Уравнения эластичности

Для получения уравнений эластичной жидкости следует модифицировать уравнение (4.7) так, чтобы исключить необходимость в ссылках на какое-лнбо исходное характеристическое состояние типа [c.137]

Это один из путей модифицирования уравнений эластичной жидкости, так чтобы получить жидкость с вязкостью [c.163]

Возможно, по этой причине задачам упругого восстановления уделялось мало внимания в литературе. Фактически приводимые ниже расчеты упругого восстановления, основанные на уравнениях эластичной жидкости из предыдущей главы, являются единственными известными автору расчетами конечного восстановления в жидкости, базирующимися на приемлемом инвариантном реологическом уравнении состояния ). Несмотря на то, что эти уравнения являются наиболее простыми из всех уравнений эластичной жидкости, мы убедимся в том, что они приводят к некоторым интересным и неожиданным результатам, особенно для упругого восстановления после остановки сдвигового течения. Прежде [c.166]

Уравнения эластичных материалов 417 [c.417]

Уравнения эластичных материалов в терминах пространственных полей [c.417]

Следовательно, под воздействием уплотняемой жидкости и окружающей среды работоспособность материала уплотнения уменьшается со временем t по экспоненциальному закону, а логарифм долговечности уплотнения, отвечающий определенному значению работоспособности, обратно пропорционален абсолютной температуре. Процесс старения иллюстрируют графики рис. 39. Для металлических материалов старение выражается прежде всего в коррозионных процессах, подчиняющихся уравнению (25). Эластомеры и пластмассы под воздействием среды претерпевают физико-химические изменения — собственно старение и изменение объема. Для оценки поведения эластичных материалов уплотнений при воздействии жидкости прежде всего определяют их набухание по изменению объема или веса. [c.82]

Наибольшее усилие трения Р/шах при ро = О, которое должна преодолевать нажимная пружина, бывает при монтаже уплотнения в агрегат. Это усилие рассчитывается по методам 41 для начала движения эластичного уплотнения. В процессе обкатки торцового уплотнения в агрегате плавающий и опорный диски устанавливаются в определенное положение, относительно которого происходят лишь колебания с угловой амплитудой у. При этом трение эластичного уплотнения по плавающему диску часто не возникает, но появляется реакция упругой микродеформации вспомогательного уплотнения в осевом направлении. Ее можно считать деформацией сдвига кольца, сопровождающейся воздействием силы Р/, пропорциональной произведению у на модуль G. Важно, что усилие пружины и создаваемое ею минимальное контактное давление рпт а являются стабильными величинами, не зависящими от случайных причин, в отличие, например, от величины гидродинамического давления. Главными членами уравнения равновесия являются [c.164]

Принцип действия и уравнение сил пневматического редукционного клапана точно такие же, как у гидравлического редукционного клапана (см. подразд. 13.3). Некоторое же отличие в конструкции запорно-регулирующего устройства, прежде всего использование эластичных мембран большой площади, обусловлено низким уровнем рабочего давления и необходимостью высокой степени герметизации. [c.296]

Предел вынужденной эластичности не является константой полимерных матер алов — величина его зависит от температуры и скорости деформирования. Зависимость предела вынужденной эластичности авэ от скорости растяжения V выражается эмпирическим уравнением [c.100]

Рис. 3.10. Корреляция экспериментальных и расчетных значений параметров моделей Х(0, А, А. ) Ф(П. V, , ) по данным различных работ О, [24] А, V [18] А, Т [22] ф, [21. Расчеты проводились по уравнению (3.18) при [i,=0,5 для эластичной полимерной фазы и [i = 0,35 для стеклообразной фазы.

Модифицированное уравнение (3.5) было использовано для расчета вязкоупругих свойств гетерогенных композиций с целью выявления влияния фазовой морфологии эластичной дисперсной фазы в эластифицированных термопластах на величину максимума механических потерь [40]. Исследуемые композиции состояли из полистирольной матрицы с полибутадиен-полистирольной дисперсной фазой, содержащей, в свою очередь, включения полистирола. Предполагалось, что полистирол находится в стеклообразном состоянии в области исследуемых температур и частот, а для бутадиен-стирольного каучука использовали обобщенную кривую динамических механических свойств, приведенную в работе [41]. Сначала определяли предельные значения показателей динамических механических свойств частиц эластичной фазы со стеклообразными включениями, а затем использовали полученные результаты для расчета предельных значений этих свойств композиции в целом по модифицированному уравнению (3.5). Верхние предельные значения для частиц эластичной фазы использовали в расчетах верхних предельных значений для композиции в це- [c.166]

