Индекс замкнутой траектории

Ряд приложений теории индекса основан па том, что индекс замкнутой кривой равен сумме индексов состояний равновесия, расположенных внутри этой кривой (теорема 27), и что индекс замкнутой траектории, а также цикла без контакта равен 1 (теоремы 28 и 29). Из этих теорем вытекают некоторые основные условия возможности совместного существования замкнутых траекторий динамической системы и состояний равновесия того или иного типа. [c.205]

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области /С существует по крайней мере одна замкнутая траектория. [c.111]

Существование замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку. В частности, существование неизолированных периодических траекторий или предельных циклов. Заметим, что в силу 2к-периодичности векторного поля системы по а, последняя задача сводится к отысканию замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий лишь вокруг точек покоя индекса 1. [c.220]

Теорема 28. Индекс любой замкнутой траектории динамической системы равен - - 1. [c.215]

Следствие 1. Если L — замкнутая траектория динамической системы, внутренность которой целиком принадлежит области G, то сумма индексов состояний равновесия, лежащих внутри L, равна 1. [c.215]

Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде случаев сделать определенное заключение относительно существования замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы. [c.230]

Т е о р е м а 33. Пусть С — односвязная область, принадлежащая области определения системы (I). Тогда. 1) Если в области С нет состояний равновесия системы, то в ней нет и замкнутых траекторий. 2) Если в области С имеется конечное число состояний равновесия, причем индекс каждого из них, а также сумма индексов любой комбинации их не равна - -1, то в С нет замкнутых траекторий. В частности, если в области имеется только одно состояние равновесия с индексом, отличным от единицы (например, седло), то в С нет замкнутых траекторий. 3) Если в области С имеется конечное число состояний равновесия, причем для каждого состояния равновесия О с положительным индексом существует стремящаяся к О траектория, уходящая на бесконечность или имеющая точки вне С, то в С нет замкнутых траекторий. [c.230]

Сумма индексов особых точек, расположенных внутри замкнутой траектории, равна +1. [c.117]

Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна особая точка, так как индекс такой траектории равен - -1, [c.315]

Индекс Фуллера. Этот индекс определяется для изолированной /-обходной замкнутой траектории L потока. Он равен [c.186]

Поток имеет при 0 0 02 замкнутую траекторию в, причем при 0=01 (О, 0й) от дважды пройденной в (т. е. от в ) ответвляется новая замкнутая траектория которая при 0 = 02 сливается с однажды пройденной в (так что при 0- >02 их минимальные периоды сближаются), после чего обе траектории исчезают. В своей области определения обе они непрерывно зависят от 0 в как траектория с минимальным периодом изолирована и имеет ненулевой индекс при 0<02, а в — при 01<0<02 в некоторой их окрестности других замкнутых траекторий нет [35]. [c.188]

Простейший вариант существует ли на М поток М.—С. без замкнутых траекторий, имеющий ровно гл положений равновесия с индексом Морса i, 0[c.200]

В первую очередь мы изложим общие законы совместного существования состояний равновесия различных типов и замкнутых траекторий, сформулированные Пуанкаре [108]. Для формулировки этих законов необходимо ввести понятие об индексе замкнутой кривой по отношению к векторному полю. Это понятие индекса будет иметь значение и для других целей, в частности для изучения зависимости качественной картины траекторий от параметра. [c.338]

Следствие I. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна особая точка, так как индекс такой траектории по-предыдущему равен - -1, а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен нулю. [c.344]

В силу сказанного выше точки О и О являются состояниями равновесия также и системы (Л ). В силу того, что по предположению система (Л) является грубой, точки О и О должны быть седлами системы (Л ), и у системы (Л должна существовать сепаратриса 1 , идущая из седла О в седло О. Всегда можно взять столь малое е и, чтобы е-окрестность I не содержала кроме О и О больше ни одного состояния равновесия системы (Л) и, следовательно, ни одной замкнутой траектории целиком (см. следствия I и И из теории индексов и 8 гл. V), а также не содержала бы кроме I целиком ни одной сепаратрисы седел О и О системы (Л). При всех достаточно малых а. сепаратриса системы (Л ) будет целиком лежать в этой е-окрестности I. При этом сепаратрисы и могут либо иметь, либо не иметь общих точек. [c.452]

Определите индекс цикла без контакта, т.е. индекс замкнутой к вой, на которой отсутствуют положения равновесия системы (2.1 которую не касается ни одна фазовая траектория. [c.96]

