Производная функции комплексного

Выясним смысл производной dw/dz. При этом учтем, что производная функция комплексного переменного считается существующей лишь тогда, когда [c.213]

Производная функции комплексного переменного w = w (г) в точке 2 формально определяется обычным образом [c.176]

Отметим, что поскольку определение производной функции комплексного переменного формально не отличается от определения производной действительной функции действительного переменного, то известные правила дифференцирования и выражения для производных элементарных функций остаются в силе для функций комплексного переменного, [c.178]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Но такие соотношения между производными функций ф и г] с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное выражение [c.40]

Рассмотрим два вспомогательных случая, которые помогут построить общее решение задачи об отражении. Пусть в (9.21) функция f = f является комплексной и представляет собой значения на вещественной оси некоторой функции комплексного переменного, регулярной в полуплоскости (/ > О и имеющей там ограниченную производную. Решение задачи ищем в виде [c.438]

Будем искать теперь такое решение, когда продольное и поперечное возмущения являются комплексными волнами и при этом на границе полупространства отсутствуют напряжения. Выбирая для потенциалов такие функции комплексного переменного, производная от которых обращается в нуль на бесконечности, получим решения, в которых смещения стремятся к нулю на бесконечности. По этой причине волны такого типа называются поверхностными волнами. [c.440]

Вспомним теперь, что производная от функции комплексной переменной z не зависит от того направления, по которому сообщается приращение независимой переменной. Поэтому [c.280]

Несмотря на то, что напряжения и перемещения могут быть записаны непосредственно через комплексные функции, удобно ввести новые комплексные потенциалы, которые определяются как производные функций Р (г ), т. е. [c.52]

Здесь и в дальнейшем целесообразно рассматривать функции дифференцируемые. При этом необходимо ввести требование, подобное вводимому в обычной теории функций комплексного переменного для аналитических функций, а именно, чтобы производная, т. е. предел отношения приращения AF (X) функции F (X) к приращению ЛХ комплексной переменной X при ЛХ— 0], если она существует, не зависел от отношения Ах° Ах. [c.20]

Функцию, у которой при некотором значении независимой переменной существует производная, не зависящая от направления дифференцирования (при этом исключается направление ыйх°), назовем регулярной при данном значении независимой переменной. Если указанное свойство выполняется для любых значений независимой переменной в некоторой области, то функцию будем называть аналитической в этой области. Соотношения (2.8), выполняемые для всех значений X в области, являются необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции комплексной переменной X в этой области. Как следствие, необходимым и достаточным признаком аналитичности является возможность представить функцию формулой (2.11) или (2.13). Поэтому в случае справедливости формул (2.8) или (2.11) функция будет аналитической и наоборот для аналитической функции эти формулы будут справедливы [c.22]

Функция /(г) называется аналитической, или голоморфной, в точке z, если всюду в окрестности этой точки она имеет производную. Функция /(г) аналитична в некоторой области плоскости комплексного переменного z, если в каждой точке этой области она имеет производную. [c.185]

Правила дифференциального исчисления о производной суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции остаются верными и для функций комплексного переменного. Сумма, произведение, частное регулярных в О функций также регулярны в О (частное— за исключением точки, где знаменатель обращается в нуль). [c.196]

Изложенный метод решения прямой задачи был основан на построении логарифма комплексной скорости течения (1п И) или, иначе говоря, логарифма производной функции z z(Z), отображающей [c.161]

Мы подробно остановились на данной аналогии не потому, что считаем ее полезной для рещения практических задач теории решеток, а ввиду ее исключительной наглядности, распространяющейся и на вихревые течения. Уместно подчеркнуть, что мембранная аналогия вполне соответствует широко применяемому пространстве шому представлению аналитических функций комплексного переменного и успешно используется также при изложении численных методов решения соответствующих уравнений в частных производных (см. [57]). [c.268]

Функция % z) входит лишь в выражение момента т ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного ф(г), о] (г) и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит [c.480]

Математический аппарат, используемый в данной книге, весьма разнообразен. Он включает в себя методы решения различных граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений в частных производных (как линейных, так и нелинейных, а в ряде случаев с неизвестной заранее границей), методы нелинейного дискретного программирования, асимптотические методы, методы теории функций комплексного переменного. [c.3]

Получающиеся при этом интегралы подсчитываются при помощи известной формулы для п-й производной аналитической функции комплексного переменного [c.236]

Рассмотрим производную d ldz комплексного потенциала по комплексному аргументу. По ранее отмеченному свойству функций комплексной переменной [c.171]

Найдя общее решение систем (3.18) и (3.19), т. е. определив й, V,. W, можно будет сразу же найти и смещения и, v, w, поскольку последние равны вещественным частям первых. На основании системы (3.18) и с учетом того, что комплексные усилия выражаются через вспомогательную функцию Т, которая подчиняется уравнению (3.13), из формул (3.14), (3.15), (3.16) могут быть получены следующие выражения для производных от комплексных смещений [c.165]