Влияние жестких включений в эластичной фазе на вязкоупругие свойства полимер-полимерных композиций на основе акриловых полимеров анализировалось с использованием уравнений [c.167]

Рис. 3.16. Температурные зависимости и tg б гетерогенных композиций на основе вулканизованного акрилатного каучука, диспергированного в ПМ.М.А при равных объемных долях (точки — экспериментальные данные, сплошные кривые рассчитаны по уравнению (3.19) при фг=0,496 и <р2т=0,83 в предположении о простой форме частиц эластичной дисперсной фазы) [50].

Рис. 3.17. Температурные зависимости Е и tg S гетерогенных смесей равных объемных долей латексов ПММА и вулканизованного акрилатного каучука (точки — экспериментальные данные, пунктирные кривые — рассчитаны по уравнению (3.19) прн ф2 = 0,5 и ф2т = 1 в предположении о простой форме частиц эластичной дисперсной фазы сплошные кривые рассчитаны в две ступени в предположении о двухфазной структуре эластичной дисперсной фазы на первой ступени рассчитаны свойства гетерогенных эластичных частиц при ф2 = 0,236 и ф2т = 0,6, на второй — свойства композиции в целом при ф2=0,61 и ф2т = 0,83) [56].

Для композиций, приготовленных смешением латексов и имеющих весьма вероятно эластичные включения сложной структуры, оценка их объемной доли проводилась сравнением модуля упругости, определенного при комнатной температуре, с экспериментально найденными модулями упругости композиций, полученных из гетерогенных латексов, а также рассчитанных для этих композиций по предварительно определенным значениям (f2m [50]. По известному составу смеси латексов и найденному значению объемной доли эластичных частиц в ней был рассчитан средний состав этих частиц. По уравнениям (3.12) и (3.23) были рассчитаны динамические механические свойства этих частиц по примерным значениям ф2т и их среднему составу. Полученные расчетные значения свойств частиц эластичной фазы использовали затем для расчета динамических механических свойств композиции в целом. [c.172]

Уравнение (П.1), а следовательно, и (П.2) применимы в интервале температур от до Гс + 100 °С в основном для эластичных аморфных полимеров. Применимость указанного подхода с использованием параметра свободного объема для кристаллизующихся полимеров требует осторожности. Тем не менее в области температур, достаточно удаленных от температуры плавления кристаллитов, и при деформациях, не вызывающих рекристаллизации, использование параметров свободного объема может быть оправдано [11, с. 2641. [c.62]

Уравнение Кернера и другие теоретические уравнения выведены из предположения о прочной адгезионной связи между матрицей и наполнителем. В действительности адгезия не играет большой роли, если силы трения между фазами выше прикладываемых внешних нагрузок. В большинстве наполненных композиций наблюдается несоответствие коэффициентов термического расширения фаз, что обусловливает возникновение в них остаточных напряжений при охлаждении от температуры формования до температуры эксплуатации, обеспечивающих обжим частиц наполнителя матрицей. Поэтому во многих случаях, даже если адгезионная связь между фазами слабая, теоретические уравнения применимы, поскольку трение препятствует относительному перемещению фаз по границе раздела. В предельных случаях плохой адгезии получаются результаты, аналогичные пенопластам, когда частицы свободно могут перемещаться в пустотах. Выведено уравнение для промежуточного случая относительно низкой адгезии между фазами [32]. При этом эластичная матрица отрывается от сферических частиц наполнителя с образованием пустот у полюса сфер. [c.229]

В этих уравнениях Ф — доля низкомодульного (эластичного) компонента в обращенной дисперсии при максимально плотной упаковке его частиц Ф — доля жесткого компонента в нормальной дисперсии при максимально плотной упаковке его частиц Фу + Фх, = 1- При Фт = Фт = 1 показатель Фх, — объемная доля жесткого компонента, а Фу — объемная доля эластичного компонента при любом значении Ф . [c.231]

Как следует из предыдущего анализа, частицы эластичного материала в стеклообразном полимере должны увеличивать податливость при ползучести по сравнению с немодифицированным полимером. Если при этом не происходит образования микротрещин (нет побеления материала под напряжением), поведение материала может быть приближенно предсказано уравнением (7.31). После начала образования микротрещин скорость ползучести должна возрастать значительно больше, чем предсказывает уравнение (7.31). [c.245]

