Риманова поверхность

В этом случае в области, занятой каверной и контуром, есть сток, расход жидкости в котором пропорционален сопротивлению контура. Границы каверны при этом пересекаются и замыкаются иа две линии, уходящие в бесконечность. Показанные пунктиром линии соответствуют течению на втором листе Римановой поверхности, Подставляя значение k в (III.3.21) и принимая во внимание (III.3.16), получим для этой схемы [c.134]

При т = О функция X (х) имеет алгебраическую точку разветвления, в которой соединяются три листа соответствующей римановой поверхности. Функция X (т) действительна лишь на одном из этих трех листов, и существует одно вещественное аналитическое продолжение за особую точку т = 0. Эту функцию и выбирают для описания движения после момента столкновения. Выбранная ветвь х (т) является четной функцией от т. [c.78]

Чтобы изучить свойства римановой поверхности годографа скорости, построим функцию V (V), отображающую годограф скорости т [c.136]

Исключая в формулах (192) параметр С. приходим к кривой второго порядка, которая представляет собой эллипс, так как на основании уравнения (193) любым значениям параметра по модулю меньшим единицы, отвечают конечные значения комплексного вектора кривой. Найдем основные параметры этого эллипса, представляющего собой искомый контур отверстия. Фокусы эллипса представляют собой точки ветвления на двулистной римановой поверхности функции t Z (z), обратной функции (191). Отсюда находим комплексные векторы фокусов [c.54]

Используя риманову поверхность w и условия (220), общее решение краевых задач (179) и (180) можно записать так [c.62]

Выделение области однозначности функции уг приводит к рассмотрению комплексной плоскости % как двулистной римановой поверхности. На каждом из листов, которые соединяются по берегам разрезов, выходящих из точек ветвления функция 72 однозначно определена. Выбор разрезов довольно произволен, однако сформулированные выше требования к контуру наиболее просто учесть при специальном их выборе. В частности, разрезы целесообразно провести так, чтобы на листах римановой поверхности выполнялись условия Re 72 > О и Re 72 О соответственно, т. е. провести разрезы вдоль линий Re 72 = 0. [c.83]

Поскольку на рассматриваемом листе римановой поверхности kl sin 0 — = — iK os О, то точка sin В является корнем [c.86]

Решения элементарные 226, 320, 324, 334, 341, 375, 376 Риманова поверхность 369 Рэлея волны 347 [c.491]

Для читателей, знакомых с понятием римановой поверхности (см. Л. и Ш., гл, I), укажем, что образом всей области течения (включая часть, лежащую ниже оси х) при отображении г- -ви (2) является двулистный круг —кусок римановой поверхности с двумя точками ветвления второго порядка. При этом граница одной каверны переходит в одну из граничных окружностей двулистного круга, а граница другой каверны —в другую граничную окружность. [c.359]

В. П. Ермакова, в самом названии которой было отрицание идей Римана Теория Абелевых функций без Римановых поверхностей [c.21]

B. П. Ермаков. Теория Абелевых функций без Римановых поверхностей. Киев. 1897 г. [c.21]

Вопросы прочности тел с трещинами и другими дефектами изучаются в работах [9-14] и др. Теория краевых задач на римановых поверхностях для регаения задач теории упругости, в основном для однородных сред, применяется в работах [15-26]. [c.301]

Обе задачи представляют собой комбинацию краевой задачи Римана и краевой задачи Гильберта [30]. Решения полученных задач удобно строить методом сведения их по симметрии к эквивалентным краевым задачам Римана на римановой поверхности. [c.304]

Для решения задачи (2.7), (2.8), следуя [16 римановой поверхности функции [c.304]

Сильвестров В.В. Первая и вторая основные задачи теории упругости на двулистной римановой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары Изд-во Чувашского ун-та, 1986. - С. 111-119. [c.312]

Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. — М. НИЛ, 1960. - 343 с. [c.313]