Отметим одно из главных свойств аналитических функций комплексного переменного производная аналитической функции по комплексному переменному не зависит от того, по какому пути происходит изменение не- [c.115]

Указание. Для произвольной функции F r],t) = F x ,t) производные по комплексным переменным жиж могут быть представлены как [c.157]

В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов W = и + iV. Здесь и — потенциал скоростей, г V функция тока. Комплексный потенциал W есть аналитическая функция комплексной переменной z = х + iy, характеризующей положение точки, а ее производная [c.78]

Второй причиной служит значительное расширение арсенала математических средств, применяемых в гидродинамике. Наряду с усовершенствованием старых методов появились новые методы теории функций комплексного переменного и теории уравнений с частными производными, рассчитанные на гидродинамические приложения. Все более и более широкое применение находят методы функционального анализа и современной дифференциальной геометрии. [c.6]

С современной точки зрения, основное свойство аналитической функции комплексного переменного состоит в том, что она обладает определенной производной по этой переменной i). Если q>, у> суть две любые функции от х и у, то каждому значению X-f-гу должно соответствовать одно или несколько определенных значений отношение диференциала этой функции к диференциалу от x- -iy [c.89]

Из диференциальных уравнений Коши-Римана следует, что квадратная сеть плоскости (Ф, Ч ) — поскольку она берется достаточно частой —отображается в квадратную же сеть плоскости х, у). Поэтому такое отображение называется конформным. Таким образом под конформным отображением понимается такое отображение одной плоскости на другую, при котором углы одной плоскости переходят в равные углы (с тем же направлением) другой плоскости, а бесконечно малые отрезки, пересекающиеся в одной точке, отображаются так, что отношение их остается постоянным. Иначе говоря, при конформном отображении одна плоскость отображается на другую с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Из вывода диференциальных уравнений Коши-Римана следует, что любая аналитическая функция комплексного переменного дает отображение, конформное во всех тех местах, где первая производная функции не равна нулю, т. е. где нет никаких особых точек. [c.150]

Производная от функции комплексного переменного имеет простой геометрический смысл. Величину Лг, как и всякое комплексное число, можно представить в виде [c.212]

Выведем в комплексной форме выражение для главного вектора сил, действующих со стороны положительной нормали на некоторую кривую АВ (рис. 20), взятую внутри среды в плоскости деформации 0X1X2. Подставим в соотношении (6.12) формулы (6.24), выражающие компоненты тензора напряжений через производные функции Эри, и учтем, что [c.122]

Итак, установлены необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного в точке если функция w (г) = = и х, у) + iv х, у) дифференцируема в точке 2 = х + iy, то в этой точке существуют частные производные duldx, ди/ду, dvidx, dvIdy от ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши—Римана (5.6). [c.178]

Можно доказать, что существование производных duldx, ди/ду, dvIdx, dvidy в окрестности точки х, у) и их непрерывность в этой точке вместе с условиями Коши—Римана являются достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного W (г) и (х, у) + iv (х, у) в точке z х + iy [15]. [c.178]

Аг)—Ф(2)], равного производной функции Ф(2). Как известно (см., например, [33]), для функции комплексного переменного из существования первой производной следует существование всех остальных производных. Заметим, что понятие интеграла типа Кощи распространяется и на случай разомкнутых контуров, что приводит к функции, аналитической во всей плоскости, исключая разрез. [c.13]

Чтобы установить общий вид определяемой функции, выразим аргумент через комплексные координаты векторов в системе прямоугольных координат с началом в точке О, а затем применим формулы для функций комплексного скалярного аргумента, приведенные в главе П. Таким образом, для рассматриваемой области функции принимается поставленное ранее условие дифференци-руемости функции комплексного скалярного аргумента и независимости производной от направления дифференцирования, т. е. условие аналитичности. [c.74]

Рассмотрим решетку из цилиндров с узкими щелями. Частотные зависимости I 5о 1 при различных значениях коэффициента заполнения s = = 2а// полуширины щелей 0, угла падения ф, угла ориентации щелей фц представлены на рис. 74. Они носят ярко выраженный резонансный характер. Если резонансы при целочисленных значениях и = /г (для ф = 0) связаны с возбуждением новых распространяющихся волн, то остальные резонансы — с возбуждением квазисобственных колебаний такой решетки. Причем собственные частоты этих колебаний отличаются от таковых для одиночного цилиндра со щелью, близких к корням производной функции Бесселя J (и), наличием малых комплексных добавок. [c.131]

Важнейшнм понятием теории функци комплексного переменного является понятие о производной фз нкции. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...