Две формулы Зейделя

Аберрации в зрачке фотографических объективов всегда малы и поэтому могут быть с достаточно большой степенью точности вычислены с помощью формул Зейделя для аберраций 3-го порядка. Пусть Я (рис. VI. 10) — плоскость диафрагмы Я — плоскость входного зрачка Ф — передняя фокальная плоскость линзы L (первая половина фотографического объектива, рассматриваемая в обратном ходе). Здесь мы будем считать, что свет распространяется от диафрагмы к входному зрачку, т. е. обратно тому, как он распространяется на самом деле. Предметом будет служить точка А на краю отверстия диафрагмы луч должен после преломления пройти через изображение М светящейся площадки dS, которое находится в фокальной плоскости первой половины объектива. Если точка А находится не в основной меридиональной плоскости (содержащей светящуюся площадку dS), а в другой, образующей с ней угол if, то необходимо рассматривать эту последнюю как новую меридиональную н тогда точка М будет [c.435]

Две формулы Зейделя. Эти формулы связывают координаты двух вспомогательных лучей. Эти же формулы могут применяться и для любых двух параксиальных лучей, проходящих через центрированную оптическую систему. [c.93]

В таком виде обычно и пишут первую формулу Зейделя. Эта формула связывает разность величин относящуюся [c.94]

Первая формула Зейделя может быть записана и в таком виде [c.94]

Следовательно, первая формула Зейделя позволяет исключить величину Q , выражая ее через 5 но в выражение для через Qs входит еще и координата второго луча у. [c.94]

Вторая формула Зейделя связывает у с координатами первого вспомогательного луча, с радиусами, толщинами и показателями преломления линз, а также с воздушными промежутками между линзами в сущности, она представляет собой не что иное, как формулу для расчета параксиального луча через систему. [c.94]

Применяя первую формулу Зейделя (П.50), имеем [c.95]

Вторая формула Зейделя (II.52) дает для а, выражение [c.124]

Воспользуемся второй формулой Зейделя (П.52) [c.202]

Можно привести и другие соображения, относящиеся к вопросу о выборе подлежащих исправлению аберраций. Неоднократно делались попытки исправления астигматизма в объективах малой толщины. Естественно, все эти попытки терпели неудачу, поскольку коэффициент астигматизма в бесконечно тонких объективах в наиболее распространенном случае, когда входной зрачок совпадает с оправой объектива, равен постоянной величине, отличной от нуля, независимо от конструктивных элементов. Это обстоятельство стало известным лишь после того, как формулы Зейделя научились применять в простых частных случаях. [c.341]

Однако полученные выше уравнения нелинейны, и поэтому их решение можно получить методом итерации (последовательных приближений) Гаусса—Зейделя, смысл которого состоит в следующем. В начале процесса итерации задаются значениями g во всех узлах сетки. Затем, обозначая индексом i значения в узле после t-й итерации, мы повторяем операцию для каждой точки по формуле [c.191]

Рис. 6.7. Распределение температуры в узлах сетки куба, верхняя грань имеет температуру 100"С, а пять других 0°С (представлена 1/4 куба, так как задача симметричная) значения температуры слева от узлов получены по методу релаксации, справа — по методу Зейделя, вторые справа — аналитически по формуле (6.10)

Метод, задаваемый формулой (1.22), называется методом последовательной верхней релаксации при а > 1 или методом последовательной нижней релаксации при а< 1. При а — 1 получаем как частный случай метод Гаусса—Зейделя. [c.14]

Метод Зейделя, реализованный, как правило, в стандартной программе математического обеспечения, задается следующими формулами [c.137]

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби, в котором формула [c.128]

Для вычисления основных параметров Р и W при данном выборе переменных удобнее всего пользоваться формулами, выражающими суммы Зейделя S н S,, при = О через инварианты <3, н величины Д- . .Заметим, что при ft = 1, имеем [c.70]

Обозначим углы пересечения первого вспомогательного луча с осью системы в пространстве предметов, между компонентами в пространстве изображений буквами а,, а,, и [, высоты точек преломления того же луча через объектив и окуляр — буквами й, и й и высоты для второго вспомогательного луча — буквами и Согласно замечанию в монографии [3, стр. 2441 о вычислении сумм Зейделя для телескопической системы с отрицательным окуляром, принимаем, что а,, = 1, и, замечая, что а, =а,[,, находим выражения сумм по формулам (III.7) из [31 в таком виде [c.189]

Согласно формулам (11.62), получаем следующие выражения сумм Зейделя для системы Галилея [c.190]

Обозначая через Р , й , , и известные функции от углов а внутри компонентов, получаем по формулам (III.7) из [10] следующие выражения для сумм Зейделя [c.225]

Используя формулы (П1.7), (1П.7 ), (IH.9), (111.11) и (111.14) из [101, можно по найденным желательным изменениям поперечных аберраций вычислить изменения сумм Зейделя н хроматических сумм. Изменив значения этих сумм в выражениях (П1.28), снова решаем полученные уравнения, лучше всего по методу постепенных приближений. [c.248]

