Рассеивающий биллиард (биллиард

Рассеивающие биллиарды (биллиард Синая). Обобщение предыдущей модели, в к-рой вместо рассеивающих шаров имеется кривая граница. Пример биллиарда [c.399]

Наиб. содержательна Э. т. рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая). У такого биллиарда граница состоит из конечного числа гладких кривых или многообразий большей размерности, строго выпуклых внутрь области Q (рис. 6). Эта фаница, взятая в качестве зеркала, рассеивает (делает расходящимся) узкий параллельный пучок света, падающий на неё из Q. Рассеивающие биллиарды относятся к классу гиперболич. ДС с особенностями преобразования, из к-рых состоит система, теряют свойство гладкости (и даже непрерывности) в нек-рых точках фазового пространства (при отражении от границы направление вектора скорости меняется скачком). Теория таких [c.633]

В случае рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая [31]) (см. рис. 36) все величины i ь. .., Дп меньше нуля. Следовательно, периодические траектории таких систем имеют локально минимальную длину. Тем же свойством обладают их удвоения , значит, в силу следствия 3 получаем следующий хорошо известный факт периодические траектории рассеивающих биллиардов гиперболичны, следовательно, неустойчивы. [c.81]

Рассеивающие биллиарды (биллиарды Синая) [c.114]

Рассеивающие биллиарды (биллиарды Синая). Рас-, смотрим биллиард в области Ф, изображенной на рис. 5. Пусть все регулярные компоненты границы дQ являются гладкими [c.179]

Исследования Синая газа твердых дисков. Задача о рассеивающих биллиардах. Об изоморфизме рассеивающих биллиардов [c.59]

Рассмотрим биллиард в области М, изображенной на рис. 36 все регулярные компоненты границы дМ являются гладкими (класса С ) выпуклыми внутрь М кривыми, и кривизна границы принимает строго положительные значения. Такие биллиарды называются рассеивающими, или биллиардами Синая. Они являются дискретным аналогом гладких гиперболических систем в результате отражений от вогнутой границы расстояние между близкими траекториями увеличивается с экспоненциальной скоро- [c.147]

Теорема 7 (Я. Г. Синай [ЗП). Рассеивающие биллиарды эргодичны. [c.148]

S эргодичен на Л. Свойство локальной непрерывности слоения IF является аналогом для случая гладких систем свойства, выделенного в основной теореме теории рассеивающих биллиардов (см. гл. 8, 1). [c.154]

Этот результат вполне аналогичен результату, полученному 3 [44] для рассеивающих биллиардов. [c.164]

Таким образом, рассеивающие биллиарды по своим свойствам похожи на геодезические потоки на риманов ЫХ многообразиях отрицательной кривизны (см. гл. 7, 4). Роль отрицательной кривизны в данном случае играет выпуклая внутрь области граница. Однако, в отличие от таких геодезических потоков, рассеивающие биллиарды, как будет показано ниже, являются неравномерно полно гиперболическими (НПГ) системами (см. гл. 7, 1). [c.181]

Как уже отмечалось, между рассеивающими биллиардами и геодезическими потоками на многообразиях отрицательной кривизны имеются существенные отличия. Главное из них состоит в том, что для таких биллиардных систем поток Т определен только почти всюду на фазовом пространстве М и не является гладким. Особенности возникают на траекториях, попадающих в особые точки границы дQ, и на траекториях, касающихся ее (см. рис. 7). Именно с этим обстоятельством Связано то, что ЛУМ и ЛНМ существуют для рассеивающих бил- [c.182]

В связи с этим рассеивающие биллиарды естественно относить к классу неравномерно полно гиперболических систем (см. гл. 7, 1). Можно показать, что построенные локальные многообразия обладают свойствам абсолютной непрерывности (см. гл. 7, 3). Отсюда, согласно общей теории для НПГ-систем (см. гл. 7, 3), сразу вытекает, что эргодические компоненты рассеивающего биллиарда имеют положительную меру, его энтропия положительна и на почти каждой эргодической компоненте поток Т является /С-потоком. [c.183]

