Решение задачи (Ш)для полупространства

Рассмотрим в заключение классический метод решения задач о соприкосновении упругих деформируемых тел, принадлежащий Г. Герцу и позволяющий в ряде практически важных случаев получить аналитические решения. Идея метода состоит в том, что в случае, когда зона соприкосновения мала по сравнению с характерными размерами соприкасающихся тел, связь между перемещениями точек границы и контактным давлением на границе приближенно можно выбирать в той форме, в которой она имеет место для полупространства. [c.296]

Решение задачи о действии на полупространство нагрузки, отличной от одной сосредоточенной силы, легко может быть получено на основании принципа суперпозиции из рассмотренной задачи. [c.141]

При неограниченном увеличении радиуса (R - < ) получим решение задачи о сжатии цилиндра с полупространством. В результате из выражения (5.34) следует [c.145]

Наличие функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом автоматически приводит к решению смешанной задачи для полупространства, когда в области, совпадающей с разрезом, задано значение гармонической функции, а на оставшейся части границы ее нормальная производная равна нулю. Естественно, что последнее ограничение может быть легко устранено преобразованием исходной краевой задачи при наложении частного решения задачи Неймана для всего полупространства. [c.110]

Заметим, что непосредственно из анализа решения частных краевых задач теории упругости (например, из решения задачи для полупространства) было обнаружено, что нагрузки, статически эквивалентные нулю, вызывают вне области порядка участка интегрирования напряжения и перемещения, существенно меньшие, чем при неуравновешенности сил. Это обстоятельство (в сочетании со специальными исследованиями) послужило основанием для появления уже общей формулировки принципа Сен-Венана ), который сводится к трем положениям [c.264]

Поскольку на всей плоской части границы, исключая начало координат, напряжения обращаются в нуль, то представляется естественным трактовать полученное решение как решение задачи о действии на полупространство сосредоточенной силы, направленной вдоль оси X. Для того чтобы эта сила была единичной, необходимо провести нормировку, положив А = — (2лО)" . Полученное решение называется решением Буссинеска. [c.289]

Чисто математический подход к задачам теории упругости приводит к необходимости рассматривать решения для таких абстрактных (но часто употребляемых в математической физике) областей, которые имеют неограниченную протяженность (как-то пространство с полостями, где ограничивающие поверхности являются замкнутыми), а также для областей, ограниченных простирающимися в бесконечность поверхностями (например, полупространство). Уже обращалось внимание на специфические особенности, возникающие при решении задач для этих областей (например, в 1 говорилось о теореме единственности для подобных областей). [c.303]

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что по отдельности ни волна, идущая к границе, ни волна, идущая от нее, не удовлетворяют краевым условиям. Поэтому естественна и физически обоснована попытка искать решение задачи для полупространства в виде суммы отдельных волн различного типа, что законно в силу линейности уравнений динамики упругого тела. Отметим при этом, что начальные условия учтены выбором направления распространения волны. [c.434]

В результате с помощью (9.18) и (9.20) находим искомые выражения для потенциалов отраженных волн. Отметим, что при отыскании решения задачи об отражении плоской продольной волны от свободной границы полупространства предполагалось, что отраженные волны описываются той же функцией f Q), что и падающая волна. Эта функция описывает профиль падающей волны. Как следует из решения (9.20), существуют отраженные волны того же профиля. Если поместить наблюдателя (прибор) в некоторой точке (х,у) полуплоскости, через которую пройдут в соответствующие моменты времени tip, hp, 28 падающая продольная и отраженные продольная и поперечная волны соответственно, то наблюдатель сможет зарегистрировать изменение возмущения (перемещения, деформации или напряжения) во времени в каждой из этих волн по закону /( ) для отраженных волн проявится влияние амплитуд А я В, которые входят в масштабный коэффициент по оси ординат на [c.435]

Здесь будет рассмотрено общее решение первой основной задачи для упругого полупространства, вторую задачу, как мало реальную, мы рассматривать не будем. Решение задачи Неймана для полупространства, как известно, дается следующей формулой [c.371]

Итак, формула (11.7.1) действительно дает решение задачи Неймана для полупространства. Теперь мы можем написать решение первой основной задачи для упругого полупространства, а именно, [c.372]

Для установления зависимости между р (х, у) и и> х, у) воспользуемся решением задачи о действии давления р (х, у) на поверхность упругого полупространства. Давление непрерывно распределено по загруженной площади Р. В этом случае вертикальные перемещения точек поверхности упругого полупространства определяются следующей зависимостью [c.144]