Впоследствии схема Рябу-шинского была обобщена для других случаев рядом авторов. В частности, М. И. Гуревичем рассмотрена задача о кавитационном обтекании наклонной пластины (рис. 10.10, б). Д. А. Эфросом и независимо другими авторами предложена одна из наиболее удачных схем суперкаверны с возвратной струйкой (рис. 10.10, в). По этой схеме в концевой части каверны образуется возвратная струйка, которая при описании течения G помощью функций комплексного переменного, уходит на второй лист римановой поверхности. Поэтому условие постоянства размеров каверны не нарушается. Эта схема для плоской пластины дает результаты, близкие к результатам, полученным по схеме Рябушинского. Было предложено и несколько других схем. На рис. 10.10, г, д, е приведены схемы Тулина, Жуковского — Рошко, Лаврентьева. Каждая из них позволяет решить задачу обтекания и, в частности, найти коэффициент лобового сопротивления обтекаемого тела как функцию числа кавитации х. Для этого коэффициента по схемам нескольких авторов для пластины, нормальной к потоку, получена формула [c.402]

Схема Эфроса—Гилбарга. Границы каверны в ее концевой части поворачиваются на 180°, и это приводит к образованию возвратной струи, уносящей некоторую часть жидкости из потока (рис. 147, б). Критическая точка Н находится ниже (по течению) концевой части каверны. Для того чтобы возвратная струя не заполняла жидкостью каверну и не нарушила набегающий на пластинку поток, применяется следующий математический прием. Эта струя отводится на второй лист двулистной римановой поверхности и на нем уходит в бесконечность Е (влево), в то время [c.291]

Интеграл (9,68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммер-фельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь Рг = тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть ri — меньший из этих корней, а Гг — больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей сначала г будет увеличиваться от значения Гх до значения Гг, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения Гь В первой фазе этого изменения рг будет положительным, и радикал (9.68) Нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от ri до по одной ветви, а на участке от Г2 до Г — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки гх и Г2, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от Г1 до Г2, как показано на рис. 65. [c.330]

Пример. Пусть / (г) обладает в плоскости С единственной особой точкой Zo O, являющейся точкой ветвления -го порядка (напр., /(г)= . Её риманова поверхность представляет собой п экземпляров плоскости С с разрезом вдоль вещественной положит, полуоси (листов) D , i—1,. .., п. При этом точки верх, берега каждого последующего листа отождествляются с соответствующими точками ниж. берега предыдун1его листа. Точки ниж. берега первого листа отождествляются с соответствующими точками верх, берега п-го листа. Т. п., каждый полный обход вокруг начала координат переводит точку на след. лист. При п-кратном обходе она возвращается на первонач. лист. [c.80]

МНОГОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ — ф -ция, сопоставляющая независимому переменному не одно, а неск. значений. М. ф. естеств. образом возникают в теории аналитических функций, когда аналитическое продолжение ф-ции, заданной в окрестности нек-рой точки г вдоль замкнутого контура, приводит к ф-ции с др. значениями в окрестности той же точки. Такая ситуация возникает, в частности, когда рассматриваемая ана-литич. ф-ция имеет внутри данного контура точку ветвления. Считая точку г до обхода контура и ту же точку z после его обхода разными точками, рассматривают соответствующую неоднолистную область, в к-рой данная аналитич. ф-ция уже однозначна. Макс, неоднолистная область, в к-рой заданная ф-ция аналитична, наз. римановой. поверхностью этой ф-ции. [c.161]

Открытым является вопрос о возможности построения Т. к. т. п. общего вида, в к-рых зависимость от метрич. характеристик имеется в классич. приближении, но исчезает после полного вычисления функционального интеграла. Пример такою рода — квантовая теория гравитации. Ощутимый прогресс в этой области достигнут пока только в изучении моделей 2-мерной квантовой гравитации, le Ho связанных со струн теорией, с задачами описания топологии пространств модулей расслоений над римановыми поверхностями и с теорией случайных матриц. О нек-рых результатах в этом направлении см. [3 ]. [c.131]

