Теорема Римана

Из теоремы Римана (основная теорема конформного отображения) следует, что если конечная односвязная область 5 ограничена простым замкнутым контуром, то всегда можно найти аналитическую функцию (7.183) в круге < 1, отображающую однолистно [c.168]

Отметим, как это следует из теоремы Римана, что конформное ото бражение многосвязной области на односвязную невозможно, а допустимо отображение друг на друга только областей одинаковой связности. Например, область S, ограниченную двумя замкнутыми гладкими контурами, можно всегда однолистно отобразить на круговое кольцо, отношение радиусов граничных окружностей которого должно быть определенной величины, зависящей от вида области S. [c.170]

Решив последнее уравнение относительно х/а, убедимся в справедливости тождества (И). Уравнение (10) дает вполне определенное, единственное,— по теореме Римана о. конформном отображении,— выражение функции, отображающей треугольник AB на верхнюю полуплоскость. [c.138]

Тогда ц=1,5. Из (12.8), согласно теореме Римана — Меллина [64], получим [c.286]

Пусть на комплексной плоскости 2 дана ограниченная односвязная область G с границей Г, причем дополнение замкнутой области G = G и Г есть односвязная область D, содержащая бесконечно удаленную точку 2 = оо. По теореме Римана о конформном отображении существует единственная аналитическая в области D (исключая бесконечно удаленную точку) функция = ф г) которая отображает область D конформно и однолистно на область > 1 при условиях [c.226]

По теореме Римана о конформном отображении существует аналитическая функция z — f Q, которая преобразует область D в область D таким образом, что точки контура I переходят в точки I и любая наперед заданная точка А D переходит в заданную точку Л е D. Эта функция будет единственной, если в точке А задан arg= фд. Воспользуемся этой теоремой, выбрав в качестве точек Л и А бесконечно далекие точки плоскостей Z и и положим при этом фо = 0. Это значит, что мы берем такую функцию г = /( ), которая преобразует бесконечно далекую точку плоскости в бесконечно далекую точку плоскости 2 и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции в бесконечно далекой точке = оо производная есть [c.146]

На основании теоремы Римана существует и обратное преобразование — Р(г). [c.147]

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел). [c.89]

Обтекание тел. Рассмотрим еще задачу обтекания тела неограниченным потоком с заданной скоростью на бесконечности. Теорема Римана позволяет свести задачу к частному случаю, когда тело представляет собой круговой цилиндр, т. е, к задаче построения потока во внешности круга. В самом деле, пусть ф — конформное отображение внешности О замкнутого контура Г на внешность круга Д = ш > с нормировкой ф(оо) = оо, ф (оо) =1 (нормировка содержит три действительных параметра). Пусть / — комплексный по- [c.94]

Роль теоремы Римана в рещении задач обтекания потоками несжимаемой жидкости делает заманчивой перспективу распространения этой теоремы на общие квазиконформные отображения. Однако в такой общей постановке теорема не может быть верной. В самом деле, рассмотрим, например, систему [c.97]

И тем не менее оказалось возможным выделить весьма широкий класс систем вида (2) (содержащий уравнения газовой динамики при дозвуковых режимах), на которые теорема Римана распространяется. Для выделения этого класса мы перепишем систему (2) в другом виде, заменив четыре участвующие в ней частные производные Их, Пу, Vx и иу четырьмя другими величинами, которые элементарно через них выражаются. Эти величины называются характеристиками отображения. Они служат параметрами параллелограмма, который дифференциал отображения I преобразует в единичный квадрат с основанием, наклоненным под углом Р (О Р < 2п) к оси м характеристики, конечно, зависят от р. В качестве таких характеристик выбираются [c.97]

Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования рещений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. [c.99]

Теорема Римана о существовании конформных отображений на Л-конформные отображения не распространяется. Дело в том, что, как видно из формул (2), /г-конформные отображения переводят характеристики системы (1) снова в характеристики [c.128]

