Фазовый объем

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три интегральный инвариант Пуанкаре — Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . [c.293]

Теорема Лиувилля. Фазовый объем V не зависит от t, т. в. является инвариантом движения. [c.301]

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vx в момент 1 = (и- -х [c.304]

В тех случаях, когда интегральный инвариант относится к какому-либо замкнутому контуру, он называется относительным. Интегральные инварианты Пуанкаре Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант фазовый объем таковым не является. [c.305]

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно, сохраняющиеся для всех динамических систем, движущихся в потенциальных нолях, называются универсальными. Инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем — универсальные, а инвариант Пуанкаре — Картана не относится к универсальным. [c.305]

Кроме того, численное значение фазовой плотности p(q, р, t) в (11.4) и (11.5) зависит от выбора единиц, используемых для координатно-импульсного пространства, что приводит к произвольному началу отсчета энтропии в окончательных выражениях для термодинамических величин. Чтобы нормировка для p(q, р, t) соответствовала предельному переходу от квантовой статистики к классической, необходимо в (11.5) перейти к безразмерному фазовому объему [c.186]

Так как все микросостояния изолированной системы равновероятны, то искомая вероятность прямо пропорциональна фазовому объему этой области (7.1)—(7.3) [c.150]

Некоторому макроскопическому состоянию, соответствующему значению у = у, отвечает наибольший фазовый объем, и это состояние является наиболее вероятным. Из опыта известно, что в изолированной системе в состоянии равновесия макроскопические параметры имеют практически постоянные значения. Это означает, что максимум функции f=f(y) при для макроскопической системы является очень резким и состоянию системы, определяемому интервалом у, y +д y, соответствует практически весь объем энергетического слоя [c.151]

Функция (7.25) обладает свойством аддитивности, поскольку нормированный фазовый Объем является мультипликативной ве- [c.151]

В дифференциальных уравнениях, описывающих реальные физические явления, чаще всего встречаются особые точки и предельные циклы общего положения, то есть гиперболические. Однако встречаются и специальные классы дифференциальных уравнений, где дело обстоит иначе. Таковы, например, системы, обладающие симметриями, связанными с природой описываемого явления, а также гамильтоновы уравнения, обратимые системы, уравнения, сохраняющие фазовый объем. Так, например, рассмотрим однопараметрическое семейство динамических систем на прямой с симметрией второго порядка [c.12]

При проходе луча через прозрачный фазовый объем сдвиг фаз [c.54]

Теорема (Лиувилля). При движении гамильтоновой системы фазовый объем остается постоянным, т. е. Vt = Vo при любом t. [c.348]

Если просуммировать эти разности по всему фазовому объему, то мы получим за единицу времени изменение функции /, обусловленное столкновениями молекул. Итак, имеем [c.38]

Изображающие точки на / -плоскости одномерного газа в поле тяжести занимают прямоугольник X, х+ 1х. Как изменятся форма и фазовый объем (площадь) этих состояний за время Л/ вследствие классических уравнений движения [c.172]

Примем теперь минимальный фазовый объем, приходящийся на одну изображающую точку, за величину объема элементарной ячейки /г-пространства, как для фермионов, так и для бозонов. Как мы убедимся вскоре, величина а однозначно определена законами природы и может быть найдена экспериментально. [c.174]

И существенно зависит от л и, следовательно, от а. Таким образом, для точных статистических распределений Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна объем элементарной ячейки, как мы уже упоминали в 33 и 34, не является произвольным, каким является в известных пределах объем ящика, а точно фиксируется законами природы и может быть найден из экспериментов. Только в предельном случае малых чисел заполнения (область применимости распределения Максвелла -Больцмана) эта возможность исчезает и фазовый объем ячейки становится произвольным. [c.191]

Фазовый объем ячейки и начало отсчета энтропии [c.202]

Приравнивая предельное значение статистической суммы (46.11) 2 = Т Тг величине 2 1 йг (аг — фазовый объем ячейки для вращательных степеней свободы), находим [c.224]

Высокие температуры Т Г . В этом случае квантование энергии несущественно и сумма состояний должна переходить приближенно в классический интеграл состояний, деленный на аи — фазовый объем ячейки для колебательного движения. [c.231]

В 45, 46, 48 мы убедились в том, что фазовый объем ячейки равен /г для шестимерного /г-пространства трех поступательных степеней свободы, I — для четырехмерного /г-пространства двух вращательных степеней свободы и /г — для двумерного /г-пространства колебательных степеней свободы. [c.253]

Мы можем заключить в общем случае, что фазовый объем элементарной ячейки идеального газа, молекулы которого имеют / степеней свободы, равен [c.253]

Так же как и в случае идеального газа, будем при квазиклассическом описании с помощью координат и импульсов приписывать каждому квантовому состоянию фазовый объем так что выражение [c.300]