Дифференциал I рода dzjw конечен всюду на римановой поверхности F, соответствующей (2), дифференциалы II и III рода имеют соответственно особенность типа полюса с нулевым вычетом или простого полюса. Рассматриваемые как ф-ции верхнего предела интегрирования при фиксированном нижнем пределе, все три Э. и. на F многозначны. [c.612]

Выясним, наконец, геометрический смысл течения с двумя различными периодами. Взаимно однозначное и непрерывное соответствие плоскостей 2 и С обеспечивается на бесконечнолистной римановой поверхности, что соответствует однозначности комплексного потенциала течения при наличии циркуляции скорости вокруг профилей. В случае решетки такая поверхность показана на рис. 75. Она является, кроме того, бесконечносвязной. Отметим, что каждый лист слева от решетки соединяется со всеми листами справа (и обратно) и что каждому обходу профиля по любой замкнутой кривой соответствует переход на следующий лист при смещении [c.206]

В качестве условия на бесконечности по-прежнему используем условия (188) следует иметь в виду, что вторые слагаемые в этих формулах в данном случае будут описывать экспоненциальное убывание на бесконечности, а не степенное, как в случае "конечного числа отверстий. Постоянную в рассматриваемом случае, очевидно, можно считать действительной и положительной. Решение краевых задач (179) и (180) при дополнительных условиях (182) и (188) легко найти на бесконечнолистной римановой поверхности функции sin С, разрезанной вдоль отрезка (sin ej, sin 62) действительной оси на всех листах. Функция sin S конформно преобразует внешность периодической системы разрезов М плоскости t на указанную риманову поверхность. Общее решение этих задач имеет вид [c.58]

Эллиптический синус — sn ( /а, k) конформно преобразует внешность указанной двоякопериодической системы разрезов плоскости на бесконечнолистную риманову поверхность w, разрезанную вдоль отрезка w , w ) действительной оси на всех листах [c.62]

Рассматриваемые на комплексной плоскости I, подынтегральные выражения в (2.10) имеют четыре точки ветвления ( 1 + ik i), ( 2 + ikz), k2 > О, kf > 0, ki p k, I 1 > fo и два полюса в точках Iff — dz ka + ikj . формирование области однозначности подынтегральной функции связано с проведением разрезов в плоскости и образованием четырехлистной римановой поверхности. При выполнении разрезов и выборе нужного листа используются приемы и способы, описанные в 1 данной главы. На рис. 31 показан [c.91]

В заключение отметим следующее. Основой найденных выражений являются общие асимптотические формулы (4.2) и (4.3). Получение таких формул базируется на использовании стандартной техники метода наибыстрейшего спуска [141]. Однако вид функции Ф ( ) в (4.1), имеющей в данном случае две точки ветвления и полюс, значительно усложняет конкретные выкладки, связанные с построением пути наибыстрейшего спуска на верхнем листе четырехлистной римановой поверхности. Примером таких трудных ситуаций может быть случай, возникающий в связи с возможностью совпадения седловой точки = йг sin 0 с точкой ветвления = = ki при некотором угле 0. Подробное обоснование справедливости асимптотических оценок интегралов в том виде, как это представлено выше, содержится в работе [233]. [c.99]

Этот метод, впервые разработанный Зоммерфельдом, позволяет непосредственно исследовать решение уравнения теплопроводности на соответствующей римано-вой поверхности (или в римановом пространстве). При угле раствора пк/т риманова поверхность (или пространство) оказывается /г-листной, и решение будет иметь период 2ятс. Этот метод интересен в историческом отношении, так как после его применения к задаче распространения тепла от источника в теле, ограниченном плоскостями 0 = О и й = 2%, Зоммерфельду удалось с его помощью дать первое точное решение задачи дифракции волн на полуограниченной плоскости (например, на плоскости 6 = 0). В настоящее время развит более простой метод решения этих задач, пригодный как для уравнений теплопроводности, так и для других дифференциальных уравнений математической физики в частных производных. Поэтому здесь достаточно только упомянуть о работах Зоммерфельда, а также о других работах, в которых используется идея римановой поверхности [33—36]. [c.274]

