Определение напряжений на произвольной площадке

Таким образом, имеем формулы для определения напряжений на произвольных площадках при растяжении или сжатии [c.61]

Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения [c.188]

Определение напряжений на произвольной площадке. [c.79]

Формула (2.4) показывает, что вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью v вполне определен, если известны три вектора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку. Следовательно, тензор напряжений вполне определяется заданием трех векторов напряжений S] (см. рис. 2.1, б) на трех взаимно перпендикулярных площадках либо девятью напряжениями а,/ на этих же площадках (см. рис. 2.1, в). [c.43]

Для определения напряжений в произвольной площадке а (фиг. 29, вторично применяем метод сечений разрезаем частицу плоскостью а на две части, отбрасываем одну из них и заменяем ее действие на оставшуюся часть силами, приложенными к рассеченному месту. Эти силы неизвестны, но вследствие элементарных размеров частицы можно считать их равномерно распределенными по площади грани а. [c.26]

Остановимся несколько подробнее на исследовании плоского напряженного состояния (исследование общего случая объемного напряженного состояния выходит за рамки краткого курса). При плоском напряженном состоянии всегда можно выделить элемент таким образом, чтобы одна из его граней была свободна от напряжений (рис. 3-4). Эта грань является одной из главных площадок (касательные напряжения на ней отсутствуют), ее можно назвать нулевой главной площадкой. Обычно ограничиваются определением напряжений, возникающих на площадках, принадлежащих серии (семейству) площадок, перпендикулярных свободной от напряжений грани элемента. Нормальное и касательное напряжения, возникающие на произвольной площадке, нормаль к которой составляет угол а с осью Ог, определяются по формулам [c.41]

Анализ напряженного состояния в точке начинают всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводят три взаимно перпендикулярные плоскости, ориентацию которых выбирают произвольно, но так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены наиболее простым путем. [c.303]

Поскольку исходные уравнения для определения нормального напряжения по произвольной площадке (1.2) и линейной деформации в произвольном направлении (1.25) имеют одинаковую структуру, то и окончательные выражения для главных напряжений а и главных деформаций X должны иметь одинаковый вид (с учетом замены Тху на /а ху И т. д.). [c.30]

Перейдем теперь к определению величины главных напряжений по заданным значениям шести компонент напряженного состояния в произвольной системе Охуг. Возвращаясь к рис. 280 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали V. Обозначим его через S [c.260]

Для установления зависимостей, позволяющих определить нормальное и касательное напряжения в произвольной площадке, применяя метод сечений, рассечем элемент наклонной плоскостью (рис. 106, а). На рис. 106,6 отдельно изображена бесконечно малая трехгранная призма, отсеченная от выделенного элемента. На ее наклонной грани возникают напряжения сг и подлежащие определению. [c.137]

Очевидно, что величины напряжений зависят от ориентации поверхности разреза, откуда следует, что должна существовать определенная зависимость между напряжениями на произвольно ориентированных площадках, проходящих через заданную точку в жидкости. [c.31]

Формулы для главных напряжений Найдем формулы для определения главных напряжений через напряжения, действующие на произвольных площадках. Для этого предположим, что площадка dF - главная и на ней действует главное напряжение <т, а т =0. Спроектируем все силы действующие на вьщеленный элемент на оси j и соответственно. В результате получим [c.85]

Выведем формулы для определения главных напряжений при плоском напряженном состоянии в общем случае, когда заданными (исходными) являются напряжения на произвольных взаимноперпендикулярных площадках. [c.89]

Обратная задача предполагает определение положения главных площадок и главных напряжений по заданным нормальным и касательным напряжениям на произвольно ориентированных площадках [c.325]

Окончательное выражение для определения касательных напряжений, действующих на произвольно выбранной площадке АВ, будет следующим [c.79]

Простейший пример такого рода можно рассмотреть на основе результатов предыдущего параграфа. Пусть тонкая пластина произвольной формы в плане подвергнута действию равномерно распределенного усилия р, нормального к ее контуру Г (рис. 8.13.2). Если пластина не имеет вырезов, в ней возникает напряженное состояние 0ц = 022 = р, 033 = 012 = 023 = 031 = 0. В плоскости XiX все оси — главные, и на любой площадке, параллельной оси Хз, нормальное напряжение есть р, а касательное равно нулю. Предположим теперь, что в пластине сделано отверстие радиусом а, и найдем распределение напряжений. Прежде чем решать эту задачу, заметим, что схема, изображенная на рис. 8.13.2, может быть применена и к другой задаче. Пусть мы имеем дело не с тонкой пластиной, а с очень длинным цилиндром, фигура на рис. 8.13.2 представляет его поперечное сечение. К боковой поверхности цилиндра приложены нормальные усилия р, равномерно распределенные по всей поверхности. Вдоль оси цилиндра просверлено отверстие по всей длине. По-прежнему, если отверстия нет, то Оц = 022 = р, О12 = О23 = О31 = О, но напряжение Озз О, оно найдется из условия сохранения плоских сечений. Для нахождения Озз нужно оговорить, чему равна сила, приложенная к торцам и растягивающая либо сжимающая цилиндр. В том и другом случае распределение напряжений Оц и 022 будет одним и тем же. Внешняя нагрузка такова, что в теле нельзя указать предпочтительного направления, поэтому распределение напряжений осесимметрично и дается формулами (8.12.7). Для определения констант получаются следующие условия Ог = О при г = я, Qr- р при г ->оо. Отсюда [c.272]

