Гладкая простая замкнутая кривая

Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами [c.536]

Гладкая простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая. Простая замкнутая кривая называется гладкой, если существует параметрическое представление этой кривой ж = ф(/), у = ф (1), в котором функции ф ( ) и ч ) (/) удовлетворяют следующим условиям а) они однозначны, непрерывны при всех /, /о С С Г ( о и Т — некоторые заданные значения), таковы, что ф (%) [c.536]

Всякие две точки на гладкой простой замкнутой кривой С, очевидно, разделяют С на две простые гладкие дуги. В каждой точке кривой С, так же как и в случае гладкой простой дуги, определен касательный вектор. [c.537]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая ), лежащая в области G. Мы будем говорить (так же, как и в случае простой дуги), что кривая С в некоторой своей точке М не имеет контакта, если проходящая через точку М траектория системы (А) не касается кривой С в этой точке, и будем говорить, что кривая С в точке М имеет контакт, если проходящая через точку М траектория в этой точке касается кривой С. [c.42]

Гладкая простая замкнутая кривая С называется циклом без контакта, если а) на С не лежит ни одно состояние равновесия системы б) ни в одной своей точке кривая С не имеет контакта (рис. 20). [c.42]

Очевидно, все точки траектории Ь могут быть получены при изменении I в уравнениях (17) от до -Ь 9о + 0о)> где io — любое фиксированное число. Так как по самому определению 6о есть наименьшее число, при котором выполняются равенства (22), то всяким двум значениям I и 1", о + 6о> заведомо соответствуют различные точки траектории Ь. Это и означает (ср. дополнение, 5), что траектория Ь является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана. [c.30]

Пусть теперь О — изолированное состояние равновесия и С — простая замкнутая кривая (гладкая или негладкая), содержащая состояние равновесия О внутри и такая, что внутри С и на С кроме О больше нет ни одного состояния равновесия. [c.263]

Рассмотрим простую замкнутую кривую С, гладкую или негладкую, содержаш,ую точку О внутри и такую, что у всех полутраекторий (1) есть точки, обш,ие с кривой С. [c.317]

Пусть С — простая замкнутая кривая (гладкая или негладкая), отличная от кривой С, содержащая так же, как и кривая С, точку О внутри и такая, что у всех полутраекторий Ь ь есть точки, лежащие вне ее. Будем обозначать через М последнюю общую с кривой С точку полутраектории V (рис. 192). [c.317]

Условие а) означает, что множество точек М (ф (/), ч ) (0) есть простая замкнутая кривая, условие б) есть условие гладкости. Условия а) и б) выполняются, в частности, в том случае, когда Ф (/), 11) (/) — периодические функции с периодом т (т = = Т — /о), имеющие непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. Из условия б), как и в случае простой гладкой дуги, следует, что при всех t, 1 Т, ф (О + (О > -Ад, где Л о — некоторая положительная величина. [c.537]

Простая гладкая замкнутая кривая называется простой замкнутой кривой класса С, /с >- 1 (аналитического класса), в случае, когда функции Ф (0. Ф ( ) принадлежат Ск (являются аналитическими) и, кроме того, для производных от этих функций выполняются равенства [c.537]

Предположим теперь, что рассматриваемая простая замкнутая кривая является кусочно-гладкой. Пусть и 1 — две простые гладкие дуги, входящие в состав кривой [c.545]

На поверхности Г имеется система канонических разрезов, т. е. система простых гладких ориентированных замкнутых кривых а ,. .., а , р ,. .Р ( = (Г)) таких, что пересекаются только ау с Ру (1 < / < ), причем пересечение—только в одной точке, в которой репер из касательных векторов к ау и Ру определяет ориентацию Г. В пространстве всех д. п. р. на Г существует единственный базис 0)1,. .., (0 такой, что [c.343]

Биллиарды в областях с (гладкой) выпуклой границей. Пусть Q — область на плоскости, ограниченная гладкой выпуклой замкнутой кривой T = dQ. В простейшем случае Г — окружность. Ясно, что каждое звено ломаной, отвечающей произвольной траектории в конфигурационном пространстве биллиарда в окружности, касается некоторой концентрической с Г [c.177]

Впервые определение грубости динамической системы на плоскости было дано при некотором дополнительном предположении относительно множества рассматриваемых динамических систем. Именно, дополнительно предполагалось, что граница области, в которой рассматривается система, является циклом без контакта для траекторий этой системы, т.е. простой гладкой замкнутой кривой, не имеющей контактов (не касающейся траекторий системы). Очевидно, тогда кривая является циклом без контакта также и для траекторий всякой системы, достаточно близкой к рассматриваемой. Хотя это [c.143]

Индекс как криволинейный интеграл. В случае, когда С является простой гладкой замкнутой кривой и на ней не лежит ни одной особой точки системы (I), индекс кривой С можно представить в виде криволинейного интеграла. [c.216]

Тогда решение (3) определено при всех значениях t (т. в. i = —оо, Г = +оо), функции ф(0 и i])(i) являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория — простой гладкой замкнутой кривой. [c.16]

Напомним, что гладким циклом однократного пересечения называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. 2 гл. 2) [c.106]

Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области С, а М — какая-нибудь ее точка. Мы будем говорить так же, как и в случае простой гладкой дуги I, что кривая С в точке М имеет или не имеет контакта (с траекториями системы (1)) в соответствии с тем, касается ли кривая С в этой точке траекторни системы (I) или нет. [c.95]

Гладкая простая замкнутая кривая С называется циклом без контакта дииамическо) системы (1), если а) на кривой С не лежит пи одного состояния равновесия б) ни в одно11 свое точке кривая С не имеет контакта. Если цикл без контакта С задай параметрическим уравнением [c.95]

