Радиус гиперболы

Касательная к гиперболе одинаково наклонена к фокальным радиусам-векторам точки касания. [c.153]

Нормаль гиперболы в любой ее точке делит угол между фокальными радиусами-векторами этой точки пополам. [c.153]

Укажем способ построения гиперболы по точкам, исходя из ее определения и канонического уравнения. В заданном масштабе величины а и Ь полуосей гиперболы представим отрезками на осях координат (рис. 229). Из точки О, как из центра, радиусом а про- [c.153]

Из фокусов, как из центров, проводим дуги окружностей соответственно радиусами г и 2а + г. Точки их пересечения являются точками гиперболы, так как разность расстояний от каждой точки до фокусов равна 2а и есть величина постоянная. Изменяя г и повторяя построения, получаем новые точки гиперболы. [c.153]

Касательная t и нормаль п гиперболы в точке Е являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов между радиусами-векторами FE и FiE. [c.49]

Фронтальные проекции Ву и Су находят обычным проецированием. Для нахождения фронтальной проекции Ау — вершины гиперболы — проводят из 5я радиусом [c.101]

Чтобы найти фронтальные проекции вершин гипербол (точек Mv), отмечают на профильной плоскости проекций точку 4w пересечения окружности радиуса с продолжением вертикальной центровой линии Из точек 4 - проводят горизонтальную линию связи до пересечения на плоскости V с образующей кон <са головки болта. [c.183]

Вычерчивание лекальных кривых — гипербол — условно заменяют вычерчиванием дуг окружностей. Для нахождения центров радиусов дуг используют три точки вершину гиперболы (точки Му или JVy) и две точки пересечения гипербол (точки Зу и Зу для средней грани и точки 2у н Зу для крайних граней). На рис. 6.25 показано нахождение центра О для радиуса дуги средней грани. Аналогично находят центры дуг для крайних граней. [c.183]

Отмечают точки /, 2, 3,... (рис. 3.42), постепенно увеличивая расстояния между ними, и проводят из фокуса Р дуги радиусами, равными отрезкам А/, А2,..., а из — отрезкам В/, В2,... Пересечения дуг Л/ с В/, А2 с В2 и т. д. — точки гиперболы. [c.67]

Построение касательной и нормали к конике. Касательная является биссектрисой внешнего (у эллипса и параболы) или внутреннего (у гиперболы) угла, образованного радиусами-векторами, проведенными через заданную точку кривой, а нормаль — биссектрисой внутреннего или внешнего угла соответственно. На этом свойстве и основано их построение (рис. 3.50). [c.69]

Если точка расположена внутри окружности — образуется эллипс (рис. 3.66), вне — гипербола (рис. 3.67), если радиус направляющей окружности равен бесконечности — парабола (рис. 3.68). [c.76]

Решить предыдущую задачу в случае, когда по круговому цилиндру радиуса г катится без скольжения цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) парабола, 3) ветвь гиперболы. [c.380]

Имея низшие точки гиперболы /, кривую можно провести дугами окружностей (радиусы R=, 5( , R, =с1) (черт. 241). [c.100]

При вращении прямой I вокруг оси I все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр АО прямых / и I будет наименьшим из всех радиусов, и поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида. Для построения главного меридиана гиперболоида достаточно повернуть вокруг оси г ряд точек прямой I до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось ц Тогда получим гиперболу, которая и будет фронтальным очерком однополостного гиперболоида. [c.128]

Рис. 10. Эволюта гиперболы. и С, — центры кривизны радиус криви-6

В некоторых случаях, когда при введении вспомогательных плоскостей характерные точки можно построить только путем построения сложной кривой (например, для построения проекций точек 7и на рис. 10.5 потребуется построить гиперболу от сечения плоскостью Т (7 )), применение вспомогательных сфер может существенно упростить построение. Для построения проекций точек 7 и удобно применить сферу радиуса К с центром с проекцией о в точке пересечения оси конической поверхности и оси сферы, перпендикулярной [c.133]

Поэтому касательная к гиперболе есть биссектриса угла между фокальными радиусами-векторами (нормаль есть биссектриса смежного угла). [c.349]

Это — окружность круга с центром на оси 0 ]д в точке О с ординатой Се/р и радиусом а = С/р. Если е = 1, что соответствует параболе, окружность касается оси Оюх если е < 1 (эллипс), то а > Се/р — окружность пересечет ось Оо если е> 1 (гипербола), то а <С Се/р — окружность расположится выше оси Оех. На рис. 124, а, б, в показано расположение траекторий и годографов скорости. Отрезки Ото, Ош1, О/иг и т. д., не показанные [c.204]

