Метрика ковариантная

Ковариантная метрика есть [c.26]

Ковариантный тензор второго ранга gaь является метрическим тензором пространства конфигураций. Заключение о возможности введения такой метрики вытекает из рассмотрения кинетической энергии точки в трехмерном пространстве. Действительно, кинетическая энергия точки с массой, равной единице, определяется так [c.159]

Здесь 8 ) — ковариантные компоненты вектора перемещении в пространстве конфигураций, т — масса изображающей точки в пространстве конфигураций. Выше было показано, что эта масса равна единице. Здесь вновь придем к этому заключению при соответствующем выборе метрики в пространстве конфигураций. [c.167]

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

Правые части уравнений (IV. 154) и (IV. 157) одинаковы. Это связано с тем, что в избранной нами метрике (IV.149) различием между ковариантными и контравариантными компонентами любого вектора можно пренебречь. [c.528]

В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса— энергии у , так как это — ковариантный [c.245]

Напомним, что —контравариантные компоненты тензора напряжений Т в V-объеме, st — ковариантные компоненты S в метрике у-объема подстрочные индексы, как принято в термодинамике. напоминают, каким переменным при дифференцировании приписываются постоянные значения. Итак, знание внутренней энергии (<Э п,. .., 23", 5) определяет закон состояния среды — зависимость компонент тензора напряжений и температуры от деформаций и энтропии. Выражение закона состояния через температуру и компоненты деформации определяется заданием свободной энергии f. Вариация этого термодинамического потенциала (2.2.3) гл. III равна по (1.2.3) [c.630]

Мера деформации У -объема определяется тензором G с ковариантными компонентами в метрике начального у-объема, равными ковариантным компонентом Gst метрического тензора У -объема [c.721]

Символ V, означает ковариантное дифференцирование в метрике [c.302]

В приведенных соотношениях ковариантное дифференцирование по и производилось в метрике (1.17). В дальнейшем для такой операции более удобной оказьшается метрика (1.4). Пусть [c.309]

Отсюда и из (1.1.30) следуют искомые представления пространственных ковариантных производных векторного поля (1.1.32) через ковариантные производные в метрике поверхности [c.25]

Замечание. Ковариантные компоненты тензора деформаций определяют два тензора, один в метрике g ,, другой в метрике, у этих тензоров ковариантные компоненты совпадают, а остальные отличаются друг от друга. Получим выражение для через вектор смещения. Для этого выполним следующие преобразования [c.215]

Траекториями изображающей точки в метрике являются геодезические линии этого многообразия. Связь ковариантных составляющих метрических тензоров в / и дается формулами [c.716]

Вспоминая, что импульсы р являются ковариантными составляющими вектора скорости v изображающей точки в римановом пространстве с метрикой кинематического элемента можно первую группу уравнений (14) записать также в виде [c.742]

Пусть а р, Ьар — тензоры первой и второй квадратичных форм срединной поверхности, Уа — символ ковариантного дифференцирования в метрике а р, О — модуль сдвига, V — коэффициент поперечного расширения, р — плотность материала, к — толщина оболочки, р — компоненты вектора внешних сил, тпа — компоненты вектора моментов, отнесенных к единице площади срединной поверхности, г + г/ + гг] — компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе уравнения движения [c.232]

Уа —символ ковариантной производной относительно метрики срединной [c.274]

По аналогии с (3.13) и (3.16) для произвольных ковариантного (С1к и контравариантного ( (1 ) векторов введем в рассмотрение операцию ковариантного дифференцирования по метрике а по формулам [c.53]

Важным является понятие изгибания поверхности. Это такая ее деформация, при которой не меняются ни расстояния, ни узлы (т. е. сохраняется метрика). Пример — изгиб плоскости в цилиндрическую поверхность. Изгибание характеризуется постоянством ковариантных компонент ар. Теорема Гаусса (1.16) показывает, что кривизна К не меняется при изгибаниях. [c.215]

В (3 + 1)-пространстве — отрицательно, т. е. — — g, а для пространства с положительно определенной метрикой g > О и jg = g. Теперь ковариантное выражение для оператора Д Аламбера принимает вид [c.240]

Ковариантные н контравариантные компоненты метрики gkm и g —это скалярные поля, определяемые следующим образом [c.516]

С помощью компонент метрики легко связать между собой ковариантные и контравариантные компоненты одного и того же векторного поля у [c.516]

Как бы ни были выбраны определения, несомненно, что конкретные вычисления выполнять наиболее просто с помощью законов преобразований. Например, очевидно, что для прямоугольных декартовых координат gkm = = bkm = g . Поэтому ковариантные компоненты метрики km в произвольной системе координат х получаются следующим образом [c.517]

Лишь после введения метрики пространства можно скалярное произведение выразить либо только через ковариантные, либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между кова-риантными и кот равариантными векторами. [c.132]

МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ — основная геом. структура, к-рой наделяется пространственно-временное многообразие в специальной и общей теории относительности определяется заданием поля симметричного ковариантного тензора 2-го ранга с отличным от нуля определителем — метрического тензора. [c.125]

Уравнения равновесия в форме (2.42) отличаются от уравнений (2.26) тем, что в них участвуют операции ковариантного дифференцирования в метрике иедеформированной конфигура- [c.85]

Зависимости (2.1.1), (3.2.8), (3.3.4), (3.3.7), (3.3.8) составляют полную систему уравнений задачи устойчивости, составленную для того случая, когда пренебрега-ется как нелинейностью основного равновесного состояния, так и докритическими деформациями. Для оболочек тонкостенных пологих и для теряющих устойчивость с образованием большого числа выпучин, в пределах каждой из которых оболочку можно рассматривать как пологую, эти уравнения допускают дальнейшие упрощения. В этом случае можно отождествить метрику на поверхности приведения с евклидовой метрикой (Л = = 1), принять приближенные равенства (3.2.21), отождествить компоненты тензоров поверхности с их физическими составляющими, а оператор ковариантного дифференцирования с оператором частного дифференцирования д . Соответствующая данному приближению система линейных дифференциальных уравнений устойчивости слоистых пологих оболочек включает в себя следующие группы зависимостей [c.62]

Первое из них выражает теорему об изменении количества движения бесконечно малого индивидуального объема сплошной среды, второе -теорецу об изменении момента количества движения. Ковариантное Я йвРвяцирование осуществляется в актуальной метрике сопутству - [c.52]

Пришли к уравнениям движения в форме (4.7), разрешенным относительно обобщенных ускорений. В ковариантной записи получим уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, последние выражают закон Ньютона для движения точки, изображающей рассматриваемую систему материальных точек в пространстве с метрикой, определяемой квадратичной формой 2ТсИ-. Тем самым законам движения придано условно наглядное геометрическое пояснение. Так, словесно повторив сказанное в пп. 7.5 и 7.6, можно записать уравнения движения в форме естественных уравнений, непосредственно следующей из (5.29) [c.306]

Здесь и в дальнейшем знак ковариантного дифференцирования в метрике й1к. Но по Формулам Гаусса-Вейнгартена [c.38]

Для любого значения imodx второй дифференциал функции Лагранжа по скорости является положительно определенной квадратичной формой и определяет скалярное произведение (,) на касательном пространстве Т- щМ. Пусть — ковариантная производная вектощото поля вдоль 7, согласованная с метрикой ( , + "п)- Вторая вариация функционала S в критической точке т является квадратичной формой на множестве гладких т-периодических векторных полей I вдоль у [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...