В литературе имеются данные о релаксации напряжения в смесях полимеров, являющихся скорее однофазными, чем двухфазными композициями, хотя область в них более размыта, чем в чистом гомополимере [128], а также в типичных двухфазных блок-сополимерах полистирола и полибутадиена [129]. В температурных областях вблизи обоих компонентов поведение композиций описывается уравнением ВЛФ в промежуточной области это уравнение не применимо [130]. В противоположность этому для таких же систем наблюдали применимость уравнения ВЛФ только в области температур между Т . эластичной и жесткой фаз [131]. [c.245]

Монография написана, на наш взгляд, методически чрезвычайно удачно, вполне строго и вместе с тем достаточно просто. На основе традиционных концепций однородного напряженно деформированного состояния выясняются наиболее существенные особенности механического поведения вязких, упругих и высокоэластичных сред и предлагается оригинальный, сравнительно несложный метод формулирования соответствующих уравнений реологического состояния. Автор обходится элементарным математическим аппаратом векторного исчисления и системами лагранжевых координат с подвижным локальным векторным базисом (так называемые конвективные системы координат). Тем самым он облегчает неподготовленному читателю усвоение материала, добиваясь в первую очередь физической ясности изложения. Математически строгая постановка и анализ исследуемых задач в случае неоднородных напряжений и деформаций даются лишь в главе 12, где с помощью тензоров кратко излагается теория конечных деформаций в вязко-эластичных средах. Правда, здесь изложение слишком уж конспективно, и многочисленные доказательства , как правило, сводятся к перечню [c.7]

Теперь мы уже в состоянии вывести возможное реологическое уравнение состояния для эластичной жидкости. Именно в этом состоит главная задача настоящей книги. [c.136]

Мы будем разыскивать уравнения материала, который в некотором отношении сочетал бы свойства эластомера и ньютоновской жидкости. Невзирая на большое число уже известных уравнений для эластичных жидкостей, можно ожидать, что выведенное нами уравнение окажется пригодным для описания текучих полимерных систем типа концентрированных растворов высокомолекулярных веществ и расплавов полимеров. Мы изберем простой способ сочетания эластических и ньютоновских свойств, поскольку наша главная цель заключается в пояснении рассмотренных положений и иллюстрации предложенных методов. Установленные частные уравнения дают тем не менее достаточно точное количественное описание большинства основных реологических свойств концентрированных полимерных растворов. [c.136]

Выведенные в данной главе уравнения применяются к установившемуся сдвиговому течению, стационарному течению при растяжении и релаксации напряжения после внезапной остановки стационарного сдвигового течения. Задачи упругого восстановления рассматриваются в главе 7. Настоящая глава завершается кратким очерком молекулярной теории концентрированных полимерных растворов, подчиняющихся реологическим уравнениям состояния, выводимым ниже. Более усовершенствованные реологические состояния эластичной жидкости содержатся в главе 8. [c.136]

Этим исчерпывается общее рассмотрение эластичной жидкости, определяемой уравнениями (6.2) или (6.9). Мы теперь применим реологические уравнения (6.8) или [c.145]

Здесь нецелесообразно приводить подробное обсуждение вопроса о справедливости и обоснованности сеточной теории полимерных растворов. Однако может быть необходимо отметить как наиболее уязвимые для критики два положения обусловленность напряжения только деформацией сетки (п. 1, 3)) и произвольное допущение о возможности вычислить напряжения путем замены действительной сетки суперпозицией независимых сеток (п. 6). Необоснованность последнего допущения не позволяет надеяться на приемлемое количественное подтверждение теории. Все же на данной стадии исследования можно ожидать, что ценность теории такого типа (поскольку дело идет о растворах и, по-видимому, о расплавах полимеров) состоит скорее в указании на то, что вследствие большого разнообразия возможных реологических уравнений состояния имеет смысл сначала сосредоточиться на уравнениях типа соотношений напряжение — деформация, встречающихся в кинетической теории эластичности и учитывающих зависимость напряжения от истории деформации посредством одного временного интеграла. Кроме того, интерпретация реологического уравнения состояния (6.9) на основе концепции релаксирующей сетки создает практические преимущества при решении некоторых задач, в первую очередь задачи упругого последействия, которая иначе не поддается решению. [c.160]

