Плотность энергии каноническая

Сравнивая ( ) и ( ), приходим к Компоненты канонического 4-тензора имеют размерность плотности энергии. Тензор Т часто называют тензором энергии—пмпульса (см., например, [c.137]

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

Мы пришли бы к тому же результату, если бы мы приняли плотность за произвольную функцию энергии между границами s и а" и равной нулю вне этих границ. Таким образом,, предельное распределение, получающееся из части канонического ансамбля между двумя границами энергии, при бесконечном уменьшении разности между граничными значениями последней не зависит от модуля, но вполне определяется энергией и тождественно с предельным распределением, получающимся, если исходить из равномерной плотности между границами энергии, приближающимися к одному и тому же предельному значению. [c.119]

В 9, в заключении статьи, Пуанкаре доказывает, что если начальная плотность вероятности была канонической функцией квадрата скорости, то при любых, как адиабатических, так и неадиабатических, изменениях внешних параметров кинетическая энергия в любой, более поздний (в частности, сколь угодно близкий) момент будет больше. В этом выводе Пуанкаре использует свойство тонкой энтропии сохранять свою величину. Следовательно, рассуждения Пуанкаре относятся к Г-пространству (так как только в Г-пространстве можно гово-рить об этом свойстве). Но в Г-пространстве величина, рассматриваемая им как кинетическая энергия системы, не имеет ничего общего с кинетической энергией данной системы,. а является средней кинетической энергией ансамбля. Доказываемое же им утверждение оказывается тривиальным следствием предположения о плотности распределения ансамбля в начальный момент, не имеющим никакого отношения к изме- [c.51]

Матрица плотности (10.1) описывает системы, которые могут обмениваться энергией и частицами с окружающим термостатом, т. е. системы, находящиеся при постоянной температуре и давлении Р большой канонический ансамбль). Термодинамический потенциал Ф определяется из условия нормировки матрицы плотности [c.53]

В каноническом ансамбле системы распределены в Г-пространстве с плотностью 9) = ехр[—рЯ(р, д)], которая представлена на фиг. 51. Плотность точек при удалении от начала координат Г-пространства падает экспоненциально. Распределение систем по энергиям находится подсчетом точек, расположенных на соответствующих энергетических поверхностях. При удалении от начала энергия увеличивается, но увеличивается также и площадь энергетических поверхностей. Вот почему и возникает пик в распределении по энергиям. Острота этого пика зависит от быстроты роста площади энергетических поверхностей с увеличением энергии Е. Для системы N тел эта площадь растет как е , где Е [c.180]

Вывод канонического распределения. Пусть I2 Е) — плотность состояний термостата, Et — полная энергия составной системы (т. е. рассматриваемой системы плюс термостат), Ei — энергия Z-ro квантового состояния системы Et Е E ). Согласно принципу равной вероятности, вероятность реализации квантового состояния I пропорциональна числу допустимых микроскопических состояний, которое равно I2 Ef — Ei) ЬЕ. Следовательно, [c.36]

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Мы использовали для перехода от канонического тензора энергии-импульса к симметричному соображения сохранения момента и структуру канонического тензора его плотности, выразив добавок через h-ju. Практически часто удобнее другой путь пользуясь тем, что от тензора fi-jh фактически требуется лишь антисимметрия по последним индексам и что он должен, очевидно, быть построен только из функций, поля и их первых производных, бывает проще догадаться, какую величину fi-, jh надо выбрать, чтобы она симметризовала тензор энергии-импульса. Если это удается, то тензор плотности [c.204]

Рассмотрим теперь несколько ближе каноническое распределение (64) как мы знаем ( 20), закон распределения энергии Е системы С (рассматриваемой как малая компонента системы С ) дается плотностью [c.75]

Компоненты канонического 4-тепзора Т а имеют размерность плотности энергии ). Тензор Т а часто называют тензором энергии-импульса (см., например, [c.671]

Уравнение (10.228) выражает закон сохранения энергии, если Л и S интерпретировать как плотность энергии и плотность тока ссстветственно. В локально инерциальной системе уравнення (10.227) эквивалентны уравнениям (6.2) и (6.3). Как мы сейчас увидим, (каноническая) плотность импульса [c.293]

Когда мы рассчитываем, например, величины (АЕУ и ANy с помощью канонического распределеиия, то мы определяем флуктуацию общей величины энергии Е и общего числа N в статистической системе, помещенной в термостат (температура, входящая в каноническое и большое каноническое распределение w , не флуктуирует). Эти флуктуации для всей системы в целом, конечно, малы (мы получим, см. задачи 8,10, что АЕу N ANy ЛГ и что 6е ЛГ / 6if ЛГ / ). По, помимо флуктуаций общего уровня энергии изотермической системы и общего числа частиц в ней, в отдельных областях системы могут происходить гораздо ббльшие по относительной величине отклонения локальных значений плотности энергии и числа частиц от среднего уровня (эти отклонения не обязательно должны [c.21]

