения и т. д. [26]. Таким образом, общая формула для па.хождения количества различимых положений тела [c.89]

Рассмотрим далее случай, когда анизотропное тело характеризуется осью симметрии четвертого порядка. В таком теле упругие свойства повторяются при повороте системы координат относительно оси симметрии на 2л/4 = 90°. Если за ось симметрии четвертого порядка примем ось л з, то = х = х[, а коэффициенты даются следующей таблицей [c.97]

Инверсионная (зеркальная) ось симметрии четвертого порядка [c.29]

Одна ось симметрии четвертого порядка С4, одна ось симметрии второго порядка Са (совпадающая с осью С4), четыре вертикальные плоскости симметрии [c.23]

Ось симметрии четвертого порядка совпадаете осью вращения XI. [c.32]

Были измерены и рассчитаны радиальные перемещения и на внутренней поверхности колец. Для кольца с осью, параллельной осп 1, упругие свойства в плоскости кольца зависели от угла ф. Вследствие этого радиальные перемещения при внешнем давлении р не обладали осевой симметрией. Они лишь повторялись в каждом квадрате, так как ось / являлась осью упругой симметрии четвертого порядка. При малых нагрузках, как показал эксперимент при р-< 1 МПа, наблюдалось линейное поведение материала. Это позволило провести аналитическую оценку радиального перемещения [c.197]

Для кристаллов кубической симметрии кристаллографические осп совпадают с ребрами куба, т. е. с осями симметрии четвертого порядка С , и длины единичных отрезков о. равны друг другу (см. рис. 70, а). На рис. 71 показаны те кристаллографические [c.247]

Ось симметрии бесконечного порядка 14 второго порядка 12 третьего порядка 12 четвертого порядка 12, 13 Ось симметричного волчка и ее прецессия [c.618]

Если ось г системы координат направлена вдоль оси симметрии четвертого порядка. [c.14]

Для иллюстрации особых точек зоны Бриллюэна рассмотрим квадратную двумерную решетку. Ее зона Бриллюэна представляет собой квадрат, изображенный на рис. 8. Точечная группа симметрии этой зоны имеет восемь элементов симметрии Е (тождественный) С4, С , С —Х)си симметрии четвертого порядка (с поворотами на 90, 180 и 270°) и четыре плоскости зеркальной симметрии Ох, Оу, о , Первые две, соответственно, перпендикулярны осям кх и ку, а две другие проходят через диагонали квадрата. [c.28]

Понятие об ортогональной анизотропии. Симметрия анизотропной среды определяется ее структурой. Наиболее часто в технике встречаются материалы, которым с достаточной степенью точности можно приписать наличие трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Такие материалы называются ортотропными или ортогонально анизотропными. Линии пересечения плоскостей симметрии являются осями симметрии второго порядка поворот фигуры на половину окружности вокруг такой оси приводит к полному совмещению всех ее точек (см. рис. 1.1). Пространственная фигура (поверхность анизотропии), изображающая характеристику какого-либо свойства ортотропного материала, обладает меньшей симметрией, чем фигуры для материала с кубической симметрией. Оси симметрии материала с кубической симметрией имеют четвертый порядок. Поворот фигуры на четверть окружности приводит в этом случае к совмещению всех ее точек. На рис. 1.2 изображены для примера поверхности анизотропии модулей Е и О кристалла с кубической симметрией (монокристалла альфа-железа). Фигуры отсекают на трех осях симметрии одинаковые отрезки. Для ортотропного материала эти отрезки имеют различную величину, поскольку оси симметрии ортотропного материала имеют не четвертый, а второй порядок (см. рис. 1.1). Если величины отрезков, отсекаемые на одной и той же оси по обе стороны от центра фигуры, одинаковы, то говорят, что фигура имеет центр симметрии. Оси сим- [c.10]

Главные компоненты (собственные значения) е для кристалла (б) 2, 4 и 4. Две из них равны, и, следовательно, кристалл должен иметь ось симметрии третьего, четвертого или шестого порядка (тригональная, тетрагональная или гексагональная системы). Главные оси (собственные векторы) в этом случае [110], [110] и [001] (заметим, что этот выбор осей не единственно возможный). Кристалл одноосный, и оптической осью является направление [ПО]. [c.379]