Особенно важной является знаменитая теорема Римана — Лебега. [c.24]

Из теоремы Римана — Лебега (теорема 8 гл. 2) следует, что функция (к) — 1 непрерывна по и обращается в нуль при больших к (см. гл. 5). По теореме Винера — Леви (теорема 11 гл. 2) величины п1к)[йа Е)1йЕ и 5(Л)—1 суть фурье-образы абсолютно интегрируемых функций [c.198]

По теореме Римана Г50] существует конформное отображение открытой римановой поверхности М дМ на N dN, где N — компактная риманова поверхность с краем дМ, состоящим из конечного числа окружностей. Оно продолжается до гомеоморфизма М и N, конформного в гладких точках края дМ. Пусть Q — мероморфный дифференциал на N dN, соответствующий Ип при этом отображении. Он непрерывно продолжается на всю границу dN,. за исключением конечного числа точек, соответствующих особым точкам дифференциала Ип и точкам излома дМ. [c.136]

Для решения задачи введем в рассмотрение комплексные переменные г = х+ 1у, = и + и и допустим, что функция = Р(г) осуществляет конформное отображение области й в плоскости комплексного переменного 2 на полосу единичной толщины в плоскости комплексного переменного причем прямая у = 0, —а х Ь переходит в прямую г = О, —°о <и<оо так, что точкам х = — а и х = Ъ соответствуют точки и = — оо и и = °о, а точкам х = —с и х = й— точки и = —а и и = а. Кроме того, кривая 8 переходит в прямую v = i, —оо<и<°о. На основании теоремы Римана [12] такое конформное отображение существует и единственно, если величина а заранее не задана. [c.146]

Теорема Римана—Фукса. Решения уравненнй класса Фукса продолжаются на универсальную накрывающую над комплексной осью t с выколотыми полюсами коэффициентов,, задают группу монодромии и регулярны (растут не быстрее некоторой степени расстояния до особой точки в любом секторе с вершиной в этой точке). Оказывается, эти свойства присущи, только решениям уравнений класса Фукса. [c.131]

Теория простых концов Каратеодори является основным средством для установления взаимосвязей открытого множества на комплексной плоскости и его замкнутого дополнения. Пусть Е/ — односвязное подмножество С, имеющее бесконечное дополнение С [/. Теорема Римана об отображении утверждает, что существует конформный изоморфизм [c.204]

Нетрудно проверить, что уравнение (2.85) инвариантно к замене i на, то есть обратимо во времени. Общее решение (2.95) также справедливо при 1>1 и при I < ig, то есть при времени, текущем как в будущее, так и в прошлое. В обоих этих случаях, поскольку спектр собственных значений X непрерывен, при ig со по теореме Римана-Лебега вклад от однородного решения исчезает. Предельный переход при со понимается в слабом смысле, то есть он совершается после умножения (2.95) на произвольную бесконечно дифференцируемую функцию (f> x), обращающуюся в нуль вне фиксированной конечной области координатного пространства, и интегрирования по х. Отметим, что эта функция бесконечно дифференцируема, но не аналитична, иначе она была бы тождественно равна нулю. [c.59]

В тех сл]/чаях, когда отображающая функция со(р является полиномом, задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили). Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями, перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гар-нака и задачи Римана. [c.135]

Конакова формула 185 Контур питания 329 Кориолиса поправка 167 Коши—Гельмгольца теорема 69 Коши—Римана условия 82 Коэффициент вязкости динамический 110 [c.353]

Общирная таблица конкретных конформных отображений имеется в справочнике [41]. В общем же случае имеет место теорема Римана пусть О — произвольная область, отличная от полной плоскости и полной плоскости с одной выколотой точкой. [c.106]

Вычислим теперь конгурный интеграл (циркуляцию) ектора т взятый вдоль всей срединной линии, преобразуя гыражениеего (см. начало 69) но теореме Римана-Стокса [c.403]