Итак, пусть известна вероятность того, что действие 8 Е) на замкнутом витке периодической траектории (индексы С и О в дальнейшем опускаются) принимает значения в интервале (5, 8+ (18) с плотностью вероятности Р(8 Е). Тогда плотность вероятности того, что собственное значение энергии лежит в интервале (Е, Е + йЕ), равна [c.224]

Чтобы проиллюстрировать связь биллиарда с задачей о геодезических на римановом многообразии, рассмотрим гладкую замкнутую двумерную поверхность в Кз и будем деформировать ее так, чтобы она оставалась гладкой и стремилась к плоской области (ср. с [42, гл. 6]). Тогда геодезические на поверхности будут стремиться к траекториям соответствующего биллиарда. Замкнутая геодезическая на поверхности перейдет в периодическую траекторию биллиарда, имеющую тот же индекс Морса и четное количество звеньев (см. рис. 54). [c.156]

Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седлом, а обязательно будет точкой с индексом -1-1. [c.316]

Перейдем теперь к следствиям, которые вытекают из теории индексов в отношении законов совместного существования замкнутых фазовых траекторий и состояний равновесия различной природы. [c.344]

Следствие 2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка, то это не может быть седло, не может быть также никакая особая точка с индексом, отличным от -[ Следствие 3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся только простые особые точки (для них Д 0), то число таких особых точек всегда нечетное, причем число седел на единицу меньше числа остальных особых точек. [c.344]

Если в системе существует только одна особая точка, причем индекс ее не равен - -1 (например, седло), то в этой системе не может быть замкнутых фазовых траекторий. [c.346]

Если система обладает несколькими особыми точками, сумма индексов любой комбинации которых не равна - -Ь то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий. [c.346]

Если система допускает, например, только простые особые точки, причем через все точки с индексами - -1 проходят интегральные кривые, уходящие в бесконечность, то такая система не допускает замкнутых фазовых траекторий. [c.346]

Если бы на фазовой плоскости имелась замкнутая фазовая траектория, то, согласно теории индексов Пуанкаре, она охватывала бы узел О, что невозможно, так как через него проходят интегральные прямые ь = (1 и а = — ( ь уходящие в бесконечность. По той же причине замкнутых фазовых траекторий не существует и при других значениях параметров системы (через каждый узел, как мы увидим, проходит интегральная прямая = 1 или г. = — /1 следовательно, замкнутая фазовая траектория, если бы она существовала, не могла бы охватывать ни одного из них и иметь индекс Пуанкаре, равный + 1). [c.358]

Индексы, о которых пойдет речь ниже, позволяют сформулировать некоторые общие законы совместного существования положений равновесия различных типов и замкнутых фазовых траекторий. [c.61]

Рассмотрим теперь замкнутую фазовую траекторию, которая, как уже говорилось, служит геометрическим образом периодического движения. Индекс такой замкнутой кривой, являющейся фазовой траекторией, равен +1 (рис. 2.20) направление вектора в каждой точке совпадает с направлением касательной к фазовой траектории. При однократном обходе вдоль траектории вектор поворачивается на угол 2к в положительном направлении. [c.63]

Понятия, о которых пойдет речь, имеют смыс-п н значение для векторных полей более общего типа, чем векторные ио.т1я, определяемые рассматриваемыми нами динамическими системами (т. е. чем непрерывно дифференцируемые векторные поля ). Именно, эти понятия имеют смысл для любых непрерывных полей. Так как при выводе некоторых основных фактов, касающихся динамических систем (индекса замкнутой траектории), в дальнейшем используется рассмотрение непрерывного недифференцируемого поля, то все основные понятия мы введем в предположении, что рассматриваемое поле непрерывно и может не быть дифференцируемым. [c.205]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Морса (М. Morse) определяется для гиперболической периодической траектории (включая положение равновесия) как размерность dim (L). В случае каскада точкам x L приписывается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем обозначать индекс Морса через и, и х), u L). Для положения равновесия потока или периодической траектории каскада индекс равен числу соответствующих собственных значений Л с КеЛ>0 при 1Я >1 для замкнутой траектории потока — увеличенному на 1 числу мультипликаторов Л с Я1>1. Хотя формулировки в терминах Л определяют некоторое число и в негиперболическом случае, оно нам не понадобится. [c.177]