Вообще молекула может иметь несколько различных по виду элементов симметрии. Сосуществование некоторых из них автоматически приводит к появлению новых элементов симметрии. Так, две взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии в своем пересечении дают всегда ось второго порядка. Следует, однако, иметь в виду, что не любая комбинация элементов симметрии осуществляется в молекулах. Например, если какое-либо направление является осью третьего порядка, то оно уже не может быть осью четвертого порядка. [c.756]

В тех случаях, когда компенсатор устанавливают в нерастянутом состоянии, его растягивают на собранном трубопроводе. Для этого трубопровод собирают обычным порядком соединяют фланцы или сваривают стыки, устанавливают компенсатор и соединяют его с обеих сторон с трубопроводом. При растяжке компенсатора на половину теплового удлинения компенсируемого участка его устанавливают так, чтобы ось симметрии компенсатора была сдвинута от рабочего положения на одну четверть расчетного теплового удлинения в сторону той неподвижной опоры, между которой и компенсатором все стыки узла сварены. Стык, у которого растягивается компенсатор, обычно указывают на чертеже при отсутствии таких указаний, чтобы не было перекоса, не следует использовать для растяжки стык, непосредственно прилегающий к компенсатору. Для этой цели нужно оставлять зазор в соседнем стыке (рис. 213) или оставлять стык на прихватке с последующей вырезкой участка трубы, равного величине натяга. [c.244]

Точечные группы и О. Точечная группа кубической симметрии (к которой принадлежат молекулы, подобные СН4) имеет четыре оси симметрии третьего порядка. Невырожденные колебания или собственные функции могут быть по отношению к этим осям только симметричными (см. стр. 96), но могут являться симметричными или антисимметричными по отношению к шести плоскостям симметрии проходящим через оси симметрии Сд, и, следовательно, также по отношению к трем зеркально поворотным осям четвертого порядка 4. Таким образом, мы имеем два тта симметрии (Л1 и А< ) невырожденных колебаний или собственных функций. Более строгий анализ с помощью теории групп (см. Вигнер [923]) показывает, что в данном случае имеется именно один дважды вырожденный тип симметрии Ё, как и д,1я точечной группы и два трижды вырожденных типа симметрии и Их характеры даны без дальнейшего доказательства в табл. 28. [c.137]

Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, элементы симметрии которых образуют простую пространственную группу, содержат по одному одинаковому атому. Элементарные ячейки одноатомных кристаллов, пространственная группа которых содержит винтовые оси или плоскости скольжения, содержат по два и более одинаковых атомов. Например, элементарная ячейка кристалла германия содержит четыре атома германия и его пространственная группа имеет винтовую ось четвертого порядка. Элементарные ячейки алмаза, кремния, олова, висмута содержат по два атома элементарные ячейки молекулярных кристаллов антрацена и нафталина — по две молекулы. [c.26]

Многие исследователи используют вблизи границ схемы четвертого порядка точности, вводя вне рассчитываемой области фиктивные точки сетки, значения в которых ставятся в соответствие граничным условиям. Даже в этом случае происходит потеря четвертого порядка точности, за исключением случаев, когда граница представляет собой ось (плоскость) симметрии. Известны и нецентральные формулы высокого порядка точности (например, Саусвелл [1946]), но они менее устойчивы и редко используются. [c.209]

Точечные группы. В общем случае молекула обладает несколькими из перечисленных выше элементов симметрии (см. примеры фиг. 1). Комбинируя все большее и большее число элементов симметрии, мы получаем системы, обладающие все большей и большей степенью симметрии. Однако возможны не любые комбинации элементов симметрии, а лишь вполне определенные. Например, молекула не может иметь в одном и том же направлении ось симметрии третьего и ось симметрии четвертого порядка. С другой стороны, существование известных элементов симметрии часто обусловливает существование некоторых других если молекула имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (ХУ , фиг. 1,а), то линия их пересечения обязательно является осью симметрии второго порядка. Если молекула имеет ось симметрии второго порядка (С ) и плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси, она обязательно должна также обладать центром симметрии (см. молекулы типа ХзУз25 на фиг. 1,г). В самом деле, поворот на 180°, например, вокруг оси г (Сз) превращает д в — д и в —у, а последующее отражение меняет знак г, следовательно, в результате х, у л г превращаются в—х,—у, — г, т. е. имеет место инверсия. [c.15]

