ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения в вариациях из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " Покажем, что = 1 — двукратный корень характеристического уравнения Л—Я =0. [c.85] вектор ортогонален пространствам Hj, Пх . . . [c.85] В частности, если система (1.3) гамильтонова, то по меньшей мере два мультипликатора каждого из ее периодических решений равны единице. Один из мультипликаторов равен 1 из-за свойства автономности, а другой — из-за наличия интеграла энергии. При этом используется очевидный факт, что на траектории периодического решения, не совпадающего с неподвижной точкой, функция Гамильтона не имеет критических точек. [c.85] Если среди мультипликаторов имеются такие, что 1X1 1, то периодическое решение z неустойчиво. Более детально с теорией уравнений в вариациях можно познакомиться, например, по книге [14]. [c.86] Зависимость уо от t указана в (1.2). Видим, что уравнение для Ьх отделилось и поэтому его можно изучать отдельно от полной системы уравнений в вариациях. По поведению решений уравнения (1.8) можно судить об устойчивости периодических колебаний, (1.2) по отношению к смещениям в горизонтальном направлении. [c.86] Здесь V — постоянная скорость движения точки внутри биллиарда Биркгофа значения функции p(t) указаны на ее периоде. Величина I характеризует смещение точки в направлении, ортогональном отрезку невозмущенной периодической траектории. [c.87] Оно является возвратным. Последнее обстоятельство является частным случаем общего результата Пуанкаре — Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для гамильтоновых сис тем (см., например, [2]). [c.88] Оно является гиперболическим поворотом так как 1 2=1, то гиперболы С1С2=С0П31 переходят в себя. В этом случае исходное периодическое движение неустойчиво будем называть его гиперболическим. [c.88] В случае а —2 мультипликаторы Xi и Яг совпадают. Они оба равны либо 1, либо —1. Если Xi= 2=l (а=2), то периодическое решение назовем вырожденным, а если 1= 2= —1 (а= =—2) — параболическим. [c.89] Предложенная классификация периодических решений совпадает с классификацией неподвижных точек отображения Пуанкаре ( 4, гл. 2). [c.89] Отметим еще, что периодические движения (1.2) являются решениями гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поэтому два их мультипликатора равны единице, а остальные нетривиальные мультипликаторы определяются как корни характеристического уравнения (1.14), отвечающего уравнению Хилла (1.8). Аналогичное замечание относится и к задаче о двузвенной периодической траектории биллиарда Биркгофа. [c.89] Вернуться к основной статье