Интегрирование уравнений равновесия стержня

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЯ [c.61]

Интегрирование уравнений равновесия стержня, имеющего промежуточные опоры или заданные перемещения ряда сечений [c.78]

Уравнения равновесия на каждом этапе нагружения стержня. В 2.2 были изложены методы интегрирования уравнений равновесия стержней при малых перемещениях точек осевой линии стержня. Эти алгоритмы можно использовать и для [c.82]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Интегрирование уравнений равновесия нулевого приближения. В 1.4 были получены общие уравнения равновесия стержня нулевого приближения в связанной [уравнения (1.112) — (1.115)] и в декартовой [уравнения (1.130) — (1.133)] системах координат, справедливые для любых внешних нагрузок. Рассмотрим решение уравнений равновесия для различных случаев поведения внешней нагрузки. [c.61]

Интегрирование линейных уравнений равновесия винтового стержня. Если винтовой стержень используется в качестве чувствительного элемента, например акселерометра, он нагружается распределенными силами, причем вектор q распределенных сил может иметь произвольное направление. В этом случае определить напряженно-деформированное состояние винтового стержня можно только решая систему дифференциальных уравнений. Если рассматриваются малые перемещения точек осевой линии, для определения напряженно-деформированного состояния стержня можно использовать уравнения равновесия нулевого приближения (1.107)— (1.111), положив Шо=0 [c.206]

Формулу для (г, s) можно вывести и иначе, не пользуясь дифференциальным уравнением равновесия бесконечно малого элемента стержня с размером б, ds и dz (14,18) с последующим его интегрированием, а рассматривая непосредственно равновесие элемента, заключенного между точками M viM, имеющего один бесконечно малый размер вдоль оси г (см. рис. 14.12). Заметим, что если рассмотреть равновесие отсеченной части элемента между точками М и Mk, то получим формулу для t (z, s), эквивалентную формуле (14.24), [c.394]

В настоящее время, как правило, используются три метода определения критических значений нагрузок. Так называемый точный или статический метод заключается в составлении и интегрировании дифференциального уравнения рассматриваемой формы равновесия стержня или пластины. Подчиняя общий интеграл уравнения заданным краевым условиям, приходят к системе линейных однородных уравнений относительно постоянных интегрирования. Условием существования рассматриваемой формы равновесия (например, криволинейной формы равновесия сжатого прямого стержня) является обращение в нуль определителя, образованного из коэффициентов этой системы. Приравнивая нулю определитель, приходим к уравнению для вычисления критического значения нагрузки. [c.225]

Проекции главного вектора и главного момента внутренних сил в сечении лопатки на оси xi, г/i, Zl могут быть найдены путем интегрирования дифференциальных уравнений равновесия элемента стержня (или лопатки) [см. формулы (45) и (50), глава ХИ1, том П1]. [c.59]

Решение. Для определения критической силы статическим методом—методом неиосредственного интегрирования дифференциального уравнения нейтрального равновесия, вследствие наличия двух участков с различными моментами инерции и /г, необходимо составить дифференциальные уравнения нейтрального равновесия стержня для каждого из участков [c.349]

При построении теории тонкостенных стержней оказывается целесообразным наряду с дифференциальными уравнениями равновесия (13) — (16) рассматривать и интегральные уравнения равновесия. Если записать урашения равновесия элемента срединной поверхност в проекциях на оси декартовой системы координат х у, г, а затем выполнить интегрирование полученных четырех уравнений по всей дуге 5, то получится [c.20]

Возможность получить у = у(х) дает решение, основанное на уравнении (XII. 1), интегрирование которого даже для простейших случаев опорных устройств, нагружения и геометрии стержня является сложным, а общий интеграл (XII. 1) выражается через специальные функции. Из этого решения следует, что значениям Р) < Р < Р)(" " соответствуют п + 1 возможные формы равновесия упругой линии стержня. Дополнительное исследование этих форм говорит, что устойчивой является только одна из них — криволинейная, имеющая наименьщее число точек перегиба, возможное при опорных устройствах данного стержня. [c.359]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Следовательно, форма равновесия, которую получает тело под действием заданных сил, характеризуется тем, что функция перемещений и, v ш w, представленная выражением J = 2W — JjJ Vdxdydz, приобретает значение максимума или минимума, так как первая вариация этой функции обращается в нуль для всех возможных перемещений бм, б у, bw. В дальнейшем мы будем пользоваться этим обстоятельством и иногда будем интегрирование дифференциальных уравнений заменять разысканием максимума или минимума функции J. Таким путем можно находить приближенные решения при исследовании изгиба стержней и пластинок. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...