Гладкая простая дуга

Лемма 5. Существует гладкая простая дуга, соединяющая произвольную точку А о траектории Ьо с точкой О, лежащая целиком кроме концов А(уи О) в области которая во всех отличных от О точках не имеет контактов и пересекает все траектории, проходящие через точки области и каждую в одной только точке. [c.337]

Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами [c.536]

Гладкая простая дуга. Простая дуга I называется гладкой, если существует такое параметрическое представление этой дуги ж = ф (/), / = ч ) ( )> при котором функции ф ( ). Ч ( ) и e параметрических уравнениях удовлетворяют следующим условиям 1) Они однозначны и непрерывны при всех я Ь (о и , й > а, — некоторые данные значения, причем точки Мр (ф (а), ч (а)) и М1(< (Ь), ч (Л)) являются концами дуги I), и для всяких двух значений, Ц, Ц Ф 2 1ф (<1)— (<2) 1 + + [ Ф ( 1) — Ф Ф О, т. е. разным значениям г соответствуют разные точки дуги 1 [c.536]

Всякие две точки на гладкой простой замкнутой кривой С, очевидно, разделяют С на две простые гладкие дуги. В каждой точке кривой С, так же как и в случае гладкой простой дуги, определен касательный вектор. [c.537]

Гладкие простые дуги, имеющие общую точку. Пусть и 2 — Две простые гладкие дуги. Пусть при [о), Ь, ] (а < Ь ) х = ( ), / = т , (/), и соответственно при и 1а2, 62 ( 2 < 2) = Фг ( ). 2/ = Фг параметрические уравнения дуг [c.537]

Мы скажем, что простая дуга I (эта дуга может быть как гладкой, так и негладкой) является обобщенной дугой без контакта для системы (I) , если а) на дуге I не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, проходящей при t = t(, через какую-нибудь точку М дуги I, отличную от концов, точки, соответствующие достаточно близким к to значениям t >> to, лежат по положительную сторону I, а точки, соответствующие достаточно близким к to значениям t tg, лежат по отрицательную сторону от I ) (пли наоборот). В частности, наиример, гладкая [c.73]

Простая дуга называется гладкой дугой класса (аналитического класса), если функции ф (О, ч )(/) являются функциями класса С (соответственно аналитическими). [c.536]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая ), лежащая в области G. Мы будем говорить (так же, как и в случае простой дуги), что кривая С в некоторой своей точке М не имеет контакта, если проходящая через точку М траектория системы (А) не касается кривой С в этой точке, и будем говорить, что кривая С в точке М имеет контакт, если проходящая через точку М траектория в этой точке касается кривой С. [c.42]

Кусочно-голоморфные функции. Пусть, как в 65, Ь обозначает совокупность конечного числа простых разомкнутых дуг и простых замкнутых контуров плоскости комплексного переменного 2, не имеющих общих точек эти дуги и контуры мы будем всегда предполагать гладкими. Как в 65, мы будем называть Ь простой гладкой линией и будем предполагать, что на ней (т. е. на каждой дуге или контуре, входящем в ее состав) выбрано определенное положительное направление. Концы разомкнутых дуг (если таковые имеются), входящих в состав мы будем называть концами линии Ь. [c.383]

Учитывая, что р/ро = (А) — монотонная непрерывная функция и, значит, обратное отображение X = 7г р/ро) — однозначно и непрерывно, выражаем М = М(А) в виде непрерывной функции М = М р/ро). Пусть Ро ф) непрерывна. Тогда непрерывность V в физической плоскости влечет непрерывность (51). Таким образом, угол наклона характеристики в плоскости 1пр,/3 — непрерывная функция длины дуги этой характеристики в физической плоскости. Следовательно этот угол — непрерывная функция длины дуги характеристики и в плоскости 1пр,/3 — на каждом простом листе римановой поверхности отображения (ж, у) (1пр, /3), причем предельные значения при подходе к краю складки по разным простым листам совпадают (по определению римановой поверхности). Это означает, что характеристика в плоскости 1пр, /3 либо гладкая кривая, либо имеет точки возврата. Так как характеристики разных семейств в плоскости 1пр, /3 ни в коем случае не соприкасаются (при М / 1, М / ос), то линия ветвления является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства, либо — множеством точек возврата характеристик обоих семейств. [c.36]

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть самопересечений , т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям I в любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой. [c.30]

Дута без контакта. Пусть I — какая-нибудь простая гладкая дуга (см. дополнение, 3, п. 5), лежащая в области G, я М — точка на этой дуге, не являющаяся состоянием равновесия системы (I). [c.71]

Простая гладкая дуга I называется дугой без контакта динамической системы (I), если а) на дуге I не лежит ни одного состояния равновесия [c.72]

Лемма 7. Существует простая гладкая дуга, соединяющая точку О с точкой А траекторией Ь целиком, кроме концов лежащая внутри Ь во всех отличных от О точках, не имеющая контактов и пересекающая все траектории, проходящие через отличные от О тючки внутри [c.361]

