Случай равных собственных частот

Случай равных собственных частот [c.436]

Общее исследование главных колебаний в 147 было проведено в предположении, что собственные частоты и 2 не равны между собой. Выведенные в этом параграфе соотношения перестают быть справедливыми в случае Х1 = Х2. Рассмотрим теперь особо случай равных собственных частот. [c.436]

СЛУЧАЙ РАВНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 437 [c.437]

Резонансная частота, = щ (рис. 7.17). В случае резонанса смещение может быть очень велико. Так как в различных приложениях мы очень часто используем резонансное значение смещения, мы рассмотрим этот случай более подробно. При < ) = соо вынуждающая частота равна собственной частоте системы в отсутствие трения. При этом мы получаем [c.228]

В заключение рассмотрим более подробно явление, называемое резонансом, т. е. случай вынужденных колебаний, когда частота возмущающей силы р равна собственной частоте к свободных колебаний точки М. [c.138]

В случае изотропной опоры требуется удвоенное демпфирование по сравнению с анизотропным случаем, поскольку равные собственные частоты опоры в продольном и поперечном направлениях допускают круговое движение втулки, которое в наибольшей степени усиливает круговое движение центра масс винта из-за качания лопастей. Опора считается изотропной, если разность частот о и (Ну имеет величину порядка т. е. очень мала. На практике изотропный случай не встречается, если только фюзеляж вертолета не является осесимметричной конструкцией. [c.626]

Случай 1. Частота возмуш,ающей силы равна собственной частоте колебаний. Положив o= oi в выражении (39), получим [c.114]

При гармоническом возмущении в линейных системах с одной степенью свободы имеется только один резонанс, для которого частота возмущения приближенно или точно равна собственной частоте осциллятора. В нелинейных системах, наоборот, возможны многочисленные другие типы резонанса. Покажем это на примере недемпфированного осциллятора, причем возьмем довольно общий случай, когда возмущающая функция состоит из двух гармоник [c.245]

Частота возмущающей силы р, равная 14 Мсек, совпадает с частотой собственных колебаний ft = 14 Мсек. Следовательно, имеем случай резонанса. Собственные колебания [c.417]

Решение задачи начнем с определения собственных частот соответствующей консервативной системы. Для этого положим р равным нулю. Запишем для этого случая уравнение (11.1.11) и граничное условие (11.1.12) [c.348]

В связи с нулевыми собственными частотами можно сделать следующее общее замечание. Из равенства (10.19) видно, что нулевое значение со может иметь место только в том случае, когда потенциальная энергия не является определенно положительной (т. е. когда она может обращаться в нуль, даже если не все T]i равны нулю). Именно такой случай и имеет место в рассматриваемой системе, так как функция (10.46) обращается в нуль при т]1 = Т12 = т)з (равномерное поступательное движение молекулы). Следовательно, энергия V не является здесь определенно положительной. [c.365]

Определите главные колебания двойного маятника, изображенного на рис. 5, считая длины его нитей равными, а массы различными. Покажите, что если нижняя масса мала по сравнению с верхней, то собственные частоты этой системы почти одинаковы. Рассмотрите случай, когда этот маятник приводится в движение посредством небольшого отклонения верхней массы от вертикали. Покажите, что в дальнейшем амплитуда каждой из его масс будет периодически уменьшаться до нуля, а амплитуда другой будет достигать при этом максимума ( биение ). [c.374]

Если 02=00 TO этот случай будет аналогичен i 2 = 0, и собственная частота колебаний равна [c.265]

На рис. 6.33 показана зависимость относительных динамических собственных частот некоторого лопаточного венца от относительной угловой частоты вращения. Здесь нанесены лишь кривые, соответствующие /п, равным 2, 3, 4, б и 12, а также для случая жесткого диска. [c.115]

Как отмечалось при анализе дисперсионных соотношений для слоя можно указать ряд собственных частот для определенных раз-M6f)0B прямоугольника — моды Ламе. Эти моды связаны с рассмотренным ранее случаем чистой SV-волны в слое, когда смещения частиц описываются выражениями (6.4) главы 4. Поскольку в данных модах касательные напряжения тождественно равны нулю во всем объеме, то оказывается возможным удовлетворять условия для нормальных напряжений на свободных торцах. Наложение бегущих навстречу друг другу волн (6.4) главы 4 образует систему стоячих волн в прямоугольнике. Вектор смещений имеет компоненты [c.177]

