Главные оси и главные значения симметричного тензора

Главные оси и главные значения симметричного тензора. [c.817]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Метод определения направлений главных осей и величин главных значений любого симметричного тензора второго ранга был уже описан ранее ( 35), причем метод этот носил чисто [c.286]

Поскольку все рассматриваемые здесь тензоры деформации симметричны, то удобно для них ввести главные оси и определять изменение объема при деформации через главные значения тензоров. [c.75]

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент иц отличны от нуля только диагональные компоненты ц, Щ2, зз- Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы( >, ы< >, Надо, конечно, помнить, что если тензор Uih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. [c.10]

Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования. Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е. [c.172]

В работе [9] Бреннер дал обобщение предыдущего изложения на случай, когда главные трансляционные оси частицы могут быть ориентированы любым образом по отношению к главным осям ограничивающих стенок. Как мы сейчас покажем, с точностью до первого порядка по отношению размера частицы к размеру границы избыточное сопротивление частицы в поступательных движениях молено представить в виде симметричного тензора второго ранга (диадика), значение которого не зависит от формы и ориентации частицы. [c.336]

Как показал Л. И. Седов (1959), при произвольных (конечных) деформациях процесс деформации может быть простым лишь для некоторых, исключительных значений а . Это связано с тем, что при конечной однородной деформации углы между материальными ( вмороженными в материал) прямыми, вообще говоря, изменяются (исключение составляет одноосное растяжение и другие случаи, соответствующие sin За., = 0), так что -ориентация относительно этих прямых главных осей симметричного тензора сохраняться не может. [c.93]

Как известно, для всякого симметричного тензора в каждой точке пространства можно найти три его главных значения и направления его трех взаимно перпендикулярных главных осей. Исходя из понятия тензора напряжений, можно заключить, что его главные значения представляют собой нормальные напряжения на главных площадках (нормали этих площадок направлены по главным осям). Эти главные значения тензора называются главными нормальными напряжение ями (рис. 68). Обозначим их Р( 2) Р(3] (индекс указывает площадку, перпендикулярную к соответствующей главной оси) и пронумеруем так, что [c.243]

Как любой симметричный тензор, т имеет ортогональную тройку главных осей (с ортами е.) и тройку вещественных главных значений ст., называемых главными напряжениями. В представлении можно считать а тройку е. — правой. [c.56]

Будучи симметричным тензором второго ранга, тензор новрежденности В имеет три взаимно ортогональных главных нанравления (главные оси новрежденности) и три соответствующих собственных значения (главные новрежденности). [c.433]

При записи этих выражений использована система координат Тг, 0, которая получена из исходной путем поворота на угол А0 и связана с главными осями симметричного тензора Е (в главных осях тензор Е приводится к диагональному виду с элементами Е и —Е). Чисто деформационный сдвиг отвечает значению О = О, а простой сдвиг задается параметрами Е =0,0, = —Е2. [c.79]

Для некоторых типов сдвиговых течений, представляющих практический интерес, численные значения коэффициента а и величины С в формуле (4.5.2) указаны в табл. 4.3. Сумму в третьем столбце последней строки таблицы можно вычислить по формуле Скт кт = - 1 + - 2 + - 3 "Д 1 2 Р з —Диагональные элементы приведенного к главным осям симметричного тензора ЦС Ц. [c.155]

Поэтому при отсутствии поглощения (при = 0) ) симметричная и вещественная матрица всегда приводится к диагональному виду и случай (2.51) невозможен. То же можно утверждать, когда матрицы и v"p имеют общие главные оси. Ситуация именно такова для кристаллов всех систем (сингоний), кроме низших — ромбической, моноклинной и триклинной. В самом деле, для кристаллов с более высокой симметрией (тетрагональной, гексагональной и три-гональной) трехмерные тензоры 2-го ранга имеют два равных главных значения (одноосные кристаллы) и им соответствуют эллипсоиды вращения. В подобных условиях, как легко убедиться, двумерные тензоры и имеют общие оси. Для кристаллов низших сингоний, напротив, главные оси этих двумерных тензоров, вообще говоря, не совпадают. Следовательно, для таких кристаллов при учете поглощения в некоторых направлениях может оказаться выполненным условие (2.48) и будет существовать только одно поляризо- [c.74]

В твердых телах, в которых электрическое поле кристаллической решетки вызывает большое квадрупольное расщепление ядерных уровней резонансные переходы по аналогии с ЯМР индуцируются высокочастотным полем, но без наложения Я ). В методе квадруполь-ного резонанса (ЯКР) (или чисто квадрупольного резонанса) энергия уровней зависит от двух параметров градиента электрического поля Vzz и параметра асимметрии тензора градиента электрического поля (ГЭП) ц = (Ухх— Ууу) гх- Главные оси тензора выбирают так, чтобы Vzz I > Vj,j, 1 > и, следовательно, 0-< ti < 1. Для аксиально симметричного ГЭП (т] =-- 0) уровни энергии равны Е = eQVJil 21 — 1)х X [З/П/ — / (/+ 1)], гц,ет/ —квантовое число z-компоненты. Некоторые значения энергий этих уровней и частот перехода между ними для целых и полуцелых / [c.186]

Вследствие того что Оц является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совжстности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. [c.163]

Далее, для любого симметричного тензора Sij выражение SijJiirij имеет стационарное значение, если вектор п направлен вдоль одной из главных осей тензора. Поэтому из выражений (1.74) и (1.75) следует, что больше всего растянутыми или сжатыми оказываются те элементарные нити (по сравнению с элементарными нитями, находящимися в той же точке, по иначе ориентированными), которые вначале были ориентированы вдоль главных осей тензора деформации в материальном онисании (тензоров -,j или т] ), а В конце оказались ориентированными вдоль главных осей тензора деформации и пространственном описании (тензоров ij и Eij). Такие элементы называются главными элементарными нитями, а их растяжение — главным растяжением. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...