Общие понятия об устойчивости

Общие понятия об устойчивости. Вернемся к рис. VI.I. Хотя точки /4 и в и все точки плато С являются положениями равновесия материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на изображенном на этом рисунке рельефе, интуитивно ясно, что они не равноценны. Если материальная точка помещена в достаточно малую окрестность точки А и имеет достаточно малую начальную скорость, то возникающее затем движение не выведет ее за пределы малой окрестности точки А. Более того, чем ближе к точке А помещена материальная точка в начальный момент и чем меньше ее начальная скорость, тем в меньшей окрестности точки А будет происходить последующее движение. [c.216]

Общее понятие об устойчивости состояния [c.373]

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ [c.91]

Общие теоремы об устойчивости изолированного состояния равновесия. Прежде чем излагать теоремы об устойчивости, дадим определение самого понятия устойчивости. [c.259]

Теперь опишем все части с большей подробностью. Первая часть Общие методы не изменилась по содержанию, только исправлены некоторые недостатки и кое-где введены некоторые дополнения. А именно, в главу И прибавлены поясняющие примеры и введен дополнительный раздел, дающий понятие об устойчивости при постоянно действующих возмущениях и приведено доказательство теоремы Ляпунова о производном определителе, которая в 1-м издании дана без доказательства. Наконец, подробно рассмотрен важный пример Ляпунова составления характеристического уравнения для уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. [c.7]

Возникает вопрос можно ли каким-либо разумным способом обобщить понятие устойчивости на общий случай движения и что следует тогда иметь в виду, говоря об устойчивости движения, а не об устойчивости равновесия [c.471]

Совместное действие вращения Земли и горизонтальных градиентов плотности и скорости. Общая циркуляция атмосферы. а) Вопросы устойчивости. В 7 гл. I мы рассмотрели вопросы, связанные с устойчивостью расслоений атмосферы для случая покоя. Там было показано, что адиабатическое расслоение равносильно безразличному состоянию равновесия несжимаемое жидкости со всюду одинаковой плотностью (при адиабатическом расслоении каждая частица жидкости, будучи перемещена на новый уровень, не стремится вернуться на старый уровень). В конце 13 этой главы мы ввели для газа, т.е. для сжимаемой жидкости, понятие потенциальной температуры. Для расслоенного газа, подверженного действию силы тяжести, потенциальная температура играет такую же роль, как плотность для расслоенной несжимаемой жидкости. При адиабатическом расслоении, которое, согласно сказанному, является безразличным состоянием равновесия, потенциальная температура, на основании ее определения, имеет постоянное значение. Следовательно, об устойчивости расслоения атмосферы можно судить по быстроте возрастания потенциальной температуры с высотой. Поверхности равной потенциальной температуры в идеальном случае расположены горизонтально. Однако в том случае, когда температура изменяется также в горизонтальном направлении, эти поверхности наклонены к горизонту. При сильной вертикальной устойчивости этот наклон весьма мал. [c.514]

Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, но — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений. [c.203]

Исследования А. М. Ляпунова относятся к постановке и рассмотрению общей задачи устойчивости движения, определяемого системой дифференциальных уравнений. В своей знаменитой докторской диссертации, опубликованной впервые в 1892 году, Ляпунов (1] дал строгое определение понятия устойчивости, указал случаи, когда вопрос об устойчивости решается по первому приближению, а также рассмотрел особые случаи, когда по первому приближению об устойчивости судить невозможно. [c.6]

Столкнувшись с этой проблемой, А.Г. Куликовский, как всегда, сначала абстрагировался от конкретных постановок и сформулировал в общем виде задачу об устойчивости однородных или слабо неоднородных решений некоторого класса систем дифференциальных уравнений с граничными условиями на концах конечного, но большого интервала. Было показано, что в ряде случаев устойчивость таких решений не может быть описана в рамках существовавших понятий о конвективной и абсолютной неустойчивости. При наличии границ у протяженной системы возможно возникновение неустойчивости за счет взаимодействия и отражения от границ двух волн, распространяющихся в разные стороны. При этом возможность реализации такой неустойчивости в ряде случаев не зависит от конкретного вида граничных условий, а определяется только свойствами рассматриваемой системы уравнений. На основе этих результатов А.Г. Куликовским было введено в теорию устойчивости новое понятие -глобальной неустойчивости и получен ее асимптотический критерий. [c.5]