Это уравнение представляет собой уравнение конического сечения (эллипса, параболы или гиперболы) с фокальным параметром р, эксцентриситетом е и фокальной осью, отклоненной от радиуса-вектора точки бросания на угол р, выраженное в полярных координатах, [c.675]

Дочка II гиперболы лежит иа пересечении двух дуг одной, описанной из точки Га радиусом г 2 = ЛД, и другой, описанной из точки Fl, радиусом Да = 2- - [c.44]

Радиус г для оформления проекций боковых граней на главном виде гайки определяют подбором по трем точкам — вершине и двум нижним точкам гипербол. [c.93]

Рис. 66. Спрямление ветвей гиперболы и замена участка при вершине гиперболы дугой окружности В — точки касания лучей, проходящих через кромку М надреза к окружности радиуса К С — точки пересечения окружности радиуса J с гиперболой D — наружный диаметр образца вблизи надреза

Разделив фокусное расстояние FF, пополам, получают точку О, от которой в обе стороны откладывают по половине заданного расстояния между вершинами А ч В (рис. 78, о). Слева от фокуса F намечают ряд произвольных точек /, 2, 3. 4. .. с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Из фокуса F описывают дугу вспомогательной окружности радиусом R. равным, например, расстоянию от вершины гиперболы В до точки Из фокуса F проводят вторую ду у вспомогательной окружности радиусом г, равн1.1м расстоянию от вершины А до точки J. На пересечении чтих дуг находят точки С и С,, принадлежащие г иперболе. Таким же способом находят остальные точки гиперболы. [c.45]

В этом ггримере, где срезаются сферическая, ци- гиндрическая и коническая поверхности (рис. 181,6), фpoнтaJгьнaя проекция линии состоит из трех участков первый- окружность радиуса R, гго которой плоскость пересекает сферическую поверхность второй-прямая (образующая), полученная от пересечения плоскостью цилиндрической поверхности, и третий-кривая (часть гиперболы), полученная от пересечения плоскости с конической поверхностью. [c.102]

На рис. 407 определены асимптотические конусы этих гиперболоидов и фокусы гипербол меридиональных сечений соприкасающихся гиперболоидов, когда заданы вертикальная и наклонная оси передачи и радиусы п и Г2 окружностей щеек гиперболоидов. Здесь угол между осями 5. [c.283]

Асимптоты гиперболы строятся следующим образом. Из центра гиперболы О проводят окружность радиусом F, а через вершину А — прямую, перпгндикулярную к действительной оси гиперболы, до пересечения с окружностью в точках 1 . Прямые, проходящие через эти точки и точку о — асимптоты гиперболы. [c.53]

Для нахождения горизонтальных проекций точек, принадлежащих линиям сечения боковых граней призмы с конусами, намечают на фронтальных проекциях этих кривых ряд точек 3v, 4v,. ..) и проводят через эти точки вспомогательные секущие горизонтальные плоскости Б—Б, В—В,. ... Радиусами Rb, Rb, проводят на горизонтальной проекции окружности, которые при пересечении с соответствующими вертикальными линиями связи ЗуЗн, 4 г4н,. .. определяют точки Зн, 4н,. ... принадлежащие горизонтальным проекциям гипербол сечения. [c.115]

Соединяют между собой точки 2 вспомогательной прямой и на пересечении ее с проекциями средних ребер головки болта отмечают точки Зу- Точки 3v и 2v являются точками взаимного пересечения гипербол, образующихся, в свою очередь, при пересечении конусной фаски с гранями головки болта. Для нахождения вершин гипербол на прсфь льной проекции проводят окружность радиуса R , касательную к граням, и находят профиль- [c.182]

Взяв, например, секущую плоскость S,, получаем окружность радиуса O T . Эта-окружность дает в пересечении с пл. Pj точку 4 , по которой получаем на фронт, проекции точку 4, принадлежащую гиперболе. Чтобы получить вершину гиперболы, отмечаем точку профильную проекцию этой вершины — и строим со отвфтствующую ей проекцию / на поверхности конуса. [c.201]

Но если взять точку О, так, чтобы О,а—0 1, или точку 0 так, чтобы О а—О З, то в положениях / и 3 точка а окажется на окружности радиуса R. Взяв оси, прохог дящие через точки О, и 0 перпендикулярно к пл. Н, мы можем решить задачу о введении точки А на заданную поверхность вращения. Легко видеть, что решение смодится к построению гиперболы, у которой фокусами служат точки а и с, а вершинами — точки О, и О3. Эта гипербола определяет область (на рис. 270, б она заштрихована), в которой любая точка может быть припя1а за горизонт, проекцию оси, при повороте вокруг которой точка А окажется в двух положениях на данной [c.225]