Согласно известной теореме Римана — Лебега, интеграл по v стремится к нулю при t- сх>. Поэтому по истечении характерного промежутка времени, зависящего от разброса скоростей в начальных флуктуациях Хн v 0), величина х ( стремится к нулю. Этот процесс невозможно описать как диссипацию в гидродинамическом смысле, ибо его временной масштаб не определяется никакой внутренней характеристикой систевлы, которая не зависела бы от начальных условий (как, скажем, козффициент переноса). Это типичный пример процесса фазового перемешивания , который был определен в разд. 12.2. [c.102]

Итак, пусть О лежит в плоскости комплексного переменного г = Ху- -1х . Единичная окружность С лежит в плоскости комплексного переменного ча и О — неограниченная компонента дополнения С до всей плоскости т. По теореме Римана существует конформное преобразование 5 области О на область О, такое, что бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную. При этом преобразовании граница Г переходит в окружность С таким образом, что каждой точке окружности С соответствует граничный элемент (простой конец по терминологии Каратео-> дори [57] подробнее о граничных свойствах конформного отображения см. также [58]), и соответствие это взаимно однозначное. [c.198]

В. В. Шабат, Об аналоге теоремы Римана для гиперболических систем дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 11 3 (69), 1956, 203—206. [c.161]

Чрезвычайно широкое применение получила теорема Римана г . Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости Z, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации (1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвязной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Однако линейное преобразование единичного круга в самого себя имеет три степени свободы (см. следующий раздел). Итак, комплексное число /(0) дает два действительных числа само данное и arg/ (0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования, [c.154]

Отображение контура на круг. Пусть даны круг К в плоскости С и контур с в плоскости z, Согласно теореме Римана, всегда существует аналитическая функция z — z Q, конформно отображающая внутренность контура С на внутренность круга К. Соответствие между точками взаимнооднозначно, и функция вполне определена, если зафиксировать три точки контура С, которые должны соответствовать трем данным точкам [c.45]

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Переместительное свойство сложения, имеющее место для конечных сумм, распространяется только на абсолютно сходящиеся ряды произвольная перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не может ни нарушить сходимость этого ряда, ни изменить его сумму. В то же время для условно сходящегося ряда имеет место следующее предложение (теорема Римана) соответствующей перестановкой членов условно сходящегося ряда можно его сумму сделать равной любому вапербд заданному числу и даже превратить этот ряд в расходящийся. [c.158]

Доказательство. Теорема Римана о голоморфных отображениях позволяет нам биголоморфно перевести обе эти области в В, так что достаточно рассмотреть случай / В В. Для любой точки геВ существуют такие преобразования Мёбиуса р, ф, что 1р г) = 0 и ф(/ г)) = 0. Тогда h =фQfolp —биголоморфное отображение В, сохраняющее нуль, и, следовательно, по лемме Шварца любое преобразование к либо является преобразованием Мёбиуса, либо для него 1>/г(0) < 1. Но Пк = BфBfB p- и 11>0 = 1Г) -Ч = 1. [c.560]

С другой стороны, свойство униформизации, которое в более элементарной форме выражается теоремой Римана о конформных отображениях, а в более продвинутой — теоремой Кёбе об униформизации, характерно именно для одномерной комплексной ситуации. Заметим, что все вышеупомянутые теоремы существенным образом применялись в доказательстве теоремы 17.8.1. [c.564]

По теореме Римана — Роха d 2p)--=g (Г)+1 +/ (—2p)=g-+1. Поэтому с ествует единственный дифференциал Q , на Г, регулярный вне р, 2 , = iI2/2 + регулярный дифференциал [c.344]

В целях облегчения усвоения материала в книге изложены элементы тензорного исчисления, теория интеграла типа Коши, теорема Гарнака, краевая задача Римана и некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье. [c.4]

Краевая задача Римана для двух пар функций допускает замину-T08 решение в случае, если ее коаффициент б имеет вид (2.19), а именно, имеет место следующая теорема. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...