Энергия деформации при изгибе пластин

ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ ПЛАСТИН [c.181]

Вектор обобщенных деформаций (включает нормальные и сдвиговые деформации) е , 8 , 8 Нормальные деформации I, т), С Безразмерные пространственные переменные 0 Угловое смещение (угол измерения в гл. 12) и,к ,ку,к у Вектор кривизн при изгибе пластин и его компоненты [х] Матрица Гессе Я Вектор множителей Лагранжа Коэффициент Пуассона [ Х,-J Вектор функции формы поля напряжений П Обобщенный функционал П 7. Пр ,Щ Функционал энергии (нижние и верхние индексы обозначают специальный вид функционала) л 3.1416... [c.14]

Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двойственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряжений Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба ш при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на ш, а [Е1" — на [Е1, то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины. Следовательно, определение функции напряжений (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля у) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жесткости различаются лишь коэффициентами упругости заменой 1Е1 1 на [c.190]

Как видим, при малых по сравнению с толщиной пластины перемещениях энергия деформации состоит из суммы энергий от растяжения и изгиба. Иначе говоря, растяжение и изгиб не влияют друг на друга и могут рассматриваться отдельно. [c.199]

Тогда для ребра, расположенного параллельно оси у на расстоянии X, от оси у, прогиб полки в направлении оси х составит и = с dwf dx, где с означает расстояние полки до срединной поверхности пластины. В соответствии с выражением (2.54) энергий деформации изгиба каждой полки в направлении оси х при этом примет вид [c.264]

ДЛЯ энергии деформации и принципа возможной работы так, как это делалось раньше единственно, что при этом потребуется определить неизвестные коэффициенты в выражении для прогиба W. Как уже указывалось при обсуждении уравнения (6.17), выражение для энергии изгибной деформация в точности совпадает с таким же выражением для случая пластины, так как выражения для деформаций изгиба (6.316) такие же, как и в случае пластин, а влияние кривизны в выражении (4.71) на энергию мембранных деформаций определяется членом ЕЪ d w/dx в уравнении (6.31к) для неизвестной функции <р (влияние нагрузок % и /у, если таковые имеются, учитываются членами dfi/din и dfy/dy). - [c.458]

Поэтому потенциальная энергия деформации пластины при изгибе равна [c.186]

Плотность потенциальной энергии деформации пластины при изгибе имеет вид [c.188]

Диссипация энергии при изгибе многослойных композитов. Будем считать, что слои композита идеально связаны между собой, при этом выполняются гипотезы Кирхгофа—Лява классической теории пластин, приводящие к формулам (8.71) для деформаций пакета слоев. [c.259]

Тонкие листы, сваренные встык, в результате потери устойчивости искривляются по дуге окружности, приобретая в поперечном сечении седлообразную форму (рис. 6-17,а). Такая форма обеспечивает расположение зоны пластических деформаций по дуге наименьшего радиуса, что в свою очередь позволяет этой зоне сократиться по длине и освободиться в значительной степени от растягивающих остаточных напряжений и потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии в зоне пластических деформаций превосходит работу, затрачиваемую на изгиб пластины, и в целом потенциальная энергия во всей пластине после потери устойчивости снижается (рис. 6-17,6). При увеличении кривизны выше оптимальной (точка А), где потенциальная энергия минимальна, наблюдается рост потенциальной энергии. Зависимость кривизны пластин после сВарки от оста- [c.158]

Построение матрицы жесткости элемента для изгибаемых стержня или пластины с учетом деформаций сдвига не может быть осуществлено в явном виде посредством подстановки поля поперечных перемещений (15.14а) в суммарное выражение энергий изгиба и сдвиговых деформаций. Как уже отмечалось (12,49], требование, что при изгибе балок плоские сечения остаются плоскими, приводит к внутреннему ограничению, исключающему деформации сдвига. Когда это ограничение снято, то появляются сдвиговые деформации, обусловливающие дополнительный вклад во внутреннюю энергию, и для того чтобы сохранилось равенство величин внутренней энергии и работы внешних сил, необходимо такое же увеличение работы внешних сил. Таким образом, узловые силы соответствуют возросшим значениям перемещений, и так как коэффициент жесткости определяется по единичному смещению, то значение силы, вызывающее единичное смещение при допущении сдвиговых деформаций, должно уменьшиться. [c.377]

Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энергии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин и оболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба и чистого сдвига. Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1—2, изображенный на рис. 12.16, являющийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая деформация равна 7,х2=(ьУг—где верхним индексом 5 отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациями сдвига. Кроме того, так как Ухг=2( + 1)Рх А Е, то [c.379]

Жесткость правильной треугольной решетки в условиях изгиба изучает И. Малкин [7.18]. Так же как и Хорвей, он сводит решетку к раме. Далее из рамы выделяется характерный, периодически повторяюш,ийся элемент, представляюш,ий собой три сходяш,иеся балочки, оси которых расположены друг к другу под углом 120°. Приведенную изгибную жесткость Ъ п приведенный коэффициент Пуассона (х Малкин определяет из условия равенства энергий деформации сплошной изотропной пластины и решетки. Однако при подсчете энергии деформации решетки он пренебрегает треугольной областью, заключенной между балочками, что приводит к большим погрешностям даже при сравнительно узких перемычках. Для величин О н 1 Малкин получает следуюш,ие формулы [c.297]

Составим выражение потенциальной энергии деформации, накапливаемой при изгибе изотропной пластины, выразив ее через прогибы. В каждом горизонтальном слое пластины развиваются упругие деформации е,., е , у у (6.2) и соответствующим им наиряже- [c.181]

Оуэна с сотрудниками в большинстве случаев проводили испытания при растяжении на широких пластинах с надрезами. При сравнении результатов, полученных различными исследователями, возникают определенные трудности, обусловленные тем, что различные методы дают различные результаты и не известно, какой из них даст, так сказать абсолютные результаты . Например, в двух работах [109, 116] было установлено, что для материалов, содержаш,их 40% (об.) высокомодульных углеродных волокон, Кс примерно равен 40 МН/м /а при растяжении пластин с надрезом, независимо от длины надреза. С другой стороны, при испытании аналогичных материалов при четырехточечном изгибе образцов с надрезом найденные значения составляли величину около 16 МН/м 2 при отношении глубины надреза к толщине образца от 0,3 до 0,7 и значительно более низкие значения Л"е при меньших отношениях глубины надреза к толщине. Эллис и Харрис [116] сравнивали параметры вязкости разрушения, определенные различными способами, для материалов на основе эпоксидной смолы и высокомодульных и высокопрочных углеродных волокон. Они определяли общую работу разрушения ур, работу инициирования трещины уг (площадь под кривой нагрузка — деформация до максимальной нагрузки, при которой начинается быстрый рост трещины), а также критическую скорость высвобождения упругой энергии G по методу определения податливости образца с трещиной. Все измерения проводились при низкоскоростном изгибе образцов с надрезом. По данным Кс, полученным при растяжении и изгибе, используя уравнение (2.27), они рассчитали эквивалентные значения G . Для того, чтобы сделать это, необходимо было использовать податливость С, учитывающую ортотропный характер волокнистых композиционных материалов. Зих, Пэрис и Ирвин вывели полную форму уравнения (2.27) [4], в котором С является функцией всех констант в тензоре податливости. Для ортотропных материалов с одной резко выраженной осью анизотропии, таких как однонаправленные композиционные материалы с непрерывными волокнами типа углеродных, их уравнение может быть записано в упрощенной форме [c.134]

Имеетея еще третий тип энергии деформации, который связан с закручиванием ребер, хотя он и не является строго крутильным. Если ребро закручивалось с постоянной скоростью кручения, то выражение (4.75а), которое описывает энергию деформации, соответствующую касательным напряжениям и деформациям, возникающим при кручении, будет достаточно. На практике скорость кручения, как правило, не постоянна, и части ребра, расположенные вне пластины, будут при этом подвергаться также и изгибу в плоскости пластины из-за переменности скврости кручения. Так как такому изгибу подвергаются все части ребра, то обычно бывает достаточно рассмотреть полки ребер, поскольку они, как правило, наиболее удалены от пластины и дают наибольший вклад в жесткость в плоскости пластины. Момент инерции If каждой полки двутавровой балки, используемой в качестве подкрепляющего ребра, можно приближенно взять равным половине момента инерции всего поперечного сечения относительно стенки как оси, который приводится в справочниках по строительной механике. [c.264]