Одна ось симметрии четвертого порядка С, четыре оси симметртс второго порядка С , ( X к оси С4), зеркально поворотная ось восьмого порядка (совпадающая с осью С4), ось симметрии второго порядка С (совпадающая с осью С4), четыре диагональные плоскости симметрии [c.23]

Одна ось симметрии четвертого порядка С4 четыре оси второго порядка ( Л. кС ), четыре плоскосгн симметрии одна плоскость симметр1и1 од а ось второго порядка Сц, одна зеркально поворотная ось четвертого порядка 4 <С и 5 совпалают с С4), центр симметрии . [c.24]

Для молекулы, имеющей ось симметрии четвертого порядка, I может принимать значения 1, 2 и 3. Но 1=2— соответствует колебаниям, антисимметричным относительно этой оси, а 1=Ъ= р эквивалентно 1, так что мы опять имеем лишь один тип вырожденных колебаний. В качестве примера на фиг. 37 показаны нормальные колебания молекулы типа Х, имек)-щей ось симметрии четвертого порядка. Колебание VJ является симметричным относительно поворота на угол 2я/4 = 90° вокруг этой оси, колебания [c.104]

Точечные группы. и 0.2 н обладают в точности теми же элементами симметрии, что и точечная группа ось симметрии четвертого порядка в точечной группе и зеркально поворотная ось четвертого порядка 4 н точечной группе соответствуют оси в точечной группе С ,, оси симметрии второго порядка перпендикулярные к оси или к зеркально поворотной оси соответствуют плоскостям а и в точечной группе Поэтому для этих точечных групп получаются те же типы симметрии и характеры, что и для точечной группы С4 , и применяются те же оэозна- [c.128]

Таким образом, сумма Од-д.симметрична по отношению к повороту на уголр=360°/р вокруг оси симметрии порядка р. Аналогичным образом, применяя вместо преобразования (2,75) преобразование (2,76) можно показать, что сумма axx -другим элементам симметрии таким образом, сумма ахх -ауу полносимметрична. С другой стороны, как видно из сравнения (3,48) и (3,46), разность а д. — Оуу образует вместе с 2од.у вырожденную пару, характеризующуюся углом 2р вместо угла Р следовательно, эта пара принадлежит к типу симметрии .. В точечных группах с р = 3 (ось симметрии третьего порядка) тип симметрии E совпадает с типом симметрии Е (стр. 102). В точечных группах с р = 4 (ось симметрии четвертого порядка) тип симметрии E расщепляется на два невырожденных типа симметрии В. В самом деле, если р = 90°. то из (3,46) и (3,48) следует, что = — ху [c.277]

Рис. 1.10. Точки кристаллической решетки поворачиваются на угол ф относительно фиксированной точки рещетки При вращении вектор а переходит в вектор а. При определенных значениях угла ф повернувшаяся решетка совпадает с исходной Для квадратной решетки это происходит при ф == л/2 и углах, кратных этому значению, так что точечная группа квадратной решетки включает в себя поворотную ось симметрии четвертого порядка. Во всех Случаях совпадения повернувшейся и исходной решеток вектор а — а будет вектором решетки. Этот вектор не может быть короче вектора а, так как такого вектора решетки не существует, за исключением нулевого вектора. Аналогичные требования определяют частные величины угла ф для всех возможных решеток.

Рис. 1.10. Точки <a href="/info/12569">кристаллической решетки</a> поворачиваются на угол ф относительно фиксированной точки рещетки При <a href="/info/619341">вращении вектор</a> а переходит в вектор а. При определенных значениях угла ф повернувшаяся решетка совпадает с исходной Для <a href="/info/373019">квадратной решетки</a> это происходит при ф == л/2 и углах, кратных этому значению, так что <a href="/info/135216">точечная группа</a> <a href="/info/373019">квадратной решетки</a> включает в себя поворотную ось симметрии четвертого порядка. Во всех Случаях совпадения повернувшейся и исходной решеток вектор а — а будет <a href="/info/145909">вектором решетки</a>. Этот вектор не может быть короче вектора а, так как такого <a href="/info/145909">вектора решетки</a> не существует, за исключением <a href="/info/145279">нулевого вектора</a>. Аналогичные требования определяют частные величины угла ф для всех возможных решеток.

Рис. 2.5. Лауэграмма кристалла кремния, снятая в направлении, близком к [100] Видно, что лауэграмма почти инвариантна относительно вращения на угол 2я/4. Эта инвариантность обусловлена тем, что в кремнии с направлением [100] совпадает ось симметрии четвертого порядка. Черное пятно в центре пленки — нерабочая часть пленки. (J. Washburn.)