Цикл однократного пересечения. В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения для траекторий системы (I), если а) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия б) у всякой траектории, при = о проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответствующие достаточно близким к 0 значениям > о (< < о), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к i значениям I <С 1о ( > <о)> вне цикла С. В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки соприко- [c.97]

Теорема 24 (Пуанкаре). Индекс гладкой простой замкнутой кривой по отноигению к полю своих касательных равен + 1. [c.212]

В силу условия 3) (см. выще) каждая достаточно малая дуга окружиости С , содержащая точку Р , является дугой без контакта. Отсюда и из 3, замечание 3 к лемме 8, вытекает, что в качестве Я. можно взять дугу без контакта, касающуюся в точках Р и Ра окружности Сд. Мы будем считать, что это условие выполняется. Тогда кривая Г, состоящая из дуги без контакта %, н дуги Р2ЛР1 окружиости Сд (рис. 349), является гладкой простой замкнутой кривой. Построим па ней непрерывное [c.562]

В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках ) она имеет точки сокрикосновения четно-г о порядка с траекториями, и во всех других точках не имеет контакта. Очевидно, если цикл однократного пересечения является гладким и [c.43]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Очевидно, кривая С является простой замкнутое кривой, проходящей через точку М , лежит целиком в области Г и имеет с каждо11 траекторией, из области Г, в точности одну общую точку. Из свойств функций ф, ф, /, g следует, что С является гладкой кривой во всех своих точках, за исключением, вообще говоря, точк1Г Так как кривая I = X (х) ни в одной своей точке не касается прямых 5 = соп 1, то в силу свойств регулярного отображения (см. дополнение, 6) кривая С ни в одной своей точке, отличной от М2, не касается траекторий. [c.101]

Пусть С — простая замкнутая кривая, из которой можио выделить простую гладкую дугу I. Это, очевидно, всегда возможно, когда кривая является гладкой или кусочно-гладкой. Однако возможен также и более общий случай, когда кривая С не является ни гладкой, ни кусочно-гладкой и тем не менее из пее можно выделить гладкую дугу (например, когда кривая С состоит из одной гладкой и из одпой негладкой дуги, не являющейся кусочно-гладкой дугой). [c.545]

Простой замкнутой кривой называется кривая, которая является то пологическим образом окружности. Она является гладкой, если в каждой ее точке существует касательная. [c.42]

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть обобщенный цикл без контакта или цикл однократного пересечения . Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения ддя траектории системы (А), если а) на кривой С не лежит ни одно состояние равновесия б) у всякой траектории, при i = I0 проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответстующпе достаточно близким к to значениям t> to(t < to), лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к t значениям i < io(i > io),—вне цикла С. [c.43]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Тогда региение (17) определено при всех значениях t [т. е. т =—со У = - - оо), функции ф (i) и (t) являются периодическшш функциями I, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой. Доказательство. Пусть [c.28]

Обозначим через С простую замкнутую кусочно-гладкую кривую, образованную дугой М1М2 траектории Ь (соответствующей значениям [c.87]

Скольким образующим эквивалентна данная кривая (т. е. "Чему равен индекс соответствующего пути в функциональном пространстве), можно вычислить следующим образом. Рассмотрим,- для простоты, случай замкнутых кривых, Построим функцию Ф ( , х), отрицательную на бесконечности и имеющук) простой нуль вдоль кривой (предполагаемой гладкой и, конечно, не имеющей параллельных оси х касательных перегиба). Образуем дубль — замкнутую компактную поверхность г =ф(i, х) в К . [c.224]

Определение 2.8. Назовем гладким циклом однократного тресеч ния простую гладкую замкнутую кривую С со следующими свойств [c.74]

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно—если область течения О имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на V могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области О величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке пусть область О ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и Уь которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция / аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание О (так называется область вместе с ее границей) мы покажем, что в этих условиях [c.78]

Теперь с помощью последнего равенства мы покажем, что tp p) W (p) для плотного множества значений t из окрестности 0. Для этого выберем два вектора v е Е (р) и го Е (р) таким образом, что d9(v, w) ф 0 это возможно, потому что в — невырожденная форма. Далее, рассмотрим короткие кривые с [О, е]— Жо (р) и % [0> Жос(Р)> являющиеся отрезками геодезических в этих подмногооо разиях. Для достаточно малого е найдется точка Z ( (е)) П Жос(с (е))- Выберем так, что z = е (с (е))- Существуют гладкие кривые 7 с И ос(с (е)) и 7, С (с (е)), идущие в Z и z соответственно. Так как сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения непрерывны в 7 -топологии, эти кривые можно считать почти параллельными с и с соответственно. Например, можно параллельно перенести касательные векторы к вдоль геодезических в соответствующие точки 7 и гарантировать, что получившееся векторное поле вдоль 7 настолько близко к касательному векторному полю, насколько нам нужно, при условии, что е достаточно мало. Заметим также, что с точностью до произвольно малого гладкого возмущения можно считать точку z периодической. Перенос кривых и 7 под действием потока представляет собой четырехзвенную ломаную, соединяющую точку р с точкой р р) кривыми из сильно устойчивого и неустойчивого слоев. Добавляя маленький отрезок орбиты р, мы, таким образом, получаем замкнутую кусочно гладкую кривую с. Она проектируется в простую кривую в трансверсали Т, так что эту кривую можно рассматривать как границу поверхности А, инъективно проектирующейся на поверхность тг(А) в Т. Теперь заметим, что с точностью до умножения в на постоянный множитель по теореме Стокса мы имеем [c.578]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...