Многообразие с краем

Определение 1. Многообразие с краем называется отрицательно инвариантным для векторного поля, если поле во внутренних точках многообразия касается его, а на краю тоже касается и направлено наружу. [c.153]

Определение 2. Отрицательно инвариантное для поля v многообразие с краем называется притягивающим, если существует окрестность многообразия М, неотрицательная функция р в этой окрестности и положительное t такие, что [c.153]

Теорема. Пусть v — гладкое векторное поле, М — его отрицательно инвариантное многообразие с краем. Як и Ят — соответствующие показатели, и натуральное г удовлетворяет условию [c.154]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Многообразие ограничивает некоторое гладкое многообразие с краем N С В. Покажем, что в N существует пе-самопересекающаяся геодезическая 7 с концами на Р и (5, ортогональная дМ = в своих концах. [c.142]

Изучить сингулярные интегральные уравнения, распространенные на многообразиях с краями, и получить формулы вычисления индекса для таких интегральных операторов. [c.199]

Этого можно было избежать, если бы теория Фредгольма была доказана, например, для функционального уравнения (5.28) или для соответствующего интегрального уравнения. Это уравнение представляет собой нагруженное сингулярное интегральное уравнение, причем присутствует интеграл по объему (многообразие с краем) и интеграл по замкнутой поверхности указанного объема. [c.499]

В строгой теории абстрактная риманова поверхность представляет собой двумерное ориентируемое многообразие (с краем или без него). При этом проекция римановой поверхности на плоскость (в нашем случае — плоскость годографа uv) представляет собой двумерное накрытие, при котором прообраз (при отображении /) некоторой окрестности U W) каждой точки W распадается на открытые подмножества, гомеоморфно отображающиеся посредством / на U. [c.28]

Гюйгенс (1654) обнаружил, что эвольвента плоской кривой имеет точку возврата в том месте, где она подходит к кривой (рис. 252). Эвольвенты и их многомерные обобщения — это волновые фронты на многообразии с краем. Особенности волновых фронтов, как и особенности систем лучей, классифицируются группами, порожденными отражениями. [c.446]

Соответствующая каустика изображена на рис. 268. Группа Я4 связана с четырехмерным пространством базы версальной деформации (эта связь уже указывалась в замечании 7 9 статьи Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей//УМН.—1979.— Т. 34, вып. 2.- С. 3-38). [c.464]

Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли б)к, С%, F и особенности эволют. Успехи мат. наук, 1978, ЗЗу № 5, 91—105 [c.236]

Функции на многообразии с краем [c.10]

Под эквивалентностью функций разного числа переменных здесь понимается стабильная эквивалентность на многообразии с краем. [c.11]

Рассмотрим комплексную ситуацию. Перейдем от многообразия С с краем х—0 к его двулистному накрытию, разветвленному вдоль края, положив J =z , у у. На накрытии имеется естественная инволюция z,y)>- —г, у). Ростку функции f x,y) на многообразии с краем отвечает росток /(z y), инвариантный относительно инволюции. Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответствие между функциями на многообразии с гладким краем и функциями, инвариантными. относительно инволюции пространства С", сохраняющей под- [c.11]

Будем считать критическими точками функции на многообразии с краем ее критические точки на объемлющем пространстве и критические точки ее ограничения на край. Тогда почти при любом значении леС " функция Ф(-,Я.) имеет ровно ц= = Ц1+Ио различных критических значений, принимаемых в достаточно малой окрестности точки ОбС". Росток в нуле гиперповерхности ЗсС ", являющейся дополнением к множеству указанных значений параметров деформации, называется бифуркационной диаграммой функций краевой особенности f. [c.16]

Если f(x.y)—функция на многообразии с краем дс=0, то двойственная функция дается формулой z, х, y)=zx- -f Xr у) (уравнение края z=0). Легко видеть, что ограничение f на край эквивалентно f, а ограничение f на край стабильно эквивалентно Р кроме того, f стабильно эквивалентна f (как функция на многообразии с краем). [c.20]

Функции на многообразии с особым краем. В этом пункте мы приводим полученную в [72] классификацию простых и унимодальных критических точек функций на многообразии с краем, имеющим изолированную особенность. Часть этой классификации связана с группами h p), G2 и Яз, порожденными отражениями [112]. [c.20]

На множестве троек с фиксированной размерностью объемлющего пространства действует группа ростков диффеоморфизмов (С , 0). Она задает отношение эквивалентности. Ясно, что эквивалентные функции на многообразии с краем имеют эквивалентные особенности края. [c.21]

Предположим, что край имеет изолированную простую осо-. бенность. Тогда классификация функций на многообразии с краем сводится к описанию орбит группы ростков диффеоморфизмов, сохраняющих фиксированную гиперповерхность Vi Алгебра Ли Яу- этой группы состоит из векторных полей и, касающихся края, то есть из тех, для которых vh nh. [c.21]

Пусть / (С", 0)- (С, 0)—функция на многообразии с краем. Рассмотрим пространство С , т>п, с координатами хх,..., Хт И отображение р С С", состоящее в забывании последних т—п координат. Определим в С край V — == h xu. .., ... +дс =0 и функцию На- [c.21]

Кратность критической точки функции-на многообразии с краем 14 [c.252]