Заменяем т) его выражением через вторую сумму Зейделя по формулам (11.128) и (11.130) из [61 [c.451]

Значения сумм Зейделя S, S u 5 п, S v и Sv выражаются формулами [c.259]

Это условие можно представить в виде следующих формул, ограничиваясь тремя суммами Зейделя S, и Sni [c.261]

Су.ммы Зейделя вычисляют но формулам [c.122]

Сходимость метода имеет место при всех 0<9<2. В частном случае д = алгоритм (4.43) соответствует методу Зейделя. Для прямоугольной области С=(0< л < /1, 0 У оптимальное значение параметра релаксации дается формулой [c.101]

Рассмотренные нами монотонные схемы и граничные формулы обладают этими свойствами при сколь угодно больших шагах сетки, хотя при повышенном порядке аппроксимации действуют некоторые ограничения на отношение шагов. Недостаток метода Зейделя — неудовлетворительные показатели по скорости сходимости и вычислительной устойчивости в условиях развитой конвекции (Ка Ю ), даже в случае монотонных аппроксимаций. Нейтрализовать дестабилизирующее влияние числа Рэлея удается за счет введения в алгоритм параметров релаксации. [c.106]

Таким образом, коэффициенты С1 и DJ в разложении Зейделя определяют координаты обоих фокусов астигматического элементарного пучка, для которого осью служит главный луч с аберрациями, определяемыми формулами (П.15). [c.72]

Из формул (11.31) и (П.ЗЗ) вытек очень важное следствие — невозможность существования оптических систем, исправленных для всех положений предмета и входного зрачка. Действительно, необходимость устранения всех пяти сумм Зейделя при любых значениях т (т. е. при любом положении предмета) приводит к тому, что все коэффициенты 6 должны равняться нулю. Но при этом остаются не равными нулю члены, не зависящие от 6 и стоящие [c.85]

С этой целью пишут выражеиня для аберраций бg и 60 в виде разложении в ряд по степеням величин /], Шр и Ир вид этого разложения известен из теории аберраций третьего и пятого порядков. При необходимости можио продолжать разложение и дальше, пользуясь тем же методом, по вычисления при этом очень усложняются. Коэффициенты аберраций третьего порядка могут быть вычислены непосредственно по формулам Зейделя. Коэффициенты аберраций пятого порядка могут быть вычислены на основании результатов тригонометрического расчета хода лучей через систему, если предположить, что аберрации точно определяются членами третьего и пятого порядка и что все члены высших порядков в разлол<ении, начиная с седьмого порядка, равиы нулю. Так как число коэффициентов пятого порядка равно девяти, то нужно рассчитать ход по крайней мере девяти лучен, в том числе нескольких косых в действительности необходимо знать аберрации большего числа лучей, чтобы проверить возмож- [c.150]

Среди окуляров с положительным фокусным расстоянием одним из самых простых является окуляр Рамсдеиа, состоящий из двух плоско-выпуклых линз (рнс. У.13), обращенных друг к другу выпуклыми поверхностями. Передний ( юкус находится впереди первой лиизы коллектива. Так как линзы простые, окуляр практически не обладает аберрациями высших порядков и его аберрации с большой точностью могут быть определены на основании формул Зейделя для третьего порядка. У него могут бьггь вполне исправлены кома н астигматизм кривизна поля в.общем не хуже, чем у более сложных окуляров, но довольно большая хроматическая разность увеличений (порядка 1 % для лучей, соответствующих длинам воли 656 и 486 мкм) ограничивает поле зрения, которое не может превышать 40°. [c.330]

Несколько позже (1856 г.) Зейделем были выведены и опубликованы формулы для коэффициентов аберраций третьего порядка, но Зейдель, как и Пецваль, пришел к выводу о невозможности использования этих формул для практических вычислений из-за их крайней сложности. Лишь в начале XX в. непрекращающиеся попытки найти применение формулам Зейделя привели к успеху в простейшем случае двухлинзового объектива, который представлял весьма значительный практический интерес, так как являлся основным компонентом подзорных труб любого рода, а также микроскопов слабого увеличения. Двухлиизовые объективы, наиболее часто встречающиеся на практике, обладают малым относительным отверстием, обычно меньше чем 1 4— [c.335]

Система двух зеркал, определяемых уравнениями (IX.97) и (IX.98) нли (IX.99) и (IX.100), исправлена точно в отношении сферической аберрации и комы. Остакл-ся два свободных (в небольших пределах) параметра du т (расстояние между зеркалами и расстояние фокуса от поверхности МА), которыми можно располагать для устранения еще двух аберраций — кривизны поля и астигматизма. Для вычисления этих аберраций с точностью только до третьего порядка малости можио воспользоваться формулами Зейделя для системы бесконечно тоикнх компонентов в применении к отражательным поверхностям, но проще вычислить положение фокусов бесконечно тонких сагиттальных и мери- [c.366]

