Производные и бесконечные степенные ряды

Производные и бесконечные степенные ряды [c.52]

Такое решение задачи, в котором используются только две гипергеометрические функции, вычисляемые при помощи суммирования четырех бесконечных рядов в пределах изменения р О < р < 0,5, было получено А. Д. Коваленко [15], [17]. Оно является наиболее удобным для практического использования из всех известных к настоящему времени решений-этой задачи. Так, например, в решение Бишопа [61 ] включены четыре гипергеометрические функции и четыре производные от них. Вычисление их потребовало суммирования восьми бесконечных степенных рядов, в пределах изме-. нения р О < р < 1, большинство из которых сходятся медленно. [c.124]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

При аппроксимации численных данных гладкими кубическими сплайновыми кривыми все их производные выше 3-го порядка внутри сплайновых интервалов будут равны нулю. Трудность состоит в том, что 3-я производная не является непрерывной, следовательно, 4-я производная становится бесконечной на границах интервалов и последующие производные более высоких порядков могут быть представлены как производные ряда дельта-функций. Строго говоря, степенной ряд уравнения (3.20) неприменим для осевых функций, имеющих нарушения непрерывности производных высших порядков, потому что результирующая функция потенциала не будет непрерывной на границах интервалов. [c.534]

Обыкновенные уравнения, получающиеся при разложении в степенной ряд уравнений в частных производных (14.9) или (14.59), описывают изменение во времени локальных характеристик изотропной турбулентности, относящихся к фиксированной точке потока. Такие уравнения можно проверять с помощью приборов, регистрирующих пульсации тех или иных гидродинамических полей в одной точке. Эквивалентные уравнения можно также получить, помножив все члены спектральных уравнений (14.14) или (14.62) на соответствующую степень к и проинтегрировав затем по всем значениям к (в частности, уравнение (15.2) эквивалентно (14.19), а (15.10) эквивалентно (14.65)). Если, однако, мы разложим все слагаемые уравнения (14.14) или (14.62) в ряд Тэйлора по Л и приравняем соответствующие коэффициенты справа и слева, то получим уравнения, имеющие совсем другой характер. Эти новые уравнения будут связывать величины, характеризующие поведение спектральных плотностей вблизи точки к = 0, т. е. определяющие асимптотическое поведение наиболее длинноволновых компонент гидродинамических полей такие величины будут интегральными характеристиками турбулентности, зависящими от значений корреляционных функций при всех значениях г от нуля до бесконечности. Естественно, что соответствующие соотношения нельзя проверить на материале измерений за решеткой [c.131]

Как при определении погрешности формообразования Ьд, так и при расчете величины критической подачи 8в, обычно приходится оперировать с неявно заданными аналитическими функциями вида Д(х, у) = 0 и И х,у) = 0. Это усложняет вычисление величин Ьд и 8д. Для упрощения вычислений непрерывные функции вида Д(х, у)=0 и у)=0, имеющие при х = хд все необходимые частные производные, можно представить в виде бесконечной суммы членов степенного ряда Тэйлора [c.535]

Теорема существования и единственности решения задачи Трикоми рассматривалась К. И. Бабенко [93] для уравнения Трикоми ему удалось снять обычно накладываемое ограничение на форму контура в дозвуковой части вблизи звуковой линии (это условие требует по меньшей мере ортогональности контура звуковой линии). При этом решение обладает свойством, что его производные могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 (т.е. фи,Фу = 0 и + где > 0). Покажем, что это решение (точнее говоря, решение сформулированной выше задачи об угловой точки в струе) не может быть представлено в виде асимптотического ряда по решениям уравнения Трикоми (10) со степенными особенностями на звуковой линии. [c.216]

В уравнениях (7) и (13) характеристический функционал фигурирует только в виде логарифмической производной. Это является одним из существенных преимуществ уравнений (7) и (13) перед уравнениями (5) и (И). Действительно, из определения (1) следует, что Ф 1, поскольку усредняется равная по модулю единице величина. Позтому разложение Ф в ряд по степеням V всегда должно содержать бесконечное число членов, так как полином конечной степени всегда неограничен при и оо. В то же время условие ограниченности не накладывается на 1пФ. [c.467]

Построение класса решений волнового уравнения в приповерхностном слое в виде бесконечного ряда по обратным степеням частоты родственно построениям теории пограничного слоя (см. М. И. В и ш и к и Л. А. Л ю с т е р н и к [1]), однако другой знак малого параметра при старшей производной приводит к появлению функции Эйри и совершенно иным выкладкам. [c.441]

Степень сходимости разложения а зависит вообще от непрерывности функции и ее производных. Ряды, полученные последовательным дифференцированием (1), сходятся все менее и менее быстро, но все еще остаются сходящимися и представляют арифметически производные от а, до тех пор пока эти последние являются повсюду конечными. Таким образом (Томсон и Тэт, 77), если ни одна производная до те-й включительно не обращается нигде в бесконечность, то ряд для и сходится быстрее, чем ряд с коэффициентами [c.46]