Поиски возможности теоретического моделирования кавитационного обтекания при отличных от нуля числах кавитации привели к установлению новой схемы обтекания с образованием возвратной струйки (отводящей некоторое количество жидкости на фиктивный второй лист римановой поверхности). Эта, казалось бы, надуманная схема, предложенная в 1946 г. Д. А. Эфросом и одновременно группой американских исследователей , на самом деде дала возможность получить хорошие оценки для параметров кавитационного обтекания. Впрочем, и ряд других схем (пожалуй, однако, менее изящных) дает результаты, близкие к рассчитанным по схеме с.возвратной струйкой. 285 Это — 1) схема Д. П. Рябзотинского с замыкающим каверну симметричным телом, перенесенная в 1932 г. на условия кавитации Ф. Вайнигом 2) схема с переменной скоростью на струях Л. И. Седова — М. И. Гуревича 3) схема с замыканием границ каверны на параллельные полупрямые, которую исследовал с другой целью еще Жуковский в 1890 г. (к задачам кавитационного обтекания последняя схема была приложена лишь в 50-х годах). Любопытная схема струйного обтекания со спиралеобразными особенностями на струях предложена недавно М. П. Тулиным [c.285]

Пусть F — риманова поверхность с заданной метрикой ds = gikdx dx . Предполагается, что квадратичная форма положительно определенна, обладает неприводимой к однопараметрической форме коэффициентов таблицей производных, и что коэффициенты этой квадратичной формы дифференцируемы нужное число раз. [c.184]

Поскольку К многозначным функциям, имеюгцим точки ветвления, теорема обрагцения применима лишь для первого листа римановой поверхности, т. е. когда —тг < aгgp < тт, то для [c.284]

Как уже отмечалось, для многозначных функций, имеюгцих точки ветвления, теорема обраш,ения применима только на первом листе римановой поверхности, т. е. когда —тг < argp < тг, поэтому замкнутый контур интегрирования должен выбираться в виде, представленном на рис. 1. В соответствии с леммой Жордана, криволинейные интегралы, взятые вдоль дуг Сд, стремятся к нулю при R оо при условии i > О для > а или при условии t > (2кЬ -Ь х) в. t > [2 к 1) L — х] для = а, где Соо = Иначе говоря, реологическое уравнение (1) [c.291]

Подынтегральная функция в выражении (39) имеет полюс первого порядка в точке р = О и точки ветвления р = О и р = оо. К многозначным функциям теорема обрагцения применима только для первого листа римановой поверхности (( argp < тг)), а поэтому интегрирование в формуле (39) следует вести по контуру, изображенному на рис. 1. Как и в предыду-ш их задачах, здесь следует различать три случая а = /5 = 7, /3 > а и /3 < а. [c.295]

Рассматривается плоское напряженное состояние кусочно однородной упругой плоскости, в которой на линии раздела сред (действительной оси) расположена классическая открытая трегцина и отслоивгиееся тонкое гладкое жесткое включение. Плоскость на бесконечности нагружена с заданными напряжениями и врагцениями. С использованием теории краевых задач на римановых поверхностях найдены явно в элементарных функциях комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений (КИП). Рассмотрены примеры, приведены графики КИН. [c.301]

Теория теплопроводности (1947) -- [ c.186 ]

Теория и приложения уравнения Больцмана (1978) -- [ c.369 ]

Пластичность и разрушение твердых тел Том1 (1954) -- [ c.615 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.135 ]

голоморфная динамика (2000) -- [ c.11 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...