Условие а) означает, что множество точек М (ф (/), ч ) (0) есть простая замкнутая кривая, условие б) есть условие гладкости. Условия а) и б) выполняются, в частности, в том случае, когда Ф (/), 11) (/) — периодические функции с периодом т (т = = Т — /о), имеющие непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. Из условия б), как и в случае простой гладкой дуги, следует, что при всех t, 1 Т, ф (О + (О > -Ад, где Л о — некоторая положительная величина. [c.537]

Две простые гладкие дуги пересекаются (или одна дуга пересекает другую), если в их общей точке угол между ними отличен от нуля, т. е. если з1п а Ф 0. Две простые гладкие дуги касаются в общей точке, если угол между ними равен О или я, т. е. если вш а = 0. [c.537]

Предположим теперь, что рассматриваемая простая замкнутая кривая является кусочно-гладкой. Пусть и 1 — две простые гладкие дуги, входящие в состав кривой [c.545]

II имеющие общий конец О. Считая положительным паправлением на дугах и и направление, индуцированное положительным обходом кривой С, предположим, что угол между дугами и 1 в точке О отличен от нуля н от л. Пусть простая гладкая дуга k , параметрическое уравнение которой [c.545]

Простой гладкой дугой называется дуга, которая может быть задана параметрическими уравнениями х = /(s), у = g s), удовлетворяющими следующим условиям. [c.40]

Если траектория системы (А), проходящая через точку М дуги Z, в этой точке не касается дуги Z, то мы будем говорить, что дуга I в точке М не имеет контакта с траекториями системы (А). Если же проходящая через точку М траектория касается дуги, то мы будем говорить, что дуга I в точке М имеет контакт с траекторией системы (А). Простая гладкая дуга называется дугой без контакта для траекторий системы (А), если [c.41]

Пусть тело занимает конечную область 5 , ограниченную простым замкнутым гладким контуром 5. Пусть на 5 взяты дуги = (А = 1, 2, [c.441]

Рассмотрим в плоскости и, и) гладкую простую дугу / (н = (р (/), г — я] (/)). Покажем, что нри регулярном отображении Т касателт.ный всч тор к этой дуге преобразуется согласно формулам (.")) (т. е. касательный вектор является коитраварнант-ным вектором). Действите.тьно, ири отображен1ги Т дуга очевидно, отображается на плос,кос,ть (х, у) в гладкую простую дугу [c.540]

Для вычисления вращения поля вдоль дуги Р 8Р2 проведем гладкую простую дугу Р ТР2, целиком лежащую (за исключением ее концов Р и Р внутри окружности Сд и внутри петли Ь, касающуюся траектор1ш Ь в точках и и не имеющую общих точек (кроме коп-цов Р и Р2) с дугой Р ЗР . Для того чтобы псе этн требования выполнялись, достаточно провести дугу Р ТР2 внутрп окружности б о Между полутраекториями 1 п о близко к ним. [c.561]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области С, а М — какая-нибудь ее точка. Мы будем говорить так же, как и в случае простой гладкой дуги I, что кривая С в точке М имеет или не имеет контакта (с траекториями системы (1)) в соответствии с тем, касается ли кривая С в этой точке траекторни системы (I) или нет. [c.95]

Испо.1Ьзование регулярного отображения при рассмотрении областей, характеризующих раз.чичные стороны простой гладкой дуги. Как было указано в п. 2 3, области, характеризующие различные стороны простой дуги, могут быть введены с помощью функций ж = ф (s, I), у = ij) (s, t), определяющих топологическое отображение прямоугольника плоскости (s, i) со сторонами, параллельными осям i и s на некоторую содержащую дугу I замкнутую область С плоскости (х, у). [c.541]

Предположим, что простая дуга I, параметрические уравнения которой — i (s), у = g (s), S la, Ь], является гладкой, так что футпщии / (.s) и g (s) являются функциями класса j. В этом случае часто бывает весьма естественпо в качестве 4>ункций, определяющих отображение ирямоугольной плоскости (. , г), рассматривать функции. Определяющие регулярное отображение прямоугольника а. [c.541]

В силу условия 3) (см. выще) каждая достаточно малая дуга окружиости С , содержащая точку Р , является дугой без контакта. Отсюда и из 3, замечание 3 к лемме 8, вытекает, что в качестве Я. можно взять дугу без контакта, касающуюся в точках Р и Ра окружности Сд. Мы будем считать, что это условие выполняется. Тогда кривая Г, состоящая из дуги без контакта %, н дуги Р2ЛР1 окружиости Сд (рис. 349), является гладкой простой замкнутой кривой. Построим па ней непрерывное [c.562]