Взаимодействие света с веществом можно представить следующим образом. Сталкиваясь с микросистемой, квант света возбуждает ее атомы и молекулы. Наиболее сильное взаимодействие происходит тогда, когда частота колебаний кванта света совпадает с одним из значений собственной частоты колебаний электронов микросистемы. В этом случае атомы и молекулы, находясь в возбужденном состоянии, могут стать вторичными излучателями квантов. При взаимодействии микросистемы и света происходит обмен энергией, при котором рождаются одни и исчезают другие кванты света. По закону о сохранении энергии сумма энергий квантов и микросистемы до столкновения должна быть равна такой же сумме энергий после него. Как было показано Эйнштейном, в соответствии с этим законом могут иметь место три случая взаимодействия кванта света с веществом [c.23]

Примечание. 1, Значения критических нагрузок даны в работах [9, 16]. 2. Собственные частоты осесимметричной формы колебаний (л=0) приведены в работе [9]. 3. В работе [9] частотный параметр для случая СС при а/6 = 0,9, ге = 0, а = 0,7 необходимо брать разным 769,3 в работе [И[ частотный параметр для случая F при а/Ь—0,5, п=2, а=0 необходимо брать равным 4,833. [c.49]

Чтобы получить первое приближение, положим п = р = =гз S = =51, тогда числовые значения используемых при вычислениях величин будут равны 5 = —С = 2,035936, —S = = С = 0,03593599, /(=—0,2704873, G = О, 1=4,730041, =—1,017809. На рис. 1 показана зависимость безразмерной частоты p yha /gD от безразмерного радиуса г. Погрешность расчета по абсолютной величине такая же, как и для случая сплошной пластинки, и не превышает 1 %. Наибольшее изменение собственной частоты колебаний происходит по мере приближения величины ( (—а/6) к единице, т. е. для квадратной пластинки, и при значении г = 0,2 частота колебаний увеличивается на 62 %. [c.91]

С прерыванием т раз в секунду—совсем другое явление, нежели возбуждение резонатора с собственной частотой т. По крайней мере для случая бесконечно малых колебаний точка зрения Юнга противоречит любой механической теории слуха. С другой стороны, как мы видели, конечная амплитуда и несимметричная система дают при воздействии силы типа, показанного на рис. 10, также и колебания с частотой, равной частоте биений. Поэтому с практической точки зрения различие между обеими теориями можно было бы считать почти только словесным, если бы не то обстоятельство, что теория Юнга не может объяснить никакие комбинационные тоны, кроме первого разностного тона. [c.368]

На фиг. 4 представлены три векторные диаграммы для случая возбуждения частотой, меньшей, равной и большей собственной частоты комплекса. Вектор й дает мгновенное направление скорости. Вектор ОА изображает возбуждающую силу Р, АВ — силу упругости, опережающую скорость на 90°, С—силу инерции, отстающую от скорости на 90°, и [c.487]

Рассмотрим случай, когда деталь закреплена в шпиндель станка, вылет детали из шпинделя отсутствует и колебания подаются на инструмент. В этом случае изменение собственной частоты акустической системы и связанные с этим изменение.м нестабильности амплитуды колебаний в зоне резания зависят от технологического процесса. Увеличение технологических нагрузок приводит к большим расстройкам системы (система больше расстраивается при сверлении и меньше —при развертывании). Увеличение коэффициента усиления системы приводит также к большим расстройкам системы при прочих равных условиях. Это можно объяснить увеличением плотности нагрузки инструмента на деталь. Но основной причиной, очевидно, является степень отражения волны от зоны резания. Обрабатываемую деталь при таком способе крепления к станку следует рассматривать как единую массу со станком. Тогда при идеальном акустическом контакте инструмента с деталью получается система с коэффициентом усиления меньшим единицы и тем меньшим, чем больше приведенная площадь системы деталь — зажимное устройство в зоне резания. Уменьшение коэффициента усиления перехода инструмент—деталь приводит к уменьшению амплитуды колебаний в зоне резания [c.425]

Допущение, что к = О, приводит к несколько более высокому значению собственной частоты по сравнению со случаем, когда к не равно нулю, однако было найдено, что в этом случае член к к кА Ь — к примерно равен 0,0007. Поэтому принятое выше допущение относительно 2 является справедливым. [c.329]

Окрестность положения равновесия (периодический случай). Здесь снова предполагается устойчивость в линейном приближении, так что определены п собственных частот со ,. . ., со . Предполагается, что между собственными частотами и частотой изменения коэффициентов (которую мы будем считать равной единице) нет резонансных соотношений [c.378]

Рассмотрим теперь случай слабо связанных маятников, когда 2сЛ < mgl и, следовательно, собственную частоту <0г можно приближенно принять равной [c.245]