Приведем пример к обсужденному определению тензора второго ранга. Рассмотрим произвольную площадку, проходящую через точку напряженного тела, отнесенного к системе координатных осей хуг. Нормаль к площадке v имеет в этой системе осей направляющие косинусы I, т н п, которые можно трактовать как составляющие по осям х, у и г единичного вектора v, направленного вдоль нормали. На этой площадке вектор напряжения pv имеет в системе осей хуг составляющие p j,, и р г [c.774]

В случае балок непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.35) определение касательных напряжений из уравнения равновесия (7.27) затруднительно, так как граничное условие для не во всех точках контура поперечного сечения известно. Это связано с тем, что в этом случае в поперечном сечении действуют касательные напряжения т, не параллельные поперечной силе Qy. В самом деле, можно показать, что в точках у контура поперечного сечения полное касательное напряжение х направлено по касательной к контуру. Рассмотрим в окрестности произвольной точки контура (рис. 7.35 бесконечно малую площадку dF в плоскости поперечного сечения и перпендикулярную к ней площадку dF на боковой поверхности балки. Если полное напряжение х в точке контура направлено не по касательной, то оно может быть разложено на две составляющие ivx в направлении нормали V к контуру и в направлении касательной t к контуру. Следовательно, согласно закону парности касательных напряжений на площадке dF должно действовать касательное напряжение х , равное х . Если боковая поверхность свободна от касательных нагрузок, то составляющая t v = tvx = 0, т. е. полное касательное напряжение х должно быть направлено по касательной к контуру поперечного сечения, как это показано, например, в точках А В контура. [c.139]

Подробное определение полного напряжения в произвольно расположенной площадке с заданными углами наклона нормали к площадке с помощью кругов Мора дано, в частности, на стр. 26—27 книги А. И. Дымова Строительная механика машин (Л,-М. Гостехтеориздат, 1933). [c.609]

Здесь f — вектор массовых сил а — вектор ускорения, определенный в (1.23) t — вектор истинных напряжений Коши, действующий на граничной площадке дш. Вектор t имеет тот же самый смысл, что и вектор t( ) в (1.72), но здесь индекс (п) опущен, так как в (1.111), (1.112) под единичным вектором нормали подразумевается вектор внешней нормали п к поверхности дш. Знаком X обозначена операция векторного произведения. Область ограниченная замкнутой поверхностью дш, — произвольная подобласть области V аксиома локализации). Из уравнения (1.112) следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно, и тензоров напряжений s, т, т, [c.59]

После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от изгибающего момента в этом сечении. Мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку dA на расстоянии у от нейтральной оси л (рис. 103). Напряжение по этой площадке, согласно формуле [c.105]

Формулу для определения наибольших касательных напряжений можно получить путем анализа на экстремум функции (с , с полного касательного напряжения, действующего на произвольно выбранной площадке. При этом целесообразно сначала найти главные площадки, совместить оси координат с направлением действия главных напряжений и использовать формулу [c.46]

Поскольку не представлялось возможным проследить за перемещением каждой конкретной частицы, оказалось уместным пойти по пути мысленного распределения вещества тела непрерывно по всему его объему, после чего можно было говорить о перемещениях точек тела как о непрерывных функциях координат. А так как не представлялось возможным вычислить и силы взаимодействия между каждой парой молекул, то оказалось целесообразным ввести статистическое понятие напряжения — осредненной силы взаимодействия между частицами, расположенными по одну сторону от произвольной площадки, мысленно выделенной внутри тела, и частицами, расположенными по другую сторону этой площадки. Погрешность, допускаемая при таком подходе, может быть существенной лишь при определении взаимных перемещений точек, первоначальные расстояния между которыми сравнимы с расстояниями между молекулами, или при определении силы, действующей на площадку, соизмеримую по величине с квадратом расстояния между молекулами. Но столь малые расстояния и площадки не представляют практического интереса при решении задач о деформации упругих тел, чем и оправдывается использование в теории упругости (а также и в теории пластичности) методов механики сплошных сред. Представление о твердом упругом теле как [c.12]

В случае произвольного контура рассечем площадь, охватываемую этим контуром, на элементарные прямоугольники (рис. 46) и просуммируем значения циркуляции скорости, определенные по контурам отдельных прямоугольников. Всякий прямоугольник, кроме расположенных у краев площадки о, граничит с четырьмя другими прямоугольниками, имея с ними общие стороны. Совершая обход смежных прямоугольников в одном и том же направлении, найдем, что по одной и той же стороне циркуляция скорости будет вычислена дважды, но в противоположных направлениях. При суммировании величин циркуляции значения их по внутренним контурам взаимно сократятся, и циркуляция скорости по контуру, охватывающему площадь о, будет равна сумме напряжений всех вихрей, пронизывающих контур 5. [c.76]