С наличием указанного особого множества связано и то, что глобальные устойчивые и неустойчивые многообразия для рассеивающих биллиардов представляют собой подмногообразия, состоящие из счетного числа гладких компонент, весьма сложным образом расположенных в фазовом пространстве. На рис. 8 изображен типичный вид куска глобального расширяющегося слоя для случая с1 — 2. При этом особенности типа точек возврата возникают из-за траекторий, касающихся границы, а типа точек излома — из-за траекторий, попадающих в особые точки дQ. [c.183]

Теорема 1.6. Рассеивающий биллиард эргодичен и является /С-системой. [c.186]

Можно показать [65], что рассеивающий биллиард изоморфен схеме Бернулли. [c.186]

Основная трудность при этом состоит в исследовании соответствующей цепной дроби (8.2), элементами которой в данном случае (с = 2) являются числа, а не операторы. Однако в отличие от рассеивающих биллиардов, когда элементы цепной дроби (8.2) имеют один и тот же знак, отрезок цепной дроби, отвечающий отражению от фокусирующей компоненты дQ, имеет элементы разных знаков, что значительно усложняет исследование ее сходимости. Основным при этом является следующее утверждение ([15], [56]). [c.189]

В работе [59] было построено марковское разбиение со счетным числом элементов для двумерных рассеивающих биллиардов с конечным числом кривых разрыва для преобразований Т и ГгЧ удовлетворяющих также некоторым дополнительным условиям технического характера. [c.194]

Для систем Аносова образ любого ЛНМ под действием динамической системы приобретает очень большие (экспоненциальные по времени) размеры и поэтому за большое время образы всех ЛНМ приблизительно одинаково равномерно заполняют все фазовое пространство. Рассеивающие же биллиарды являются разрывными системами. Поэтому одновременно с процессом растяжения ЛНМ происходит его дробление при попадании его образа на многообразие разрыва преобразования Т. С использованием некоторых дополнительных свойств построенного в [59] марковского разбиения в этой работе показано, во-первых, что процесс растяжения превалирует над процессом дробления и, во-вторых, что существует множество, состоящее из ЛНМ, имеющее большую (а не полную, как для гладких систем) меру, образы которых за большое время достаточно плотно и примерно одинаково заполняют все фазовое пространство биллиарда. [c.194]

Статистические свойства рассеивающих биллиардов к газа Лоренца. Установленные в работе [59] свойства символической динамики позволяют доказать для рассеивающих биллиардов в двумерных областях ряд утверждений, аналогичных некоторым предельным теоремам теории вероятностей. [c.194]

Наиболее важным примером рассеивающего биллиарда является газ Лоренца. Мы дадим сейчас общее определение этой динамической системы. [c.195]

Итак, мы имеем гиперболическое разрывное отображение Г квадрата П в себя. Тем самым, ситуация в некоторых отношениях аналогична случаю рассеивающих биллиардов, рассмотренному в предыдущем параграфе. Однако система Лоренца имеет и ряд существенных отличий. Прежде всего у нее нет естественной инвариантной меры. [c.201]

Опишем некоторые возможные обобщения рассмотренного примера. Прежде всего ясно (ср. с рассеивающими биллиарда- [c.202]

Исследованию поддается частный случай, когда потенциалы рассеивателей являются потенциалами твердых шаров (не обязательно постоянного радиуса). Этому случаю соответствует движение частицы с постоянной скоростью и упругим отражением от границ шаров. В этом случае газ Лоренца изучается методами теории рассеивающих биллиардов (см. [56], [57], гл. 8). Случай периодической конфигурации рассеивателей не- [c.263]

Рис. 7. Примеры областей, в которых биллиард обладает К-свойст-вом, хотя и не является рассеивающим.

Рис. 6.1. Различные типы траекторий в биллиарде с неподвижными рассеивающими областями.