При исследовании местных напряжений, возникающих при сжатии упругих тел, используется решение задачи о нахождении напряжений и перемещений в точках упругого полупространства, подверженного действию сосредоточенной силы, приложенной перпендикулярно граничной плоскости (рис. 2.42). Если начало координат поместить в точку приложения сосредоточенной силы, то для данного вида нагрузки можно записать х, у, 0)=0 и у, 0)=0. [c.174]

Таким образом, литература, посвященная точным аналитическим решениям задач об ударе, является весьма ограниченной даже для упругих изотропных материалов. Для приближенного анализа используется квази-статическая модель процесса, а теория, основанная на этой модели, — теорией Герца [62]. Она основана на решении, определяющем статическую деформацию полупространства при сосредоточенном нагружении. Сила Г, образующаяся при контакте сферы радиуса Я и полупространства, зависит от их взаимного сближения а, т. е. [c.317]

Если (в нервом приближении) принять значения и Оо равными объемным значениям при однократном растяжении, то для определения числа циклов до разрушения необходимо найти действующие напряжения или деформации и показатели степени в уравнениях (1.4) и (1.5). Связь между напряжениями и деформациями, действующими на контакте, и условиями нагружения вытекает из решения задачи теории упругости [22] или соответственно пластичности [20] о движении с трением жесткого тела по деформируемому полупространству. Решения, полученные для индентора, моделирующего единичный фрикционный контакт, затем обобщаются на случай множественного контакта. [c.19]

Полагая f2(0=0 или Fi(t.)=0, получим решение задачи о воздействии нормального или касательного напряжения на поверхность полупространства или слоя, [c.55]

Формулы (3.89)... (3.91) позволяют оценить влияние параметров среды на волновое поле в вязкоупругом материале. Полагая в этих формулах а=0, получим решение задачи для неоднородного вязко-упругого полупространства. [c.60]

При /г = оо и /п = 0 получим решение задачи для полубесконечно-го однородного полупространства, при этом ив, Огв и Ore равны (для тела Максвелла) [c.110]

При li—oo получаем решение задачи для полупространства. Из формул (7.60) и (7.63) следует, что амплитуда волн затухает с глубиной по экспоненте (влияние вязких характеристик). [c.166]

В инженерной практике встречаются случаи, когда упругая стержневая система контактирует с упругим основанием. Расчет такой системы должен быть дополнен схемой стержня на упругом основании. Наиболее простой и широко применяемой расчетной схемой является модель Е.Винклера - схема с одним коэффициентом постели. Простота этой модели приводит к недостаточной точности получаемых результатов. Поэтому позже бьши разработаны более совершенные и точные модели Здесь отметим модели на основе упругого полупространства [80, 291] (решения получаются весьма громоздкими, а сама методика сводится к набору таблиц, что создает неудобства при ее применении) и модели с двумя коэффициентами постели (проф.П.Л.Пастернак, проф.В.З.Власов, проф.М.М.Филоненко-Бородич [273]).Модель с двумя коэффициентами постели позволяет построить аналитическое решение задачи Коши, учесть деформацию сдвига основания, его неоднородность и много других факторов. В этой связи получим уравнение типа (1.40) для модели с двумя коэффициентами постели. Используя принцип независимости действия сил и дополняя уравнение динамики стержня в амплитудном состоянии на упругом основании слагаемым от продольной силы F v" x), будем иметь [c.199]

Чтобы установить зависимость между р х, у) и w х, у), воспользуемся решением задачи о действии давления р (х, у) на поверхность упругого полупространства. В случае непрерывного распределения давления по нагруженной площади F вертикальные перемещения [c.138]

Покажем, что суперпозиция потенциалов (4.1) с различными значениями угла в дает решение задачи о входе звездообразного тела в жидкое полупространство, если последовательность углов 61 соответствует четному числу симметрично расположенных по кругу лепестков. Обозначим обгцее число лепестков через п, тогда угол между ними будет 2тг/п, а углы 61 образуют последовательность [c.281]

Простота выражений компонент напряжения на площадках, перпендикулярных оси Z, делает потенциал Ф) пригодным средством решения задачи о напряженном состоянии в упругом полупространстве Z > 0. [c.217]

О вычислении потенциала простого слоя по плоской области. Как показано выше, решение задач о напряженном состоянии в упругом полупространстве существенно зависит от знания потенциалов слоя, распределенного по плоской области, — в первую очередь потенциала простого слоя, через который более сложные потенциалы определяются интегрированием по Z, [c.236]

Решение задачи о напряженном состоянии в упругом полупространстве, создаваемом сосредоточенной в его точке силой, дал Миндлин в работе [c.915]

Настоящая глава посвящена исследованию эффектов кратковременного возмущения большой интенсивности (взрыв и удар) в пространстве и полупространстве. Средой является материал, обладающий следующими свойствами упругостью, вязкоупругостью, упругоплас-тичностью и вязкоупругопластичностью. Рассматривается задача о внедрении тела в деформируемую среду и определяется напряжение в среде при внедрении, а также задача об ударе тела в преграду конечной толщины. Решения задач представлены в виде, позволяющем широко использовать при их реализации ЭВМ. [c.86]