Точечные группы Если молекула имеет ось симметрии порядка р и, р осей симметрии второго порядка, перпендикулярных оси С , как в точечных группах Dp, и, кроме того, р (вертикальных) плоскостей симметрии о , делящих пополам 5 гол между двумя соседними осями второго порядка и проходящих через ось симметрии порядка р, то она принадлежит к точечной группе (й — начальная буква слова diagonal — диагональ). Точечной группы вовсе ие существует, так как при этом отсутствует угол, который делился бы пополам плоскостью симметрии. Группа обычно называется группой Vj. Эта группа имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, как это имело место в случае группы Ve D . Кроме того, здесь имеются две плоскости симметрии, делящие пополам угол между двумя осями С,. Следствием этого является то, что третья ось С, служит одновременно зеркально поворотной осью четвертого порядка S . Примером является молекула аллена (Н С = С — СН. ), в которой плоскости обеих групп СН. взаимно перпендикулярны (фиг. 2, н). Другим примером может служить перпендикулярная (однако неустойчивая) форма молэкулы С.2Н4. Легко заметить, что эти две молекулы обладают всеми перечисленными элементами симметрии. Для точэчной группы мы имеем одну ось симметрии третьего порядка [c.19]

Точечная группа О (октаэдрическая группа). Если молекула имеет/иргг взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка и четыре оси симметрии третьего порядка, которые так же ориентированы относительно друг друга, как и оси второго и третьего порядка в точечной группе Т, то она принадлежит к октаэдрической точечной группе О. Следствием существования указанных осей является существование шести осей второго порядка (кроме трех осей второго порядка, совпадающих с осями четвертого порядка). Правильный октаэдр и куб (см. фиг. 3, г и 3, д) как р з и обладают этими осями симметрии. Однако они имеют еще ряд плоскостей симметрии, которыми не обладают молекулы, относящиеся к точечной группе О. [c.22]

Точечная группа О,. Если молекула имеет, кроме трех взаимно перпендикулярных осей симметрии четвертого порядка и четырех осей третьего порядка (точечная группа О), центр симметрии /, то она принадлежит к точечной группе Од. Следствием этого является наличие шести осей второго порядка (кроме трех осей второго порядка, которые совпадают с осями четвертого порядка) и девяти плоскостей симметрии. Оси симметрии четвертого порядка являются также одновременно зеркально поворотными осями четвертого порядка. Читатель может легко убедиться из фиг. 3, г и 3, в том, что правильный октаэдр и куб обладают такой симметрией. Очень вероятным примэром точечной группы Од является конфигурация молекулы ЗЕв при условии, что атомы Е размещены по вершинам правильного октаэдра, а атом 8 находится в центре (см. стр. 461). Другим примером могла бы служить молекула 8 , ес.1Ш бы атомы размещались по вершинам куба, что, повидимому, нэ имеет места. [c.22]

Три взаимно перпендикулярных оси симметрии четвертого порядка С4, четыре оси симметрии третьего порядка Сл, центр симметрии I, три зеркально поворотных оси четвертого порядка 4 и ось второго порядка Са (совпацающие с С4), шесть осей слмметрш второго порядка С , девять плоскостей симметрии т, четыре зеркально поворотных оси шестого порядка 5в (совпадающие с Сз). [c.24]

Пространственная пятиатомная молекула ССЦ принадлежиг к одной из точечных групп высшей симметрии — к группе тетраэдра Td, обладающей четырьмя эквивалентными осями третьего, порядка Сз, тремя эквивалентными зеркально-поворотными осями четвертого порядка Si и шестью эквивалентными плоскостями симметрии а. Зеркально-поворотная ось сочетает поворот на 90° С отражением в плоскости. [c.93]

РИС. 7.1. Оси X, , г для кристалла с точечной группой симметрии 42т (такого, как KHjPO ) и оси X, у, z, где г — оптическая ось четвертого порядка, а л и — оси симметрии второго порядка. [c.254]