Обращение некоторых вторых частных производных в критической точке в бесконечность ограничивает возможность представления термодинамических функций в виде рядов по степеням разности двух параметров в критической и рассматриваемой точкйх, вследствие чего такое представление может иметь силу только для некоторых, но не всех функций. Далее существенным является выбор независимых параметров (одного или двух в зависимости от того, рассматриваются ли свойства вещества только на кривой фазового равновесия или также и в окрестностях ее), по которым [c.242]

Уравнение (5-26), впервые полученное В. Кеезомом в 1924 г., для фазового перехода в сверхпроводнике аналогично уравнению Клапейрона—Клаузиуса для обычных систем. Температура (при Як = 0) играет в некоторой степени ту же роль, что и критическая температура системы жидкость—пар (обращение в нуль теплоты перехода, скачка энтропии и т.- д.). Однако в критической точке системы жидкость — пар переход не является фазовым переходом второго рода (по классификации Эренфеста). В частности, следует отметить, что в критической точке ряд вторых производных от термодинамического потенциала, таких, как теплоемкость Ср, величины (dv/dT)p, (dvldp)T и др., обращается в бесконечность. [c.123]

Если сделать дополнительное допущение о существовании индивидуальных производных любого порядка по времени от вектора скорости и вектора вихря скорости и о разложимости этих векторов в сходящиеся бесконечные ряды, расположенные по степеням времени, то, пользуясь уравнением динамической возможности движения, можно доказать, что при тех же условиях идеальности жидкости или газа, баро-тропности движения и консервативности поля объемных сил будет справедлива следующая теорема Лагранжа Если в некоторый момет времени частица жидкости не вращается (й == 0), га и в любой последующий момент она не будет вращаться, и, наоборот, если в один какой-нибудь момент частица вращалась, то она не сможет перестать вращаться. [c.115]

В выражениях (2) через а обозначена частная производная д1дх V — коэффициент Пуассона материала полосы. Чтобы от символической формы записи перемещений и напряжений перейти к их действительному представлению в форме бесконечных рядов, необходимо в соотношениях (2) разложить тригонометрические функции в ряды по степеням ау, заменить а через д дх и выполнить операции дифференцирования над соответствующими начальными функциями согласно общим формулам (1). [c.138]

Эго и есть искомое разложение элементарного перемещения Аг в бесконечный ряд по степеням малой величины А1. Здесь выписаны три первых члена этого разложения в дальнейшие члепы ряда входят векторы, проекции которых на оси х, у, г равны четвертым, пятым и т. д. производным от координат X, у, г по времени. Все эти векторы получают название ускорений третьего, четвертого и т. д. порядков. [c.200]

Форма решения (3.4), имеющая вид произведения экспоненты на функцию Эйри, аргументами которых являются бесконечные ряды по степеням (о 7з, и основные вычисления первых четырех параграфов главы взяты из статьи В. С. Булдырева [4]. В асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений прообраз рядов (3.4) был предложен Черри [1]. Наряду с асимптотикой в форме Черри известна асимптотика в форме О л-в е р а [1] (сумма двух асимптотических рядов, из которых один умножен на функцию Эури, а другой — на ее производную). Форма Олвера позволила Р. Льюису и др. [1] получить интересные асимптотические разложения, из которых можно как частный случай вывести некоторые формулы 5 гл. 6. Построения этой работы во многом аналогичны построениям главы 2. Другие применения методики Олвера можно найти в работах И. В. Мухиной и И. А. Молоткова [1] и Н. Я. Кирпичниковой [1], посвященных теории упругих поверхностных волн [c.442]

Однако обращение некоторых частных производных в критической точке в бесконечность, а также неоднозначность отдельных частных производных ограничивают возможность представления термодинамических функций в виде рядов по степеням разйости двух параметров в критической и рассматриваемой точках, вследствие чего такой подход оправдывается только для некоторых, но не для всех функций. Далее, существенным является выбор независимых параметров (одного или двух в зависимости от того, рассматриваются ли свойства вещества только на кривой фазового равновесия или также в окрестностях ее), по которым ведется разложение термодинамических функций в ряд. Так как условия устойчивости наиболее отчетливо формулируются в независимых переменных V и 5, то очевидно, что именно этими переменными следует прежде всего воспользоваться при анализе критического состояния. Кроме них можно применять переменные т), для которых якобиан преобразования д ( , т))/5 (У, 5) нигде не обращается в нуль или бесконечность. Следует в связи с этим указать, что в некоторых теориях критического состояния используются независимые переменные, не удовлетворяющие этому требованию, в частности переменные У, Т так как д (V, Т)/д (V, 5) =—Т1суу то указанные теории фактически исходят из предположения, что в критической точке теплоемкость Су имеет конечное значение . По этой причине нельзя ожидать, что эти теории могут описать действительный ход зависимости Су в области критической точки. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...