Подчерки л, что приведенные рагсуждения применимы, строго говоря, лишь к совместным конечным элементам. Если элементы удовлетворяют условию полноты я совестны, то при сгущении сетки сходимость конечноэлементного решения к точному по энергии будет монотонной. Другими словами, при сгущении сетки полная энергия системы %дет уменьшаться, оставаясь при этом выше своего точного значения. Можно показать [26], что погрешность рассмотренных выше элементов в энергии имеет порядок Р", где п — порядок полных полиномов в аппроксимирующих функциях. Если в выражении для энергии деформации встречаются вторые производные от перемещений (это имеет место, например, для некоторых конечноэлементных моделей пластин, работающих на изгиб, и оболочек), то ошибка в энергии будет иметь порядок [c.211]

Результаты показывают, что использование формулировок на базе линейных смещений на границе (межэлементно совместимых) приводит к довольно медленной сходимости к эталонному решению То же самое справедливо и для треугольных элементов (см. рис. 9.11). Напротив, использование формулировок с несовместимыми модами приводит к очень точным решениям в этой задаче Результаты для наименьшего числа степеней свободы 60 степеней свободы) получены при измельчении сетки лишь в направлении оси х, т. е. при одном элементе по толщине балки. Поэтому формулировки для плоско-напряженных задач общего вида можно использовать в представлении частных случаев изгиба, где обычно требуется выполнение гипотезы плоских сечений (плоские сечения до деформации остаются плоскими после нее). Для задач изгиба балок не часто требуется строить элементы, отличающиеся от простейшего изгиб-ного элемента, однако в гл. 10 будет показано, что концепция несовместимых мод, являющаяся альтернативной в смысле интегрирования энергии деформации элемента на грубых сетках, весьма полезна при использовании трехмерных элементов теории упругости для анализа пластин и оболочек. [c.300]

Р. Кук [7.5] использовал энергетический метод для вывода дифференциальных уравнений осесимметричной деформации двух соединенных трубами перфорированных (треугольной решеткой) круговых пластин постоянной толщины, рассматривая пластину как однородное тело. При этом учитывается энергия растяжения — сжатия и изгиба труб. В дальнейшем для случая нагрева и давления решение проводится методом Ритца (перемещения выбираются в форме многочленов) и для четырех вариантов граничных условий спошной пластины край оперт (защемлен) и свободен в радиальном направлении, край оперт (защемлен) и жестко фиксирован в радиальном направлении, подсчитываются прогибы по радиусу и моменты в центре. Оказывается, что для всех четырех вариантов прогибы совпадают вдоль центральной части пластины, радиус которой равен 0,6 от наружного. [c.341]

Важно помнить, что выписанные выше выражения для энергии содержат лищь первые производные от независимых переменных. Это означает, что выбранные функции не обязательно должны удовлетворять условию непрерывности наклона при переходе через границы элемента. Это обусловливает подход к анализу изгиба тонких пластин, в котором в качестве основной переменной используется угловое смещение. При этом энергия сдвиговой деформации, определяемая соответствующими членами в выражении энергии, мала и не оказывает существенного влияния при вычислении прогибов. [c.381]

Если это вре.мя увеличится (или, что то же самое, частота колебаний уменьшится), то оно может стать достаточным, чтобы значительное число полимерных макромолекул смогло перегруппироваться друг относительно друга, а их сегменты заняли новые состояния с равновесными величинами длин связей и углов между ними. Таким образом, при удалении механической нагрузки не будет движущей силы, которая могла бы вернуть полимерные макромолекулы в начальные состояния, следовательно, значительное количество энергии рассеивается. Хотя на вид нельзя обнаружить изменений формы образца, но на микроуровпе происходят необратимые деформации. Продолжение этого процесса приведет к необратимым изменениям формы. Так, даже стеклянная пластина или стекловолокно будут необрати.мо изгибаться или вытягиваться под нагрузкой, приложенной достаточно продолжительное время. [c.397]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...