Зная функцию Грина, можно получить решение задачи Дирихле для полупространства [c.109]

Воспользуемся представлениями (5.3) для решения задачи, когда упругое тело занимает полупространство х 0. Пусть на его границе заданы смещения F x(y,z), F y(y,z) и F z y,z). Обращаясь к выражениям (5.3), приходим к задаче Дирихле для функций ф1, ф2 и фз [c.287]

Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства а з [О, °°), плоскость а з = О является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей Xi и Х2, ось Хз, будем обозначать как ось z. Как уже было прппято ранее, [c.368]

Решение задачи о распространении в направлении положительной оси X поверхностных вблизи свободной границы полупространства волн с произвольной частотой со и амплитудой В полностью построено. Аналогичное решение сувдествует для волн,распространяюш ихся в отрицательном направлении оси х. [c.409]

Имеется ряд работ, посвященных исследованию реакции тела из композиционного материала на кратковременно действующие или импульсные силы. В уже упоминавшейся работе Пекка и Гартмана [134] рассмотрено воздействие импульса на слоистое полупространство, вызывающего сжимающие напряжения, параллельные слоям. Сви [169, 1701 исследовал слоистое полупространство, подверженное импульсному нагреву (например, с помощью лазера), при этом учитывал связанные термоупругие эффекты. В этой работе использовалась приближенная модель среды, предложенная Саном и др. [167]. В другой работе Сви и Виттера [171 ] применили эту модель для решения задачи о действии импульса давления на полуплоскость с косыми слоями, они исследовали влияние угла наклона"слоев и дисперсию напряжений. [c.321]

В случае пространственной задачи (полупространство с модулем упругости, изменяющимся с глубиной z) так же получены решения для различных видов неоднород ности ф(2). Решения строятся обычно с помощью инте тральных преобразований Ханкеля и Фурье. В частности таким путем найдены решения при i)j=expfe [50, 51, 52 99, 161, 162], а также при [108, 131, 147]. [c.132]

В ряде работ рассмотрены более сложные задачи. Р. М. Раппопорт в [125] с помощью двумерного преобразования Фурье получено в общем виде решение для полупространства, состоящего из произвольного числа слоев, упругие характеристики которых меняются с глубиной по закону экспоненты. В работе В. Б. Рипун [129] методом Р. Я. Сунчелеева получено решение задачи для трансверсально-изотропного полупространства, упругие постоянные которого меняются с глубиной по закону С,7 = aij expfez. [c.133]

Храневская И. Е. Решение задачи Буссинеска для полупространства, модуль упругости которого является степенной функцией глубины. В сб. Материалы 7-й матем. и 7-й физич. межвузовских научи, конф. Дальнего Востока , Хабаровск, 1968. [c.165]

Обычно для В. у. рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в w-нернои пространстве. Классич. решением задачи Коппг наз. непрерывно дифференщ1руемую ф-цию iji (г, t), удовлетворяющую В. у. в полупространстве t > О и нач. условиям 1Ц/=о = ф1И = где ф1(г) и ф2(г) — [c.313]

Способ решения задачи о жестком штампе. В п. 2.3 была рассмотрена задача Буссииека о напряженном состоянии упру гого полупространства, на границе которого z = О отсутствуют касательные напряжения Xzx, а нормальное напряжение распределено по заданному закону. Решение сводилось к разысканию гармонической функции t (по ней квадратурами определялась еще одна гармоническая функция to )), которая была определена потенциалом простого слоя, распределенного по площади загружения Q с плотностью, равной интенсивности нормального давления р (х, у) [c.310]

К пп. 2.1—2.4. Решение задачи о действии на упругое полупространство сосредоточенной силы, нормальной к его плоской границе, впервые дано Буссинеком [71]. Более общую задачу о нагружении полупространства системой нормальных и касательных поверхностных сил одновременно с Буссинеком, основываясь на методе интегрирования Бетти, рассмотрел Черрути в мемуаре [c.915]

Поскольку решение задачи обладает осевой симметрией с осью Оагз, проходящей через вектор силы, действующей на упругое полупространство, справедливо равенство = О, а перемещения Up, щ не зависят от координаты if. При этом справедливы следующие соотношения между деформациями и перемещениями (см., например, книгу >) [c.8]

Аналогичный метод решения задачи Буссинеска для случая неоднородного упругого полупространства, модуль упругости которого изменяется по закону Е(хз) = EmXf (без указания способа решения результирующей задачи), был предложен в работе . [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...