Упражнения 1.На рис. 4.47 проекции точек линии перехода построены тремя способами, используя I) параллели конуса (параллель а—точки 2), 2) образующие (образующие 8Е и 5 — точки 3), 3) вспомогательную секущую сферу (радиуса — точки /). Какой из трех способов наиболее удобно применить для нахождения действительной оси и вершины гиперболы — фронтальной проекции линии перехода Выведите уравнения гиперболы и профильной проекции ЛИНИН перехода. (Размеры цилиндра и конуса определите по чертежу, при перечерчивании, увеличив их в 1 /2—2 раза.) [c.109]

Проекции Д,, и А , В точек А и В гиперболы по выбранным их фронтальным проекциям Л 2 и В находят посредством всиоио1ательнои окружности радиуса г. [c.24]

Промежуточные точки искомой кривой определяем также с помощью вспомогательных плоскостей. Плоскости, параллельные П , здесь не пригодны - они пересекли бы конус по гиперболам. Проведем произвольно в пределах между точками Л и 5 линию - проекцию плоскости е. Она пересекает сферу и конус вращения по окружностям. Радиус окружности - линии пересечения плоскости е с конусом - равен расстоянию от оси конуса до точки 2 , лежащей на контурной образующей конуса радиус окружности - линии пересечения плоскости е со сферой - равен расстоянию от оси сферы до точки 3 лежащей на его меридиане. На пересечении горизонтальных проекций этих окружностей находим проекции М промежуточных точек линии пересечения, проецируем на фронтальную проекцию плоскости и находим проекции М , затем - их проекции MjVi Му посредством координаты [c.124]

В кулоновом поле траекторией инфинитного движения в общем случае является гипербола, асимптоты которой пересекаются в точке А, расположенной на направлении Гт п (наименьшего для этой траектории радиуса), и образуют с этим направлением одинаковые углы ф. Нас будет интересовать угол к (см. рис. III.9), равный [c.93]

Известно, что в сечении конуса плоскостью, параллельной его оси, образуется гипербола. Следовательно, в нашем случае грани с конусом пересекаются по гиперболам. Из точки S опустим перпендикуляры на грани и отметим точки А и F - горизонтальные проекции вершин гипербол. Построим параллели, радиусы которых равны отрезкам [SiAJ и [S F ] соответственно, укажем [c.205]

Из точки О2 проведём перпендикуляр к очерковой образующей конуса. Его основание L2 будет принадлежать параллели касания сферического посредника радиуса Rmm [O2L2] с конусом, а с цилиндром эта сфера пересечется по параллелям m(m2) и m (m 2), пересечение которых с параллелью конуса определит точки р2 и Е2 линии пересечения. Цилиндр дважды пересекает коническую поверхность. Линии пересечения симметричны относительно общей плоскости симметрии, образованной осями /flq, и на фронтальную плоскость проецируются кривыми второго порядка (гиперболами). [c.209]

Из формулы (10.52), называемой формулой Буссинеска,, вытекает, что для всех точек плоскости дсз = О имеем идГ = onst, т. е. радиусы ОКо, проведенные в этой плоскости из начала координат, после деформации становятся гиперболами в плоскости КоОхз. Отметим, что решение этой задачи Буссинеска является трехмерным аналогом решения задачи Фламана для полубесконечной пластины (см. с. 278). [c.346]

Это показывает, что произведение wr на границе постоянно. Следовательно, радиусы, проведенные на границе из начала координат, после деформации становятся гиперболами с асимптотами Or и Oz. В начале координат напряжения и перемещения становятся бесконечными. В силу этого мы должны Еюобразить, что материал вокруг начала координат вырезан полус< )ерической поверхностью малого радиуса и сосредоточенная сила Р заменяется статически эквивалентными силами, распределенными по этой поверхности так, как того требует решение. [c.404]

Совместим полученное сечение OIO2 с плоскостью чертежа (рис. 9.25) и заменим эллипс и гиперболу окружностями с радиусами, равными радиусам кривизны Лд,, r ,2 в точке 0x2- Вблизи этой точки различие между окружностями и действительными кривыми очень невелико. Поэтому картина зацепления конических колес в этом сечении похожа на картину зацепления цилиндрических с радиусами э1> э2> называемыми эквивалентными. Весьма схожи в этом сечении и формы их зубьев. Шаг зубьев конических и эквивалентных цилиндрических колес одинаков, так как измеряется в направлении, ортогональном плоскости, образованной осями вращения колес. [c.258]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...