В качестве исходной системы рационально принять сисчгму, рассчитанную по формуле Зейделя. Затем, задавшись пужиим [c.363]

Для составления канонических уравнений используются формулы (1.7). Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений высоких порядков, так как число степеней свободы при решении сложных задач может достигать нескольких десятков тысяч. Обычно используются метод Гаусса, метод квадратного корня (метод Халецкого), метод Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате решения определяются значения степеней свободы. По найденному вектору степеней свободы q и системе координатных функций ф/ , которая была назначена заранее, определяется функция перемещений (1.4) по всей области системы, а по ней — напряжения и деформации в интересующих расчетчика местах. [c.29]

Далее в0с]10льзуемся формулами (III.10)—(111.12) и (III.14) из 110] для нахождения первой хроматической суммы 5, ,, второй хроматической суммы S,, , и четвертой суммы Зейделя (Пецваля) S . [c.240]

В отличие от упомянутых выше авторов, мы считаем целесообразным уже в данной стадии расчета переход к системе с линзами конечной толщины. Действительно, дальнейшее выполнение расчета по формулам для бесконечно тонких систем не упрощает задачу. Основное, наиболее важное для практики, свойство бесконечно тонких компонентов, а именно возможность определения сумм Зейделя для отдельных компонентов, остается в силе и для линз с конечными толщинами, если пользоваться изложенным в 110, гл. VI ] методом перехода к толстым линзам с сохранением величии ft. При этом положения линз конечной толщины выбираются таким образом, чтобы высоты пересечения параксиальных лучей с главными плоскостями этих линз равнялись высотам пересечения этих же лучей с соответствующими бесконечно тонкими компонентами. Толщины линз могут быть вычислены уже сейчас, когда известны оптические силы ф , относительное отверстие системы, ее поле з рения и величины а у,,. Конечно, такой расчет может быть только приближенным, так как заранее точно неизвестно, как будут виньетироваться наклонные пучки но в первом приближении достаточно и грубого знания этих толщин кроме того, здесь может помочь и знание известных уже объективов подобного типа. [c.245]

Вычислим все суммы Зейделя системы Мерсенна по формулам -S, = hiP, + [c.378]

Формулы (14.119) имеют нулевую размерность, поэтому у коэффициентов Зейделя будет размерность минус третьей степени. Заметим также, что коэффициент деформации Ь или k входит во все суммы, кроме четвертой —суммы Петцваля. [c.259]

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получаются различные итерационные методы. Эти величины выбирают такими, чтобы формула (2.14) была согласована с (2.13), т. е. Х = НХ -ЬС. Основные итерационные методы простой итерации, Якоби, Гаусса— Зейделя, релаксационные. Для практической реализации итерационных методов необходимо выбрать способ ускорения сходимости и установить критерий окончания итерационного процесса. Способы ускорения сходимости весьма разнообразны, но часто основываются на оценке максимального Л (Н) и минимального та(Н) по модулю собственных значений матрицы Н. Идеальным критерием окончания итераций является норма вектора ошибки Ел, но непосредственно ее определить невозможно, так как точное решение X неизвестно. Поэтому для итерационного процесса (2.13) вводится вектор приращений (вектор псевдоневязки) ДХй= —Ха+1—Ха, связанный с вектором ошибки следующим равенством ДХ.,= (Н—1)Еа, где I — единичная матрица. Переходя к оценке по нормам, получим [c.35]

Метод Зейделя характеризуется использованием итерационной формулы, отличающейся от (5.6) тем, что вычисляемые на ( 4-1) итерации значения элементов вектора У +1 подставляются в правую часть на той же (й-1-1) итерации для расчета последующих элементов вектора У +1. В большинстве случаев метод Зейделя дает более быструю сходимость, но уравнения в (5.5) должны быть предварительно упорядочены. Упорядочение выполняется с помощью операции ранжирования, его цель — согласовать последовательность вычислений в модели с последовательностью прохождения сигналов в схеме. Эта цель непосредственно достигается в комбинационных схемах. Последовательностные схемы преобразуются в комбинационные после разрыва обратных связей. Ранх<ирование заключается в присвоении рангов всем цепям схемы по следующему правилу (/+1) ранг присваивается выходам элементов, все входы которых проранжированы и наибольший ранг входа равен г, причем ранжирование начинается с присвоения ранга 1 всем входам и псевдовходам, образовавшимся в местах разрыва обратных связей. Вычисления организуются так, чтобы переменные на выходах мень-щих рангов определялись раньше переменных на выходах больших рангов. [c.120]

Случай 1. Имеется только сферическая аберрация третьего порядка = 0). Вернемся снова к выражению (4.13), но используем уже формулу (4.15), пололтм = О и вспомним, что на основании сказанного ранее об аберрациях Зейделя = 6//61/. Тогда получим [c.99]

Приведем Ста вывода формулы остальных аберраций плоскопараллельной пластинки. Вывод их с применением сумм Зейделя читатель может найти в книге Турыгина [1201. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...