Пусть -ПОТОК- (х,е.. дюле фазовой -скорости - - а-замк утом-многообразии ЛГ непрерывно зависит от -параметра 0,-О<-0<1, причем при 0 = 0 и 0 = 1 изолированы все замкнутые траектории, периоды которых (необязательно минимальные) лежат в отрезке [ , pi, где а>0, Э<оо, и пусть ни при одном 0 поток не имеет замкнутых траекторий с периодами аир. Тогда сумма индексов Фуллера периодических траекторий с периодами т6[а, р1 —одна и та же при 0 = 0 и 0=1.. [c.186]

При этом, если мы хотим, чтобы индекс однообходной замкнутой траектории совпадал с ее индексом Кронекера—Пуанкаре и чтобы было справедливо предыдущее утверждение, то надо определять индекс именно так, как выше. [c.186]

Поток имеет при 0<0о замкнутую траекторию в, которая непрерывно зависит от 0, является изолированной, с ненулевым индексом, даже гиперболической (так что раз оиа существует при каком-то 0, то должна существовать и при близких 0), но длина которой при 0- о неограниченно возрастает. В итоге, при 0->0о эта траектория вместе со своим индексом как бы бесследно исчезает в голубом иебе ,. откуда и название данного явления катастрофа голубого неба. (Вероятно, оно первоначально употреблялось в шутку, но потом укоренилось в качестве стандартного термина. Катастрофа —это просто синоним бифуркации , т. е. качественного изменения, происходящего при прохождении параметра через некое критическое значение, но в данном случае эмоциональный оттенок, связанный с этим словом, в какой-то степени оправдан.) [c.188]

Критические точки f суть периодические точки потока, причем положения равновесия суть невырожденные критические точки с теми же индексами, а критические точки, лежащие на замкнутой траектории Ь, неизбежно вырождены (когда JfбL, то отвечает нулевому собственному значению оператора, задающего квадр атнчную форл у ио это вырождение— минимальное (ранг равен п—1). [c.192]

Если рассматривается поток М.—С., имеющий замкнутые траектории, то единственное изменение состоит в том, что замкнутой траектории Ь соответствует так называемая круглая ручка Н индекса 1=и Ь). Она является расслоением над Ь (т. е. с топологической точки зрения, над окружностью), гомеоморф- [c.196]

При наличии замкнутых траекторий, неравенства (3) — для систем М.—С. они называются неравенствами Морса—Смейла— сохраняются со следующими модификациями под понимается сумма числа положений равновесия индекса i и числа замкнутых траекторий индексов i и i-hl если среди замкнутых траекторий имеются закрученные или обращающие ориентацию, то числа Бетти надо брать иад полем характеристики два. Если же замкнутых траекторий нет, то неравенства (3) и их уточнение (с 6i + < + i i) сохраняются дословно (т< теперь — число периодических точек индекса i). [c.197]

Следующий случай — потоки М.—С. без положений равновесия иа многообразии нулевой эйлеровой характеристики. Естественно спросить, существует ли поток такого рода на М, имеющий ровно г замкнутых траекторий характеризуемых в смысле п. 2.1 заданными (и<, Д<) или (и Д<, б,-). Из относящихся сюда результатов [48] приведу лишь один, наиболее простой и законченный, в котором М=3 . Оказывается, главную роль играют незакрученные т. е. щ, Д<) с Д1=1. Для того чтобы на 5 существовал поток М.—С. без положений равновесия с ровно й н1езакрученными замкнутыми траекториями мор-совского индекса и=/, 1 / 3, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства [c.201]

Если изолированное инвариантное множество А является дизъюнктным объединением изолированных инвариантных множеств Ах и 2, то А(Л)== А(Л1)УЛ(Лг). Для гиперболической иезакрз) енной замкнутой траектории с индексом Морса а > 1 гомотопический индекс равен 2 /2 "Ч Когда же а Ц=1, то гюедставителем А ( ) может служить (5 и Хо), где лго 5 (Это отличается от частного случая предыдущей формулы при й= Ь 2 /2о меет представителя (5- илео, д 1)г где Х1б5Ч) Для гиперболической закрученной замкнутой траектории I с индексом Морса и (который неизбежно >2) [c.215]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Ицдексы особых точек и замкнутых фазовых траекторий -индексы Пуанкаре [c.61]

Сформулируем следствия, которые вытекают из теории индексов дают законы совместного существования замкнутых фазовых траектор и состояний равновесия различных типов. [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...