М. р. Г. неудобно для практик, применений, т. к. для вычисления W нужно найти плотность распределения квантовых уровней для системы из большого числа частиц, что представляет собой сложную задачу. М. р. Г. важно для теорегич. исследований, т, к. из всех Гиббса распределений оно наиб, тесно связано с механикой. С помощью М. р. Г. доказывается теорема Гиббса о том, что малая подсистема большой системы, распределённой по М. р. Г., соответствует каноническому распределению Гиббса. Для конкретных задач удобнее рассматривать системы, находящиеся в тепловом контакте с окружающей средой, темп-ра к-рой постоянна (с термостатом), и применять кавонич, распределение Гитоса или рассматривать системы, для к-рых возможен обмен энергией и частицами с термостатом, и использовать большое каноническое распределение Гиббса. [c.137]

Таким образом, широко используемые в термодинамике жид костей и газов свободная энергия Гельмгольца F( T, V) и тер модинамический потенциал Гиббса Ф(Р, Т) —F-j PV не явля ются характеристическими функциями для параметра порядка и сопряженного ему поля . Ьолее того, сам термодинамический потенциал Гиббса, приходящийся на одну частицу, т. е. химический потенциал вещества ([i=0/iV), выступает в качестве поля . Термодинамическими функциями, зависящими от плотности и химического потенциала, являются соответственно плотность свободной энергии I F—FjV) и плотность термодинамического потенциала —PV —P=Q/V. Термодинамический потенциал Q широко используется в статистической термодинамике систем с переменным числом частиц и связан с большим каноническим распределением [1] [c.18]

В данной главе мы неоднократно подчеркивали тот факт, что правомерность использования в термодинамике моделей равновесных ансамблей не обеспечивается автоматически, ибо она критическим образом зависит от природы гамильтониана. Рассмотрим теперь эту связь более подробно, ограничиваясь слзггаем классической механики, а в этих рамках — каноническим ансамблем. Для этого ансамбля ключевой является формула (4.4.12). В разд. 4.4 уже было показано, что функция А (Т, N) обладает формальными свойствами, позволяющими отождествлять ее с термодинамической свободной энергией, при условии, что таковая существует] Сам факт возникновения проблемы существования связан с тем, что мы неоднократно использовали переход к термодинамическому пределу для эмпирического подтверждения многих этапов наших рассуждений. Окончательное строгое обоснование равновесной статистической механики, таким образом, покоится на апостериорном доказательстве того, что фушщия А Т, N) существует в термодинамическом пределе. Более точно, мы должны доказать, что А (Т, N) представляет собой экстенсивную функцию, или, эквивалентно, что плотность свободной энергии а = А конечна в термодинамическом пределе (3.3.1) и поэтому зависит только от плотности п = Nl i (а также от температуры) [c.158]

Рассмотрим сначала временной ансамбль s системы в целом (происходящий из какой-нибудь области начальных состояний). Этот ансамбль определит, очевидно временные ансамбли всех частей системы. Будем предполагать, что порождаемые им временные ансамбли малых частей гиббсовы. Тогда определяем мая ансамблем s вероятность осуществления таких состояний системы в целом, при которых энергия г-й части = г заключена в любых данных пределах, равна вероятности тех же состояний, определяемой микроканоническим ансамблем М). Иначе говоря, если рассматривать как координату в фазовом пространстве целой системы, то плотность вероятности микро-канонического ансамбля и ансамбля s должны быть одинаковыми функциями координаты т. е., говоря точнее, если обозначить через тМ(г ) меру той части микроканонического ансамбля, которая соответствует состояниям с энергией г-й части, меньшей чем а через ni.s z ) — соответствующую [c.31]

До сих пор мы проводили рассмотрение метода Монте-Карло в применении к обычному каноническому ансамблю Гиббса, для которого этот метод и был первоначально предложен и которому посвящено наибольшее количество из опубликованных к настоящему времени работ. Однако метод Монте-Карло может быть использован для оценки любых средних типа (1), и, следовательно, по крайней мере в принципе, его можно использовать для всех стандартных статистических ансамблей, а также и в других задачах, например для вариационной оценки энергии основного состояния жидкого Не, о чем мы будем говорить ниже. Чезнут и Зальсбург [17], по сути дела, использовали этот метод при вычислении свойств решеточного газа в большом каноническом ( FГ)-aн aмблe. Расчет в рамках большого канонического ансамбля свойств модельной системы (например, системы твердых сфер), достаточно правильно отражающей свойства реальных жидкостей, представляет большой интерес. Безусловно, могут быть даны разнообразные формальные рецепты таких расчетов, однако до сих пор не появилось ни одного расчета, который мог бы быть использован в интересующем нас диапазоне плотностей. Ниже будут рассмотрены некоторые до настоящего времени не опубликованные результаты для твердых дисков и твердых сфер, полученные для изотермически-изобарического, или ТУ У-ансамбля. При этом будут приведены соответствующие теоретические формулы. Основным соотношением для этого ансамбля, занимающим такое же место, что и соотношение (24) для 77 -ансамбля, является онреде- [c.293]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Раздел Задачи и дополнительные вопросы к главе 1 включает 44 задачи, часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры, связанные с использованием методов формальной теории вероятностей (1-5), в разделе Канонические распределения и теория флуктуаций — исследование общего вопроса о гауссоюсти распределения по энергии и числу частиц в рамках канонического распределения Гиббса, в разделе Классические системы — задачи 24, 25, а также 44, связанные с использованием величин рк — фурье-компонент плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациями плотности, в задачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов (резонатор, струна равновесному электромагнитному излучению посвящен самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния света на флуктуациях плотности. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...