В дальнейшем, говоря о линиях дугах, контурах), мы будем иметь в виду (если противное не оговорено) простые (т. е. не пересекаюш ие самих себя) разомкнутые или замкнутые непрерывные линии. Далее, мы будем считать, часто не оговаривая особо, что рассматриваемые линии гладкие или, более обще, кусочно-гладкие. Напомним, что линия называется гладкой, если она обладает непрерывно изменяющейся касательной линия называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг ). [c.101]

Пусть границы двух неперекрывающихся областей 3 та. З2 имеют общую часть Ь, представляющую собой простую гладкую (или кусочногладкую) дугу или замкнутый контур, и пусть Рх (г), Р2 (2) — функции комплексного переменного г = х 1у, голоморфные ) соответственно [c.102]

Некоторые обозначения и термины. 1. В дальнейшем (если противное не оговорено) под Ь мы будем подразумевать либо простой замкнуг тый гладкий контур на плоскости Охт/, либо простую разомкнутую конечную гладкую дугу на этой плоскости, либо, наконец, совокупность конечного числа раздельно лежащих таких разомкнутых дуг и замкнутых контуров (рис. 30). Мы будем называть Ь простой гладкой линией, часто опуская слова простая и гладкая , которые всегда будут подразумеваться. [c.236]

Мы будем считать теперь, что L состоит из п простых разомкнутых гладких дуг к — 1, 2,. .., и) без общих точек ) эти дуги, как было уже условлено, мы будем обозначать еще через где а , — концы Lf ., обозначенные так, что положительное направление ведет от а к (рис. 48). [c.391]

А. 1.2. Кусочно-квадратичная модель. Следующей степенью усложнения является представление распределения потенциала тремя гладко соединенными параболическими дугами. На основе этой модели уже развита [72] общая теория однопотенциальных линз. Были выведены точные формулы для фундаментальных оптических свойств таких линз на основе геометрических параметров. Было учтено влияние конечной толщины электродов, отклонений от аксиальной симметрии и т.д. Влияние положений точек перегиба распределения потенциала на оптические свойства изучено еще не полностью. Эта модель является важным вкладом в теорию однопотенциальных линз, но следует сознавать, что результаты требуют длительных вычислений (оригинальная статья, описывающая эту модель, занимает 75 страниц) и не обладают достаточной точностью (см. разд. 7.2.3). Мы отдаем предпочтение более простой модели для грубого приближения и более точной для реального конструирования, поэтому эта модель здесь представлена не будет. Интересующихся читателей отсылаем к литературе [36, 72]. [c.430]

Одной из характерных особенностей обсуждаемых осциллограмм является их несимметричная форма. В них явно преобладают импульсы, соответствующие увеличению напряжения и светового потока. Это внушает мысль, что колебания являются результатом наложения часто следующих друг за другом положительных импульсов. В таком случае следовало бы попытаться разрешить их на отдельные импульсы посредством уменьшения тока, перейдя таким путем к более простым условиям опыта> Насколько это предположение оказалось основательным, показывают осциллограммы (рис. 33,6 и в), относящиеся к токам 0,4 и 0,27 а соответственно. С уменьшением тока характер колебаний заметно меняется. При малых токах согласованные колебания напряжения и светового потока, действительно, приобретают форму одиночных или расположенных группами импульсов. Иногда между импульсами появляется нечто в роде гладких площадок. Амплитуда импульсов колеблется приблизительно от 0,01 до 1 в, увеличиваясь в общем с уменьшением тока. Длительность одиночных импульсов с учетом поправки на искажения усилителя составляет не более 10 сек. Чаще всего погасанию дуги предшествует появление группы импульсов с большой амплитудой. При токах, меньших 0,07 а, дуга с фиксированным пятном уже не может существовать даже в течение короткого времени, из чего можно заключить, что пороговое значение тока для этой разновидности дугового разряда лежит где-то окол.а 0,07 а. [c.116]

Обозначим через С простую замкнутую кусочно-гладкую кривую, образованную дугой М1М2 траектории Ь (соответствующей значениям [c.87]

Доказательство. Допустим противное, т. е. что система (I) имеет в кольцеобразной области С две замкнутые траектории и 2-Пусть — область, ограниченная траекториями и 2- Соединим какую-нибудь точку на с какой-нибудь точкой М2 на Ьп простой гладкой дугой I, все точки которой кроме концов М и М2 лежат в 1-Рассмотрим замкнутый контур М1тМ1М2ММ2М1 (рис. 127), состоящий из точек траекторий 2 и дуги I. [c.229]

Пусть С — простая замкнутая кривая, из которой можио выделить простую гладкую дугу I. Это, очевидно, всегда возможно, когда кривая является гладкой или кусочно-гладкой. Однако возможен также и более общий случай, когда кривая С не является ни гладкой, ни кусочно-гладкой и тем не менее из пее можно выделить гладкую дугу (например, когда кривая С состоит из одной гладкой и из одпой негладкой дуги, не являющейся кусочно-гладкой дугой). [c.545]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...