Доказательство этой теоремы, основанное на свойстве несжимаемости газа изображающих точек — теореме Лиувилля, — почти очевидно. Будем рассматривать такие макроскопические системы, для которых гиперповерхности постоянной энергии в Г-пространстве замкнуты и фазовый объем состояний с энергией, не превышающей Е, конечен и равен Г( ). Для реальных физических систем это условие практически всегда выполняется. Выделим внутри Г( ) малый элемент фазового объема у <кГ( ) и допустим, что за единицу времени из этого объема вытекают изображающие точки, причем некая конечная доля этих точек Uy никогда не возвращается в объем у. При этом мы немедленно приходим к противоречию, так как за достаточно большое время t фазовый объем, занимаемый этими точками Uyt, станет больше Г( ) —у, что невозможно вследствие несжимаемости газа изображающих точек. Следовательно, все фазовые траектории, исходящие в начальный момент из объема у (за исключением, может быть, части траекторий, начальные точки которых образуют множество меры нуль), с течением времени должны снова и снова возвращаться в объем у, и макропроцессы так же, как и микропроцессы, казалось бы, должны быть строго обратимыми. [c.544]

Таким образом, телесный угол, задающий неопределенность ЪМ-мерного импульса, растет со временем по экспоненциальному закону. Фазовые траектории, исходившие первоначально из малой области фазового пространства, точнее говоря, из малой площадки гиперповерхности постоянной энергии, очень быстро удаляются друг от друга и заполняют приблизительно равномерно всю эту гиперповерхность. Согласно теореме Лиувилля при этом сохраняется первоначальный фазовый объем. При этом гиперповерхность постоянной энергии окажется сначала грубо, а затем все более мелко изрезанной фазовыми траекториями. За некоторое характерное для релаксации время, весьма малое по сравнению с временем возврата по Пуанкаре (см. ниже), вероятности нахождения изображающей точки в равных участках этой гиперповерхности станут одинаковыми. [c.549]

Фазовый объем пучка — объем, заключенный внутри поверхности, ограничивающей изображение пучка в фазовом пространстве. В качестве фазового пространства может рассматриваться пространство декартовых координат и углов наклона траектории, или пространство координат и составляющих скорости частицы, или пространство координат и составляющих импульса [c.61]

Соответственно фазовый объем имеет размерность dim Уф = IJ-, dim Уф = L Г-З dim Уф = L ЛР, а. его единицами являются [c.61]

Эффективный фазовый объем (с теми же единицами и размерностью)— фазовый объем, очерчиваемый изображением пучка в процессе колебаний частиц в фокусирующем канале. [c.61]

Отсюда следует, что всем микросостояниям частицы с энергиями от е до Е + de соответствует элементарный фазовый объем [c.26]

Пусть в сосуде объемом V находится N одинаковых частиц. Требуется найти фазовый объем Г для всей системы, если суммарная энергия частиц может принимать любые значения от О до . [c.26]

Когда формула (4.11) применяется к системе из двух частиц, то в фазовый объем Г входит как точка q = qi, р — pi, q = qs, p = = Pi, так и точка q = q , p — p , q = q , p = pi. Поэтому вычисление дает вдвое большее число микросостояний, чем оно есть на самом деле. Для системы из N частиц результат будет завышен в N1 раз. Число микросостояний идеального газа определяется формулой [c.32]

Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-чжуна. Мы рассмотрели лишь три интегральных инварианта — инвариант Пуанкаре — Картана, унииерсальный инвариант Пуанкаре и инвариант фазовый объем . В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем рассматривать, а остановимся лишь на общей их классификации. [c.305]

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (по контуру). Инвариант фазовый объем является инвариантом 2и-го порядка, так как интегрирование производится по 2/ьмерной области — фазовому объему. [c.305]

АТТРАКТОР. Замкнутое притягивающее множество неустойчивых траекторий называют странным аттрактором. АТТРАКТОР имеет нулевой фазовый объем и может характеризоваться величиной - хаусдорфовой размерностью d, а также размерностью вложения, равной числу т независимых фазовых переменных, однозначно определяющих состояние системы. [c.6]

Теорема Л и у в и л л я. При движении гамильтоновой системы фазовый объем остается постоянным, т. е. Vt = Vo при любом t. Доказательство. Имеем равепстпа [c.294]

Это означает, что фазовый объем макросистемы Д 2, составленной из двуг макроскопических подсистем, равен произведению фазовых объемов отдельных подсистем Д0( ) =Д0( ,) Д 2( а), где i, 2 — энергии подсистем, E=E,-h + г — энергия всей системы. [c.152]

Гиббс называет его extension-in-phase (фазовый объем). [См. Гиббс, Основные принципы статистической механики, Гос-техиздат, Москва, 1946, стр. 23. (Прим. перев.)] [c.345]

В заключение этого параграфа еделаем еще нееколько замечаний к проблеме нахождения объема элементарной ячейки. Мы показали, что для излучения фотонного газа фазовый объем ячейки а должен быть приравнен /г . Эйнштейн в работе Квантовая теория одноатомного идеального газа (1924 г.) предложил раепроетранить этот результат и [c.252]

Здесь Q — число квантовых состояний, а Г — фазовый объем, охва-тываюш,ий все точки фазового пространства системы. Существенно, что интервалы изменения координат и импульсов рассчитываются по законам классической механики. [c.31]

Отсюда видно, что в классическо области мерой термодинамической вероятности является фазовый объем АГ, отвечающий определенному непрерывному множеству микросостояний классической системы, совместимых с данным макросостоянием. [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...