Невозможность строгого определения экспериментальными методами, с использованием статистики, функций распределения случайных величин вызвала в математике развитие специальных методов, названных робастными. Эти методы направлены на то, чтобы обеспечить устойчивость результатов статистических процедур к отклонениям вводимых предположений от действительности. Такая слишком, быть может, общая формулировка вызвана тем, что в математике, пока не установилось четкое определение понятия робастные методы . Об этом свидетельствуют такие, напрпмер, высказывания Со словом робастность связывают — и подчас безосновательно — различные понятия. В настоящей книге это слово используется в относительно узком смысле, диктуемом нашими целями робастность означает нечувствительность к малым отклонениям от предположений [34] или Статистическая процедура, нечувствительная к отклонениям от предположений, лежащих в се основе, называется устойчивой (робастной) [49]. [c.106]

Дадим теперь определение устойчивости движения движение является устойчивым, если, получив малое возмущение, оно остается близким, в известном смысле, к невозмущенному движению. Понятие об устойчивом движении сложнее, чем понятие об устойчивом равновесии общую теорию устойчивости движения мы рассмотрим в гл. XXIII. Однако имеется класс задач, теория которых достаточно проста. Для них можно указать простой способ проверки устойчивости движения, аналогичный способу проверки устойчивости равновесия но минимуму потенциальной энергии. [c.160]

А. М. Ляпунов создал свою знаменитую общую теорию устойчивости движения ( Общая задача об устойчивости движения . Харьков, 1892 Собр. соч., т. 2, 1956), дав строгие определения понятий устойчивости и неустойчивости, относительно заданных величин, и разработав эффективные методы для решения этой чрезвычайно валяной задачи. [c.332]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Как указывает подзаголовок этой книги, основным методом изложения избран генетический подход. Авторы стремятся объяснить генезис основных идей и понятий теории динамических систем с ударными взаимодействиями, а также продемонстрировать их естественность и эффективность. Ключевым моментом являются найденные недавно теоремы о предельном переходе, обосновывающие различные математические модели теории удара. Их суть заключается в следующем. Односторонняя связь, наложенная на систему, заменяется полем упругих и диссипативных сил. Затем коэффициенты упругости и вязкости некоторым согласованным способом устремляются к бесконечности. Доказывается, что движение такой свободной системы с фиксированными начальными данными стремится на каждом конечном промежутке времени к движению с ударами. При отсутствии диссипации энергии получаем упругий удар, а при надлежащем выборе диссипативной функции Рэлея (задающей структуру сил трения) можно получить в пределе модель Ньютона и более общий удар с вязким трением. Идея реализации связей с помощью предельного перехода в полных уравнениях динамики восходит к работам Клейна, Пранд-тля, Каратеодори и Куранта. Эти результаты позволяют, в частности, решить ряд новых задач об-устойчивости периодических движений с ударами, а также исследовать эволюцию биллиардных систем при неупругих столкновениях, когда имеется слабая диссипация энергии. [c.4]

Один из первых результатов в этой области был получен Лапласом и Лагранжем, которые доказали, что в первом приближении (т.е. если пренебречь членами, содержащими квадраты отношений масс планет к массе Солнца) движение планет может быть описано чисто тригонометрическими рядами [9]. Этот результат был истолкован как доказательство устойчивости Солнечной системы с ним же связано происхождение понятия устойчивости в смысле Лагранжа в общей теории динамических систем. К сожалению, надежды на справедливость аналогичного утверждения в следующих приближениях теории возмущений не оправдались, и в настоящее время вопрос об устойчивости как реальной Солнечной системы, так и вообще планетарных систем гравитирующих точек остается открытым мы еще вернемся к этому вопросу далее. [c.39]

Понятие устойчивости очень широко используется для характеристики различных систем — биологической, химической или механической. Применительно к механическим (и другим) системам понятие устойчивости можно трактовать как способность системы пребывать в состояниях, для которых определяющие параметры при действии на систему возмущений заданного ограниченного класса остаются в заданных пределах. Это достаточно общее определение устойчивости в каждом случае требует конкретизации. Простей-UJHM, но далеко не вскрывающим все дегзли явления примером может служить стержень, шарнирно закрепленный одним концом, как показано на рис. 15.8. Если вес G стержня считать приложенным в его середине С, то оба изображенных вертикальных положения стержня можно считать равновесными в силу выполнения уравнения равновесия [c.345]

Исходя из предложенной общей схемы, мы рассмотрели все основные понятия оптимальности, изучаемые в теории игр (с-ядро, решение Неймана — Моргенштерна, устойчивость, 1р-устойчивость, равновесие, к- и п-ядро). Эти понятия отражают те или иные интуитивные представления об оптимальности как о сбалансированности возможностей игроков (устойчивость, равновесие) или как справедливости [к- и я-ядро). Стоимость Шепли характеризует выигрыш игроков, который они получают в среднем при некоторой схеме переговоров. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...