Избирательность и разрешающая сила колебательного контура. Способность приемника выделять передачу одной станции, способность электронно-лучевого спектроскопа разрешать отдельные линии спектра определяются главным образом свойствами входящих в их состав колебательных контуров. Поэтому мы будем говорить об избирательности и разрешающей силе колебательного контура. Для того чтобы дать целесообразное определение этих величин, рассмотрим случай, когда на контур действует сумма двух синусоидальных э. д. с. равной амплитуды и различной частоты, причем одна из частот совпадает с собственной частотой контура. При этом, так как речь будет идти лишь об относительной интенсивности колебаний, создаваемых каждой из слагаемых э. д. с., мы примем их амплитуды равными единице. Итак, пусть на контур действует внешняя э. д. с. [c.519]

Заметим, что данные табл. 4 для е = О получены на основе использования формулы (4 16), справедливой для случая отсутствия щелей между брусьями Как видно из этой таблицы, на частотах, ниже первой собственной частоты пластины в вакууме, увеличение размеров щелей между брусьями при прочих равных параметрах приводит к увеличению прозрачности решетки. Однако в окрестности первой собствен- [c.162]

Рассмотрим подробнее частный случай m = 1. Возьмем простейшую модель сотрясения, согласно которой а t) есть отрезок реализации стационарного нормального случайного процесса с математическим ожиданием, равным нулю. Обозначим дисперсию этого процесса о1, спектральную плотность (со). Пусть собственный период системы, преобладающий период сотрясения, а также характерное время корреляции процесса а (t) достаточно малы по сравнению с продолжительностью интенсивной фазы сотрясения. Пусть также демпфирование достаточно мало, так что <С 1. Тогда можно принять а (t) й (t) — oow (t). Условный риск (6.94) выразим через математическое ожидание числа выбросов стационарного нормального процесса в единицу времени из полосы шириной Учитывая, что эффективная частота процесса и (t) приближенно равна собственной частоте соо, получим формулу типа (6.46) [c.255]

Рис. 7.12. Возбуждение пьезопластины цугом переменного напряжения прн коэффициентах затухания 1,75 н 525, частота возбуждения равна собственной частоте а — цуг переменного напряжения и одновременно. график колебания безынерционное пластины б — вы-равииваАзщее колебание фактической пластины для 6=1,75 в — график колебаний фактической пластины i yHMa кривых а и 5) г — выравнивающее колебание для случая о—525 3 —колебание плас-хнны, сумма кривых а ш е

Случай малой диссипации. Назовем диссипацию маюй, если элементы матрицы (А В) достаточно малы по сравнению с элементами матрицы А С, собственные значения которой равны квадратам собственных частот консервативной системы. Сравнивая матрицы по некоторой норме, представим условие малости диссипации в виде [c.94]

Периодичность совпадения определяется величиной отношения /1//2 рис. 3.2 соответствует случаю, когда оно равно 6 5. При произвольных /1, /2 точных совпадений может и не быть при неточных совпадениях Qi l(2nli) и Я2с1(212) собственная частота резонатора в целом принимает некое промежуточное значение, потери растут с величиной рассогласования. [c.136]

Таким образом, уже эти обстоятельства позволяют усмотреть аналогии между электрическими и акустическими системами и продолжить их для колебательных систем. Более того, их можно распространить на случай любой колебательной систелты, включая механическую, и говорить об электро-механико-акустических аналогиях. Мы будем употреблять выражения электроакустические или электромеханические аналогии, имея в виду пока все три колебательные системы акустическую, механическую и электрическую. При этом под акустической системой будем понимать колеблющукх я пластину (хотя в общем случае это может быть любая система, характеризующаяся собственными колебаниями), под механической — массу на пружине, под электрической — колебательный контур. Последние две системы в идеале можно представлять как системы с сосредоточенными постоянными, т. е. каждая характеристика системы сосредоточена в своем элементе, например жесткость (упру/гость) — в пружине, масса — в материальной точке, емкость — в конденсаторе, и т. д. Акустическая же колебательная система является системой с распределенными постоянными в ней нельзя одному элементу приписать, скажем, массу, а другому — упругость, все эти характеристики распределены по объему системы Од нако любая колебательная система характеризуется набором нормальных колебаний. В системе из N материальных точек число нормальных колебаний равно 3N, например в кристалле Л равно полному числу атомов (узлов) решетки. Одной материальной точке соответствует одно нормальное колебание. Это нормальное колебание мы будем сопоставлять с одним из нормальных колебаний пластинки на одной из ее собственных частот, скажем, на основной частоте. [c.184]