Эластичная жидкость с уравнением (6.8) сохраняет постоянную форму вплоть до мгновения t = ti, когда начинается установившееся сдвиговое течение со скоростью сдвига G. Покажите, что в обычных обозначениях декартовы компоненты напряжения в любой последующий момент времени />/i выражаются уравнениями [c.161]

Расчеты упругого восстановления, связанного с конечными деформациями, по-видимому, представляются значительно более трудными, нежели, к примеру, вычисление напряжений при заданной истории течения. Правда, здесь еще должна играть роль и форма, в которой задано реологическое уравнение состояния. В случае эластичной жидкости с уравнениями типа (6.9) переменные формы будут входить в подынтегральное выражение и тогда вычисление упругого восстановления (когда напряжение задано, начиная с некоторого момента) должно включать в себя решения интегрального уравнения для неизвестных [c.166]

До окончания этой главы мы будем рассматривать эластичную жидкость, определяемую реологическим уравнением состояния (6.9). Для руководства при решении задач мгновенного восстановления будет полезным рассмотреть сначала сеточную теорию полимерных растворов, которая, как показано в главе 6, приводит к этим уравнениям состояния. [c.167]

Из теоремы (7.1) видим, что для эластичной жидкости с реологическим уравнением (6.9) напряжение в любой момент произвольной истории течения является функцией конечной деформации, отсчитываемой от мгновенно восстанавливаемого, обратимого состояния до те-кущего состояния. Такая жидкость дает частный при [c.172]

Наконец, так как площадь основания получившегося параллелепипеда е вз = Л , а объем равен единице, то его высота Й2 должна составлять X. Обобщая эти результаты, мы видим, что для эластичной жидкости с реологическим уравнением состояния (6.9) мгновенное восстановление после внезапной остановки установившегося сдвигового течения может быть разложено на I) сдвиг с углом г, определяемым равенством (7.22) 2) сокращение длины отрезков, параллельных направлению сдвигового течения в I раз, где % определено (7.16) Ъ увеличение в X раз расстояния между любыми двумя параллельными материальными плоскостями, расположенными вдоль установившегося сдвигового течения. Мгновенное восстановление проиллюстрировано схематически на рис. 7.3. Эти результаты принадлежат Лоджу [c.179]

Приведенные выше расчеты для эластичной жидкости, определяемой в состоянии установившегося сдвигового течения уравнением (6.9), показали увеличение расстояния между сдвигающими плоскостями после того, как напряжения либо упадут до нуля, либо станут изотропными. Измерения сдвигового восстановления в жидкости обычно проводятся в условиях, не допускаю-ш,их каких-либо изменений расстояния между сдвигаю-ш,ими поверхностями. Если течение сдвига осуществляется, например, в зазоре между двумя соосными вращающимися цилиндрами, то восстановление измеряется при освобождении одного из цилиндров так, что он может совершать незаторможенное вращение. Подобные условия допускают проявление восстановления, но не позволяют увеличивать расстояния между сдвигающими поверхностями (коаксиальными цилиндрами), поскольку для этого потребовалось бы изменить зазор между роторами. [c.186]

К- Вейссенбергом была впервые предпринята попытка теоретического истолкования явления на основе эмпирического уравнения эластичности [c.29]

Рис. 3.5. Экспериментальные температурные зависимости Е полиметилметакри-лата (1) и бутилакрилатного каучука (б), а также рассчитанные по уравнению (3.19) зависимости Е от температуры (2—5) и от состава 1 —5 ) для гетерогенных композиций с матрицей ПММА и эластичными включениями полибутила-крилатного каучука с объемной долей <р2, равной 0,25 0,5 0,75 0,95 соответственно (кривые 2—5) и при температуре — 50°, 0°, 50°, 100° и 150 °С соответственно (кривые 1 —5 ) (пересчет G на Е производили при условии, что коэффициент Пуассона ПМ МА равен 0,35, а каучука — 0,5) 1[25].