Задача определения касательных напряжений в поперечном сечении стержня, находящегося в условиях сложного сопротивления, решается сложнее. На рис. 12.3 показаны касательные напряжения, возникающие в произвольной точке поперечного сечения круглого стержня при изгибе с кручением. Полное касательное напряжение X на площадке вблизи точки А может быть вычислено с помощью геометрического суммирования [c.237]

Рис. 5.18. Линейное напряженное встояние а) к определению компонентов напряжений в произвольной системе осей по главным напряжениям 6) к определению состав-лякмцих напряжения на произвольной площадке по компонентам напряжений в) к зависимости между компонентами напряжений в двух системах осей, повернутых одна относительно другой г) площадка с максимальным касательным напряжением й) окружность напряжений лри одноосном растяжении е) окружность напряжений при одноосном сжатии

Таким образом, для того чтобы определить силу, действующую на данную определенную площадку, нужрю знать три напряжения для данной площадки. Но площадки, служащие границами рассматриваемого элемента сплошного тела, могут быть расположены как угодно. Чтобы найти внешние силы, действующие на данный элемент, нам придется находить силы, действующие на любую площадку, находящуюся в данной точке тела, но произвольно ориентированную. Ясно, однако, что напряжение для данной площадки зависит от выбора площадки, к которой мы это напряжение относим. [c.472]

При действии на любое тело произвольных размеров и формы самоуравновешенной системы массовых и (или) поверхностных сил в нем возникают также самоуравновешенные в каждой точке тела внутренние усилия. Если бы тело было рассечено произвольной плоскостью, то эти внутренние усилия были бы, вообще говоря, непрерывно распределены по поверхности сечения, причем и направления, и плотности усилий в разных точках поверхности были бы различными. Кроме того, распределение внутренних усилий зависело бы также от ориентации плоскости сечения. Напряжение — это величина, используемая для определения интенсивности и направления внутренних усилий, действующих в заданной точке тела на некоторой площадке. Поскольку напряжение определяется не только величиной и направлением, но и ориентацией площадки, на которой оно действует, напряжение является тензором второго ранга. Полное описание величин и направлений напряжений на всех проходящих через данную точку площадках характеризует напряженное состояние в этой точке. Хотя определение напряжения и использование его в дальнейшем в виде тензорной величины не вызывают особых неудобств, мы будем применять более обще- [c.86]

Выяснив закон распределения нормальных напряжений по поперечным сечениям балки при чистом изгибе, можно перейти к их определению-в зависимости от величины возникающего в поперечном сечении изгибающего момента. Для этого мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в поперечном сечении (см. рис. 129) произвольную элементарную площадку ёР на расстоянии у от нейтральной оси х напряжение по этой площадке согласно формуле (124) равноо = —. Величина элементарной силы, действующей на площадку йР, равна айР. [c.201]

Остается найти положение площадки действия максимального касательного напряжения и его значение. Схема исследования аналогична применявшейся для определения главных напряжений дифференцируем выражение для Ха, приравниваем нулю произвольную, находим тангенс угла, определяющего положение площадок действия Ттак, и убеждаемся, что этот угол (обозначим его 01) отличается на 45° от оо. Поставив О) в выражение для Та и выразив функции этого угла через Стг и тг, получим формулу [c.158]

Остановимся теперь на задаче о контакте двух упругих полуплоскостей с разными характеристиками. Данная схема может служить основой для рассмотрения контакта двух тел достаточно произвольной конфигурации, когда величина площадки контакта мала по сравнению с размерами тел. В этом елучае надлежит независимо воспользоваться решением для каждой полуплоскости и из условия равенства контактных напряжений и смещений на границе сформулировать краевую задачу Римана. В результате, как и в общем проетранственном случае, придем фактически к задаче о жестком штампе на полуплоекости, когда профиль штампа будет определенным образом зависеть от профилей каждого из упругих тел и их упругих постоянных. [c.423]

Пусть оси X, у, г совмещены с направлениями главных напряжений Ti, 02 и (рис. 5.30, а). Перейти от главной площадки к произвольно ориентированной (с нормалью v) можно при помощи двух определенным образом произведенных поворотов. Первый поворот — относительно оси г на угол ф, второй поворот — на угол в плоскости напряжений и ад. В процессе первого поворота изменение Оа и %аь происходит, кзк В двумсрном напряжснном состоянии, и характеризуется кругом Мора, построенным на главных напряжениях 01 и 02 (рис. 5.30, б). В процессе второго поворота компоненты 0V и Xyt могут быть найдены из круга Мора, построенного, как для двумерного напряженного состояния, на напряжениях 03 и а как на главных (рис. 5.30, б). После отыскания и Ту (последнее находится, как это показано в разделе 9 настоящего параграфа) не составляет труда найти х ь и угол ov/. Построение показано на рис. 5.30, б. Заметим, что понятие псевдоглавных напряжений используется при анализе пространственного напряженного состояния тела оптическим методом. [c.431]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...