Теорема о распространении функций

Начиная с этого момента времени (назовем его /р) происходит процесс разгрузки от тепловой нагрузки. Согласно теореме о разгрузке [10] этот процесс идет упруго, а наличие пластической составляющей приводит к неизбежному развитию остаточных напряжений. Когда каждую из составляющих напряжения можно представить как сумму двух функций фг+Ч г (рис. 7). Первое слагаемое этой суммы представляет собой результат рещения упругопластической температурной задачи, соответствующей распределению температуры в момент времени ti. Если распределение температуры принять в соответствии с теорией распространения тепла при сварке [8], то При мгновенно действующем источнике тепла будет периодом времени после действия источника тепла. Первое слагаемое является функцией времени, координат пространства, теплофизических свойств металла, погонной энергии источника тепла и размеров изделия. Второе слагаемое можно рассматривать как функцию пластической составляющей внутренних деформаций, развивающихся в предыдущий момент времени tp = = t —М. Соотнощение между этими величинами все время изменяется. Чем больше ti, тем меньше становится первое слагаемое и тем больше второе. При ti = oo функция фг становится равной нулю, а функция не зависящей от времени и равной остаточным напряжениям без учета напряжений, развивающихся в результате фазовых превращений. [c.245]

Теорема 5. Пусть функция (р удовлетворяет условию 2 и выполняется включение (1). Определим на ФСС равенством (б), а числа подберем так, чтобы распространенная на промежутки из М функция Х) была там постоянна и непрерывна. Кроме того, в случае, когда множество сго и сг не ограничено с обеих сторон и 1р - -оо) ф (р[—оо), заменим такую ФСС (А) на (А) — 0 где определяется соотношением (И). Предположим, что функция / дважды дифференцируема на причем вторая производная локально ограничена, и выполняются оценки (7) ка 4-оо (—оо), если множество ао и а не ограничено сверху (снизу). Кроме того, если ао а не ограничено с обеих сторон и < (- -оо) = (—оо), то нужно дополнительно предполагать, [c.397]

Известно [2], что поставленная для уравнения (2) задача имеет обобщенное решение, характеризуемое конечной скоростью распространения возмущения, обусловленного краевым режимом (4). В [3] для уравнения (2) при 7 = 1 (изотермический газ) был предложен конструктивный метод нахождения обобщенного решения поставленной задачи для аналитической f t). Там же были построены ряды с полиномиальными по t коэффициентами и сформулирована теорема сходимости этих рядов. Целью настоящей работы является получение двух типов решений уравнения (2), доказательство теорем сходимости соответствующих рядов при более общих, чем в [3] условиях, а также анализ двух классов точных решений (2), которые получаются при некоторых конкретных предположениях о законе изменения скорости распространения по нулевому фону возмущений. При этом метод рассмотрения — обратный, функция f t) не задается заранее, а определяется в процессе решения задачи. [c.269]

Существует другая дополнительная форма теоремы Гельмгольца—Кирхгофа длн случая, когда функция непрерывна и дифференцируема до второго порядка вне и на самой замкнутой поверхности 5 (источники внутри). Однако в таком случае, как и в задачах, связанных с распространением света в бесконечной среде, одних граничных значений на 5 уже недостаточно для получения однозначного решения. Здесь требуются еще дополнительные предположения относительно решения ) при - оо. [c.347]

О Согласно теореме 1.2.5 функции (5) при г = Х еи — 0 имеют конечные пределы для п.в. А. Тем самым существуют и пределы 0 Х гО). Соотношение П Х гО) ф О для п.в. А вытекает теперь из тождества (6), распространенного на [c.273]