Отдельно должен быть рассмотрен случай, когда диэлектрическое тело имеет внутреннюю полость, ограниченную поверхностью S, и одна из собственных частот этой полости, соответствующая граничному условию [/ s = 0, совпадает с к. Тогда, если источник и точка наблюдения расположены внутри полости, то [/(а) -> оо при а ->оо. Скорость роста функции t/( r) при а — оо зависит от поведения е в окрестности поверхности S. Максимальная скорость роста, равная а Ч имеет место, если граница S характеризуется скачком диэлектрической проницаемости. Для тела с е = onst этот закон возрастания можно понять следующим образом. Полагая в (5.50) величину а мнимым числом с Im а < О, мы заменяем диэлектрик металлом с проводимостью, пропорциональной а . Известно, что добротность закрытого резонатора пропорциональна корню квадратному из проводимости стенок. При этом для [/(I) справедливо более сложное, чем (5.52) или (5.53), представление [c.57]

Если часгота 0 возбуждающей нагрузки приближается к одной из собственных частот а>т, то амплитуда соответствующей формы колебаний неограниченно возрастает (явление резонанса). Исключением является случай дт — О (нагрузка ортогональна некоторой форме колебаний, работа внешней нагрузки на этой форме колебаний равна нулю). В этом случае нужна осторожность, так как малое видоизменение внешней нагрузки нарушает ортогональность. Для отыскания ограниченного решения в резонансной области следует учесть диссипацию энергии вследствие внешнего и (или) внутреннего трения. При малом трении может оказаться необходимым применить нелинейную теорию. [c.390]

На рис. 4 приведен график зависимости ///о от Q, из которого видно, что при С=0,5 собственная частота колебаний системы становится равной нулю, система теряет свои колебательные свойства и становится апериодической. Затем по мере возрастания Q величина [/[о быстро растет и уже при значениях Q>2 незначительно отличается от единицы. Лишь при значениях С<1, например для С=0,6, что соответствует малореальному случаю одностороннего излучения кварцевой пластины в ртуть, собственная частота колебаний пьезопреобразователя уменьшается почти вдвое. Следовательно, в практике для условий работы искательных головок со значениями добротности выше четырех изменением собственной частоты колебаний преобразователя вследствие изменения добротности можно пренебречь. [c.186]

Для этого необходимо было исследовать собственные частоты рамных конструкций. После того как впервые Гейгером были опубликованы формулы для собственных частот поперечных рам фундаментов, расчеты подобных рам были выполнены Элерсом и распространены также на случай стержней переменного сечения. Одновременно ряд статей и книга по общим вопросам колебаний стержневых систем были опубликованы Прагером. Автором настоящей книги были проведены исследования по выяснению сил, действующих на фундамент, с тем чтобы более точно установить расчетные нагрузки им было предложено рассматривать момент короткого замыкания как внезапно прикладываемую нагрузку, вводя в расчет соответственно его двойную величину. Далее было предложено величину центробежной силы считать равной утроенному весу вращающихся частей и статическую силу, эквивалентную ей, получать умножением этой величины на динамический коэффициент (зависящий от частоты) и на коэффициент усталости 2. Автором впервые было отмечено, что при определении частот собственных колебаний рам фундаментов, имеющих относительно короткие элементы со значительными размерами поперечных сечений, нельзя ограничиваться Зачетом только изгибных деформаций, а необходимо учитывать также сжатие колонн, так как при этом значения частот уменьшаются, как правило, на 20—30%- [c.233]

Эквивалентная жесткость силы Бернулли суммируется с жесткостью пружины электромеханического преобразователя, способствуя при этом увеличению собственной частоты золотника, если расход жидкости через золотник совпадает по фазе с перемеи ением золотника. Если это не так (а эти две величины обычно не совпадают точно по фазе), то возникает возможность неустойчивости золотника (такой случай рассматривается в разд. 7.5). Жесткость силы Бернулли равна Кв — 0,5P w и имеет максимум в условиях наибольшей скорости холостого хода гидромотора, равной Кв = 270 кГ/см. Так как эта сила приложена к ротору на расстоянии 1,9 см от оси вращения, то ее эквивалентная жесткость на скручивание равна Кв = =450 кГ-см1рад, что вдвое больше жесткости механической пружины. [c.218]

Для того чтобы произошла диффузия, атом должен преодолеть потенциальный энергетический барьер, созданный его соседями. Рассмотрим диффузию примесных атомов по междо-узельным положениям полученные результаты будут применимы и для случая диффузии вакансий. Если высота потенциального барьера равна Е, то атом будет иметь достаточную тепловую энергию для того, чтобы преодолеть барьер, лишь в какую-то часть периода, пропорциональную ехр(—Е1квТ). Квантовое туннелирование через потенциальный барьер обычно существенно для самых легких ядер, так как для данной энергии длина волны де-Бройля увеличивается с уменьшением массы частицы. Если V — собственная частота колебаний атома в герцах, то для вероятности р того, что в течение секунды атом будет обладать тепловой энергией, достаточно большой для того, чтобы преодолеть потенциальный барьер, приближенно можно написать [c.666]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...