Решение плоской задачи для случая клина

Решение плоской задачи для случая клина [c.89]

Для простоты будем считать функцию /(г, z) четной по z и представимой рядом Фурье. Тогда достаточно решить задачу для случая f (г, z) = f (г) os Z (с = жт/1) и составить суперпозицию решений, полученных при разных значениях m 1, а также решения контактной задачи для клина о плоской деформации (т = 0) [17]. При знании формул (1.46)-(1.48) интегральное уравнение контактной задачи относительно функции q(r) (q(r, z) = = q r) os z) можно записать в виде [c.162]

При -0 = О пластическая область вырождается в одноосное сжатие jo = 1 с вертикальной свободной границей АВ. Это условие и соотношения (15) и (16) определяют минимальные углы наклона граней пирамиды, при которых пластическая область сохраняет геометрическое подобие. Для шероховатого штампа = 0,245 и для гладкого штампа min = 0,464. При сжатии пирамиды с заданным углом сх. угол ф и давление для шероховатый штампа несколько выше, чем для гладкого штампа, но при а тт/2 для обоих штампов получаем р = 1 тг/2. Это случай давления плоского треугольного или квадратного штампа на идеально пластическое полупространство [3]. Решение геометрически подобной задачи плоской деформации о сжатии пластического клина плоским штампом приведено в [4. [c.84]

Рассмотрим случай, когда тело обтекается с присоединенной ударной волной. Некоторый малый участок носовой части тела заменим касательной АС, проведенной в точке С (рис. 80). Тогда, очевидно, указанная часть тела будет представлять собой плоский клин и параметры потока внутри треугольника АВС, где ВС является характеристикой первого семейства, будут постоянны ми и известными из решения задачи об обтекании клина ( 3). Внутри указанного треугольника движение будет безвихревым, поэтому ЧГ отличается от ф лишь постоянным множителем причем значение ф на СВ будет определяться соотношением [c.339]

Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Баренблатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости. [c.384]

Как мы уже говорили, решение данной задачи для малой окрестности любой точки гладкого фронта (рис. 42) можно считать не зависящим от координаты г, отсчитываемой вдоль фронта трещины (рис. 46). Самый общий случай полей деформаций и напряжений у кончина трещины могкио получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антнплоской деформаций (рис. 47). Вид 7 связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивании клина). Вид 77 соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка). Вид 777 связан с антиплоской деформацией (разрезание ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины. Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены в пятидесятые годы. Оказалось, что для любых задач теорий упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру. Первыми поняли это английские ученые Дж. Ирвин и М. Вильямс, хотя строгое доказательство общности формул было дано позже. Сейчас мы приведем все формулы, описывающие распределение напряжений и смещений, прпчем многоточия в них ставятся вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными. Мы приводим эти довольно громоздкие выражения совсем ие для того, чтобы лишний раз вызвать трепет перед механикой разрушения. Наша задача — обратить впимаипе на некоторые их общие свойства и постараться сделать для себя поучительные выводы. Все [c.76]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распределению смещений соответствует случай так называемой антиплоской деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле, возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова (1961). В отличие от трещин нормального разрыва и трепщн поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь возможно непосредственное применение широко развитых методов и результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики. В указанной работе были получены точные решения задач для бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами, нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением (аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном. в 1961 г.). Здесь же исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин, расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига, а также трепщн, форма которых мало отличается от прямолинейной или круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь- [c.386]

В [5, 50] изучается случай, когда область контакта П — незаштрихо-ванный клин угла 2(3 (рис. 1). Основное внимание уделяется выделению особенностей контактных давлений в кончике штампа. Исключаются решения уравнения (1) с бесконечной энергией типа решения В. Л. Рвачева [54] для задачи б при о = тг/4 и плоской подошве штампа. Вводятся полярные координаты г = р соз ф, г = рБшф и новые функции (р, ф) = д(г,, Ф) /( 5 )- При помощи преобразования Меллина получается одномерное интегральное уравнение. Для случая f p, ф) = ( 1 6 [c.185]

Обтекание тонкого клина с затупленной передней кромкой. В качестве простейшего примера обтекания потоком с большой сверхзвуковой скоростью профиля с тупой передней кромкой рассмот-зим обтекание тонкого затупленного клина. Для этого случая в эквивалентной задаче о неустановившемся движении газа с плоскими волнами Е ф и = V iga = onst ф а - полуугол раствора клина). Это движение не автомодельно даже тогда, когда начальным давлением газа можно пренебречь по сравнению с давлением за ударной волной. Приближенное решение можно получить при помощи метода зазложения решения в ряды по степеням (7 — 1)/(7 + 1), изложенного в [15]. Однако, учитывая, что и он является довольно трудоемким, мы произведем дальнейшее его упрощение, позволяющее получать решение элементарным путем с сохранением удовлетворительной точности. [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...