Место полюсов 156 Многообразие с краем 10 [c.252]

Гиперболические динамические системы с особенностями (общий подход). Рассмотренные выше классы биллиардов, являются примерами гиперболических динамических систем,, действующих на многообразиях с краем и имеющих особенности (например, разрывы) на множестве меры нуль. [c.191]

Пусть /(ж, у) (ж 6 R, у R" ) есть росток функции в критической точке О п-пространства с краем ж = 0. Его лагранжево дуальная функция определяется формулой f z, ж, у) = zx + f x, у), где уравнение дуального края — z = 0. Ограничение / на край есть /, в то время как ограничение / на край стабильно эквивалентно /. Кроме того / , рассматриваемая как функция на многообразии с краем, стабильно эквивалентна /. [c.175]

Мы будем использовать зти изоморфизмы для определения исчезающих циклов и полуциклов на полных пересечениях в многообразиях с краем. [c.179]

Эти свойства полукубической параболы — её дополнение есть пространство К тг, 1) типичное векторное поле может быть выпрямлено — присущи и многим другим бифуркационным диаграммам. Например, оба эти свойства имеют место для ласточкина хвоста (см. рис. 3), для бифуркационных диаграмм нулей простых функций на многообразиях с краем и для бифуркационных диаграмм простых проектирований. [c.183]

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и m — гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [c.158]

Нам нужно будет также рассмотреть поверхности с краем. Пусть S — двумерное, связное, ограниченное многообразие с краем (вообш,е не компактное). Такую поверхность S мы будем называть разомкнутой поверхностью. Включение S Л (а) определяется так же, как в определении 15.5, но все условия определения, указанные в 15.5, должны выполняться для точек множества S, где S — замыкание множества 5 в пространстве [c.63]

Относительно граничных задач типа в) отметим следующее. Эти задачи, без всяких затруднений, можно свести к сингулярным интегральным уравнениям, распространенным на открытых многообразиях (на многообразиях с краями). Общая теория подобных уравнений до настоящего времени не разработана с такой полнотой, чтобы было возможно применить ее в задачах механики. Читатель, который интересуется этими вопросами, может обратиться к сборникам, цитированным в главе IV, 8, а также к работе Вишик, Эскин [11- [c.447]

Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, н особые проекцн гладких псжерхностей. Успехи мат. наук, 1979, 34, № 2, 3—38 [c.236]

Многообразие с краем — это гладкое (вещественное или комплексное) многообразие. с фиксированной гиперповерхностью. Две функции на многообразии с краем считаются эквивалентными, если одна переходит в другую при диффеоморфизме многообразия, переводящем край в себя. Классификация функций на многообразии с краем тесно связана с группами Ли Bh, ft, 4, Gz, и группами Кокстера Яз, h p), диаграммы Дынкина которых имеют кратные ребра [112]. а связь аналогична связи, наблюдающейся между группами Л , >л, Ек и особенностями функций на гладких многообразиях без рая [22, 2.5]. [c.10]

Замечание. Рассмотрим на многообразии с краем типа Лг версальную деформацию особенности, которая в нашей классификации обозначена Ль Кроме дискриминантных значений параметра, выделенных ранее, будем считать дискриминантной еще и плоскость Хб=0, отвечающую многообразиям нулей, проходящим через особую точку края. Получающийся в расширенный дискриминант биголоморфно эквивалентен множеству нерегулярных орбит группы Gz. [c.23]

Обратим внимание на то, что список 2) простых проектирований гиперповерхностей в данном случае — в точности список простых функций на многообразии с краем ы=0 (см, п. 1.1). Это есть следствие квазиоднородности всех простых и огораживающих краевых особенностей. [c.53]

Из приведенного определения непосредственно видно, что-биллиарды можно рассматривать как геодезические потоки на римановых многообразиях с краем с условием отражения от него по закону угол падения равен углу отражения . Биллиард в области Q можно определить и как гамильтонову систему с потенциалом У д)=0 при eInt <Э и 1/( ) =оо при д дЯ. [c.175]

В ЭТОЙ книге собраны главные результаты, полученные при реализации описанной выше программы, начиная с 1972 года, когда была открыта связь между особенностями систем лучей, их каустик, волновых фронтов, преобразований Лежандра, групп, порождённых отражениями, и групп Вейля [2]. Группы Л, О, Е (имеющие только простые рёбра в диаграммах Дынкина) появились в первую очередь. Впоследствии, в 1978 году, была открыта юаимосвязь между группами с двойными рёбрами [В, С, Р) и особенностями на границе (например, особенностями функции расстояния до многообразия с краем) (см. [3]). [c.4]

Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114]

Классификации особенностей различных объектов показывают, что алгебраически наиболее естественны классификации простых объектов, то есть объектов, не имеющих модулей. Так, классификация простых критических точек функций, простых особенностей гиперповерхностей, простых лагранжевых и лежандровых особенностей, простых особенностей каустик и волновых фронтов ведёт к списку Ет, Е диаграмм Дынкина, не имеющих кратных рёбер (углов, отличных от 120° между неортогональными простыми корнями), см. [2], Классификация простых критических точек функций на многообразии с краем ведёт к тому же списку, дополненному диаграммами В , С , F4 (допускаются углы в 135°). [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...