Прямое сравнение расчетов, основанных на уравнениях (3.19) и (3.20) или на эквивалентных механических моделях, с экспериментальными данными показывает, что расчеты дают в прин-цине правильную общую форму зависимостей динамических механических свойств гетерогенных полимерных композиций от их состава, однако эти расчеты требуют учета фазовой морфологии и структуры частиц дисперсной фазы и дают более резкую, чем ожидается, зависимость динамического модуля от состава. Простое сравнение расчетных данных с экспериментальными можно получить, используя эквивалентность механических моделей, изображенных на рис. 3.4, с уравнением (3.19) для некоторых значений параметров моделей, приведенных в уравнении (3.18) [25]. Так, параметры моделей Ф и X, определенные путем подгонки экспериментальных кривых, можно сравнивать со значениями этих параметров, рассчитанными по уравнению (3.18) и известным значениям ф2 и jx. Полученные таким образом параметры находятся в удовлетворительном согласии для эластифицированных каучуками термопластов и очень сильно различаются для эластичных полимеров, содержащих жесткие частицы. На рис. 3.10 представлена корреляция расчетных и экспериментальных параметров по данным работ [20, 22] для ряда ударопрочных полисти-ролов и АБС-пластиков, а также [c.163]

Представление об эффективной объемной доле наполнителя, определяемой уравнениями (3.21) и (3.26), были использованы для анализа упругих и динамических механических свойств гетерогенных смесей полимеров акрилового ряда, полученных последовательной эмульсионной полимеризацией — способом, позволяющим получать композиции с равномерно диспергированными сферическими частицами, а также смешением латексов — способом, дающим композиции с более сложной фазовой морфологией [49—56]. Измерения модулей упругости при комнатной температуре композиций, полученных из гетерогенных латексных частиц, синтезированных последовательной эмульсионной полимеризацией, были использованы для определения ц>2т эластичных включений в стеклообразной матрице. Полученные значения (р2т в сочетании с уравнениями (3.23) и (3.12) были использованы для расчета динамических свойств композиций в широком интервале темне- [c.170]

Рис. 3.15. Связь расчетных значений эффективной объемной доли эластичных частиц ф а с экспериментальными значениями их объемной доли фа для ряда композиций на основе полиметилмета-крилатной матрицы и эластичных частиц акрилат-ного каучука простой структуры. Пунктирная кривая рассчитана по уравнению (3.23) при ф2т = = 0,83.

В противоположность пластичным композициям жестких стеклообразных полимеров, содержащих эластичную фазу, пенопласты на основе жестких полимеров остаются хрупкими и обладают низкой прочностью при растяжении. Однако при сжатии такие пенопласты проявляют пластичность с резко выраженным пределом текучести, высокой деформацией при разрушении и высоким разрушающим напряжением. Кажущийся предел текучести обусловлен разрушением ячеистой структуры, а не истинной пластичностью полимера. Предложено много теоретических уравнений для описания модуля упругости пенопластов [112—115]. Уравнение Кернера и обобщенные уравнения Халпина—Сяо неплохо согласуются с экспериментальными данными [116]. Для пенопластов низкой плотности, содержащих большое количество газовых включений, модуль упругости хорошо описывается уравнением [c.242]

Компоненты напряжения, отнесенные к плоскостям либо осям, фиксированным в пространстве, могут, конечно, также использоваться, но при этом добавятся дополнительные члены, устраняющие нежелательные перемещения квазитвердого происхождения. Однако если в уравнениях фигурируют временные производные или интегралы по времени от напряжения (например, в уравнениях для эластичных жидкостей или вязкоупругих твердых тел), то усложнения, вносимые добавочными членами, могут оказаться весьма существенными (глава 12). [c.77]

Величины у и определяются выбором векторного базиса, тогда как реологическое поведение от него не зависит. Следовательно, необходимо гарантировать независимость соотношений между у з и я -i от выбора векторного базиса. Это требование налагает действительное ограничение на возможные формы реологических уравнений состояния (ср. Упрал нения к главе 4, задача № 5). Общая методика непосредственного установления возможных уравнений излагается в главе 8 и обосновывается в главе 12 с помощью приемов, описание которых выходит из рамки этой книги. В главах 4—6 эта же цель достигается другим путем мы используем некоторые элементарные методы, автоматически приводящие к возможным уравнениям для ряда частных идеализированных материалов таких, как каучукоподобные тела, рассматривающиеся в данной главе, ньютоновская вязкая жидкость (глава 5) и эластичная жидкость особого типа (глава 6). [c.96]

При достаточно быстром деформировании в любой момент времени t, следующий за произвольной историей течения, эластичная жидкость с уравнением (6.9) и непрерывной функцией памяти [J. обладает той же зависимостью напряжение — деформация, что и высокоэластическое твердое тело с ненапряженным состояниелг и модулем Цц, т. е. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...