В параэлектрической фазе материалы со структурой вольфрамовых бронз содержат зеркальные плоскости, перпендикулярные оси с. Все атомы, следовательно, точно располагаются в плоскостях z = О и 1/2. Симметрия про-тотипной решетки соответствует 4/mmm. Для ниобата бария-стронция х = 0,5) фаза выше 408 К, по-видимому, имеет эту структуру. Смещение атомов металла относительно кислородных плоскостей вызывает спонтанную поляризацию в вольфрамовых бронзах. Например, в ниоба-те бария-стр1яция полярная ось направлена вдоль оси четвертого порядка NbOe-октаэдра. Атомы Nb, находящиеся в положениях В vi В 2, смещены из симметрия- [c.101]

Рассмотрим структуру одного из сегнетоэлектриков с водородной связью и ее изменения при фазовом переходе с возникновением спонтанной поляризации на примере КН3РО4 (КВР). Кристаллы КВР (дигидрофосфата калия) принадлежат к классу 52т тетрагональной системы. Кристалл имеет зеркально-поворотную ось четвертого порядка (ось с основного параллелепипеда и элементарной ячейки), две плоскости симметрии, проходящие через эту ось, и две оси симметрии второго порядка 2 (оси а ж Ь основного параллелепипеда), перпендикулярные оси 4. При комнатной температзфе и выше (вплоть до разложения) кристалл имеет несегнетоэлектрическую модификацию, т. е. является параэлектриком. Сегнетоэлектриче-ская модификация возникает в кристалле при —150 и существует ниже этой температуры. [c.41]

ОСЬ Сз и через каждую из осей С , а также одну плоскость перпендикулярную к оси Сз, но не имеет центра симметрии. Примерами являются все плоские и симметричные молекулы типа ХУд (см. фиг. 1, подобные молекуле ВР, (см. стр. 322). Другим примером является зеркальная (цис-) форма молекулы (фиг. 2, и), 1, 3, 5-трихлорбензол, С8Н3С13 (фиг. 2,р) и подобные им молекулы. Точечная группа (имеющая одну ось С , четыре оси С,, плоскость Од и четыре плоскости о, ,) опять обладает центром симметрии и вследствие этого зеркально поворотной осью четвертого порядка. Любая плоская симметричная молекула типа могла бы служить иллюстрацией этой точечной группы (см. фиг. 1,ж). Примером группы могла бы явиться молекула [c.20]

Точечная группа Т . Если молекула, кроме трех взаимно перпендикулярных осей симметрии второго порядка и четырех осей третьего порядка (точечная группа Т), имеет плоскость симметрии <з , проходящую через каждую пару осей третьего порядка (т. е. две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через каждую ось второго порядка), всего шесть плоскостей симметрии , то она принадлежит к точечной группе Т . Наличие этих плоскостей предполагает, что оси второго порядка одновременно являются зеркально поворотными осями четвертого порядка. Так как правильный тетраэдр обладает этой симметрией, то все тетраэдрические молекулы относятся к этой точечной группе СН4 (см. фиг. 3, ), СС14, и др. Молекула тетрамэтилметана С(СНз)4 также может служить примером этой группы. [c.20]

Три оси второго порядка С (воаимно п(ф-иеидикулярные), одна зеркально поворотная ось четвертого порядка (совпадающая с одной осью Са), две днагоналыпле плоскости симметрии (проходящие через ось 54). [c.23]

Тогда с = О и, следовательно, v = Vo = onst. Поэтому в этом случае движение точки происходит в плоскости, проходящей через ось Oz, т. е. через ось симметрии силового поля. Орбита точки Р также есть плоская кривая, но ее нахождение требует интегрирования системы четвертого порядка (7.13). [c.310]

Эти соотношения говорят о том, что yKiMN — полностью симметричный тензор четвертого порядка, хотя макроскопическая термодинамическая теория требует выполнения только следующих условий симметрии [c.359]

Распределение смещений для крутильных и продольных колебаний обладает полной симметрией относительно оси цилиндра, поэтому эти колебания не зависят от угловой координаты 0. Однако в случае изгибных колебаний зависимость от угла 0 существует более того, суп1,ествует зависимость от О, где п — целое число. Каждому значению п соответствует бесконечное множество нормальных волн, поэтому имеется вдвойне бесконечный набор изгибных нормальных волп. Изгибные волны самого низкого порядка соответствуют значению п = 1, причем этот набор аналогичен изгибным нормальным волнам в бесконечной пластине. Полный набор нормальных волн, распространяющихся в круглом цилиндре, вплоть до пзгибных волн четвертого порядка приведен на фиг. 181. Здесь обозначения ЬмР соответствуют продоль- [c.522]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...