Вместе с начальным условием д,и(0+,х) = <5(х), заданным в (3.79), мы приходим к выводу, что во все моменты времени, начиная с возбуждения волнового импульса, интеграл от частной производной по времени функции м( ,х), описывающей распространение этого импульса, взятый по всей пространственной оси координат, постоянен и равен 1 в любой момент времени г > О. В тех случаях, когда функция / (х) = Э,м(г,х) неотрицательна на всей действительной оси при любых значениях параметра Г > О, она вполне может служить функцией распределения плотности вероятности для случайной величины х. Для функций (5), являющихся лапласовыми образами функций, соответствующих введенным в предыдущей главе уравнениям, неотрицательность может быть доказана на основе теоремы Берштейна [44]. Для случая Фа Фа р можно использовать доказательство, [c.159]

Теорема о распространении функций. В дальнейшем (см. гл. VIII—X) используется следующее предложение о распространении функций с сохранением свойств гладкости. [c.243]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Ui( t — x), МЫ предлшагаем, что функции щ по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций Ui по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т. е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнами. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и Сг требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа 2.10 для стержня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения. Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. [c.441]

Решение задачи о распространении тепла от мгаовенного источника энергии о для случая плоской симметрии рассматривалось в работе [45]. В этой же работе было впервые отмечено существование температурных волн конечной скорости (см. также [46]). В работах [7, 49, 64, 81] для уравнений параболического типа были доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши и краевых задач, а также теоремы сравнения, которые с помощью автомодельных решений позволили получить достаточно общие условия конечной скорости распространения температурных волн. В работе [74] был построен пример так называемой остановившейся температурной волны, обладающей тем свойством, что тепло не проникает с течением времени в холодную среду, несмотря на неограниченный рост температуры, заданной на границе. В дальнейшем явление локализации тепла было подробно исследовано во многих работах (см., например, [40, 43, 47, 55, 69—71] и библиографию в [55, 70]). Было показано, что причиной локализации может быть так называемый граничный режим с обострением, при котором функция, заданная на границе, обращается в бесконечность в конечный момент времени. Причиной может быть также энерговыделение в режиме с обострением в среде с нелинейными объемными источниками. [c.47]

Несжимаемая жидкость. Потенциал масс, сосредоточенных в одной точке или непрерывным образом распределенных по поверхности или по объему. Потенциал двойного слоя. Теорема Грана. Представление некоторой функции V, которая удовлетворяет в некоторой области уравнению АУ = О и вместе со своими первыми производны.ми однозначна и непрерывна, через сум.иу потенциалов простого слоя и двойного слоя, распространенных по поверхности области. Условия, достаточные для опреде. ения V. Линии тока и нити тока. Случай, когда рассмат-ривае.ная область простирается в бесконечность. Многозначные решения уравнения Дф=0. Потенциал масс, зависящий от двух координат). [c.148]

Как уже говорилось во введении, постановка задачи об интегралах возмущенных гамильтоновых систем, аналитических по малому параметру, принадлежит Пуанкаре [225 146, гл. V]. Предполагая множество Р1 всюду плотным, Пуанкаре доказал отсутствие однозначных интегралов, независимых с интегралом энергии и аналитических по фазовым переменным и параметру е. В работе [75] показано, что предположение о плотности множества Р1 можно ослабить достаточно, чтобы Р1 было ключевым множеством для класса аналитических функций, В докладе автора на семинаре им. И, Г, Петровского [80] было дано распространение метода Пуанкаре на случай, когда интегралы разыскиваются в виде формальных рядов по степеням е с аналитическими или гладкими коэффициентами (см. теоремы 3 и 4). Распространение метода Пуанкаре на гамильтоновы системы с периодическим гамильтонианом содержится в [75]. Обобщения результатов Пуанкаре на негамильтоновы системы стандартного вида (1,1) (см. теоремы 1 и 2) в литературе, по-видимому, не обсуждались. [c.185]

О Локазательство этой теоремы разбивается на три этапа. Первый из них состоит в рассмотрении одномерных возмущений, второй—в переходе к возмущениям произвольного конечного ранга, третий—в распространении результатов на общие ядерные возмущения. Предварительно отметим, что, коль скоро представление (4) с функцией Е (М) установлено, [c.337]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...