Проведем простой анализ, позволяющий получить аналитические результаты в явной форме [138]. Этот анализ выполняется одинаковым образом как для рассеивающих, так и для нерассеивающих биллиардов. [c.245]

Имеются эргодические биллиарды, не являющиеся рассеивающими. Регулярная компонента границы биллиарда, выпуклая вовне (внутрь) М, называется фокусирующей (рассеивающей). [c.148]

Исследование задачи Крылова о перемешивании в газе упругих шариков было продолжепо в работах Синая [61, 62], рассматривавшего также плоскую задачу, т. е. упруго сталкивающиеся диски. npo Teumuii случай представлял собой два диска в плоском ящике, причем один из дисков жестко закреплен. Заменив закрепленный диск на диск удвоенного радиуса, а движущийся диск — материальной точкой (рис. 2.5), мы приходим к задаче о движении точки в рассеивающем биллиарде. В этом случае удается строго показать наличие перемешивания. Далее, Сипай распространил результат о иеремешиваинн иа тот случай, когда оба диска могут свободно двигаться. Здесь, однако, уже потребовались значительные усилия для решения задачи. [c.59]

Хотя дальнейшее обобщенне решения задачи на случай произвольного числа дисков представляется весьма трудным делом, тем не менее результаты Сипая показали, что появился новый и ин-гереспын с физической точки зрения объект исследования различные типы рассеивающих биллиардов. На рис. 2.6, 2.7 приведены примеры биллиардов типа звезда и типа гусеница . [c.59]

Для двумерных областей это условие эквивалентно строгой лоложительности кривизны границы. Сейчас мы объясним, почему рассеивающие биллиарды являются естественным аналогом гладких гиперболических систем. Обратимся снова к биллиарду в области, изображенной на рис. 5. Предположим для простоты, что Б своих концевых точках регулярные компоненты границы области Q пересекаются трансверсально. [c.180]

Полурассеивающие биллиарды. В пункте 1.5 было показано, что рассеивающих биллиардов условие равномерной гиперболичности выполняется на множестве полной меры. Из общей теории гиперболических систем см. гл. 7, 3) известно, что хорошими статистическими свойствами могут обладать и системы, удовлетБоряющие иным (более слабым) условиям гиперболичности. Оказывается, что для биллиардов ситуация, в какой-то степени, аналогична. Описанию соответствующих классов биллиардов посвящены этот и следующий пункты. [c.187]

Для рассеивающих биллиардов размерности обоих транс-версальных слоений равны d—I, где d — размерность конфигурационного пространства. В полурассеивающих биллиардах размерность слоений зависит от геометрических свойств границы OQ. В работе [46] было показано, что для всех точек х некоторого множества М<=М, содержащего открытое всюду плотное подмножество М, существуют проходящие через них локальные трансверсальные слои. При этом функция, равная размерности расширяющегося (сжимающегося) слоя, принимает постоянное значение на отрицательной (положительной) полутраектории точки х. Отсюда вытекает в, частности, что энтропия полурассеивающего биллиарда положительна. [c.188]

Марковские разбиения и символическая динамика для рассеивающих биллиардов. Для рассеивающих биллиардов может быть построено марковское разбиение (определение см. в гл. 7, 3). Однако в отличие от гладких систем, для которых (например, для систем с аксиомой А) существует конечное марковское разбиение, в случае биллиардов на это не приходится надеяться, так как в силу разрывного характера преобразования Т регулярные кохмпоненты глобальных устойчивого и неустойчивого многообразий могут быть сколь угодно малыми. [c.193]

Эти свойства проще всего сформулировать на языке динамической задачи, соответствующей уравненпям (б.З) или (6.1). Действительно, асимптотические решения этпх уравнений для больших номеров собственных функций и собственных значений определенным образом выражаются через решения задачи о классической динамике частицы с гамильтонианом Н. Поскольку качественные свойства классических траекторий резко меняются, то должны изменяться и свойства функций распределения расстояний между уровнями. Заметим, что достаточно, например, в квадрате слегка изогнуть одну из его стенок так, чтобы она стала рассеивающей, как классические траектории частицы в таком биллиарде становятся стохастическими. При этом происходит сильная перестройка функции распределения расстояний между уровнями. Однако число состояний Л (Х) прп этом изменяется незначительно или не изменится вовсе. [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...