Кратность критической точки функции

Кратность критической точки функции-на многообразии с краем 14 [c.252]

Лемма. Кратности критических точек функции длины чётны. [c.261]

Гладкая функция на п-мерном торе имеет не менее 2" критических точек, считая кратности, в том числе не менее п -Ь 1 геометрически различных (см., например, М и л н о р. Теория Морса.— М. Мир, 1965). [c.389]

Локальная алгебра и кратность особенности. Пусть / (С , 0)- -(С, 0)—росток голоморфной функции, имеющей в нуле критическую точку. Рассмотрим градиентный идеал порожденный частными производными fi= [c.14]

Пример. Функция f(j ) =j имеет в нуле изолированную критическую точку кратности 2, функция g(x, у) =ху имеет неизолированную критическую точку в каждой точке оси абсцисс. [c.14]

Теорема ([]356], [16]). р,.+ 1-струя функции в критической точке кратности ц достаточна. [c.16]

Сопоставим точке A, базы версальной деформации полином степени [х, корнями которого является ц критических значений функции F -,K) с учетом их кратностей. Тем самым определено отображение Р базы Л в пространство О, которое отображает гиперповерхность S в дискриминант А с (множество полиномов, имеющих кратные корни). Дополнение С ХД является пространством i (n, 1) с фундаментальной группой, изоморфной группе кос Вг(ц) из ц нитей (пример п. 5.4). [c.139]

Теорема. Фундаментальная группа пространства функций на вещественной прямой, не имеющих критических точек кратности превышающей 2, изоморфна группе целых чисел. [c.141]

В пространствах версальных деформаций функций с простыми критическими точками О.П.Щербак нашёл (максимальные) страты функций, критические точки которых имеют чётные кратности. [c.262]

Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых интегралов, полиномиальных по и и г . Легко видеть, что каждый такой интеграл является конечной суммой квазиоднородных полиномиальных интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным ик. V равны соответственно 1 и 2. Итак, пусть Г и,ь) — квазиоднородный интеграл системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 3, если точка щ = [/ , Vi = Vi, где /7 , Vi определяются из (4,17), не является критической точкой функции Г, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому условию исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16). Екли имеются к квазиоднородных интегралов одной и той же степени т, независимых в точке и, ь) = и, V), то корень р = т имеет кратность не менее к. [c.356]

Теорема. Кратность критической точки равна числу мор-совских критических точек, на которые она распадается при малом шевелении функции. [c.15]

Из теоремы, в частности, вытекает, что кратность критической точки О полуквазноднородной функции / равна кратности критической точки ее квазиодиородной части ц(/)=ц(/о). Бо- [c.39]

Из формулы Римана-Гурвица (7.2) для отображения f Vg Vng следует, что nxiУng) x(Уg) равно числу критических точек функции / на Vg, подсчитанных с их кратностями. Поскольку Vg, очевидно, связно для достаточно больших g, выведите, что Vg связно тогда и только тогда, когда оно содержит все п — 1 критические точки функции /. [c.127]

Как отмечалось в начале главы, функция общего положения может иметь только невырожденные критические точки. В семействе функций, зависящем от параметров, могут появляться. критические точки с большей кратностью, не устранимые при малых шевелениях этого семейства. Указанные утверждения вытекают из теоремы трансверсальности Тома, приведенной в. гл. 3. Простейшим примером такого семейства для критической точки кратности х является ее усеченная миниверсальная Деформация (п. 1.11). [c.15]

Пусть f С"—v имеет вырожденную критическую точку а кратности (х. Рассмотрим малое шевеление исходной функции f,=f+гg При подходяще выбранной функции д (можно, например, использовать линейную функцию общего положения), функция fг переменной г будет морсовской при всех достаточно малых значениях параметра е в малом шаре II с центром в а. [c.59]

Пусть уто(/)=иуг — разложение полярной кривой на непрн водимые компоненты, ш —линейная функция общего положения Тогда если функция / имеет изолированную особенность в нуле, ограничение / .( "", 0)- (С, 0) также нмеег изолированную особенность. Обозначим их кратности (х = л(/), л = л(/ о). Из изолированности особенности / а,=о вытекает, что любая компонента уг полярной кривой не содержится в гиперплоскости 10—0 и ограничение / у.фО. Обозначим через ГгО первый член разложения Пюизо f y по переменной -а . Тогда Р >1, т.к. критические точки /— К-га, лежащие на определяются уравнением — = и стремятся к нулю [c.81]

Теорема. Страт Максвелла в пространстве функций на прямой (соответственно в пространстве многочленов, R ) ко-ориентируем. Его граница (как цепи с замкнутыми носителями) с учетом коориентации есть естественным образом коори-ентированный цикл Лз функций (многочленов) с критической точкой кратности большей 2 (как. [c.222]

Том (неявно) предполагал, что утверждения а), Ь), с) выполнены для всех ростков функций, входящих в типичные четырехпараметрические семейства функций, т. е. для ростков функций в критических точках кратности ц 5. [c.125]

Особеиности коранга один. Для критических точек кратности ц З, т. е. для всех, встречающихся в типичных одно- и двупараметрических семействах функций (и, более общим образом, для всех критических точек Л ), утверждения а), Ь) и с) верны. Это следует из того, что они, очевидно, верны на прямой. Градиентная система с особенностью типа Л , вместе со своей версальной деформацией, сводится к одномерной градиентной системе по общей тесюеме сведения, доказанной в 1971 г. А. И. Шошитайшвили [96], [97]. Исследование градиентных систем (и их бифуркаций) с точностью до гомеоморфизмов эта теорема сводит для критических точек ко- [c.125]

Контпример Гукенхеймера. Гукенхеймер [167] опроверг утверждения а) не), приведя пример плохой критической точки кратности 4 (типа >4 ). А именно, градиенты функций первой приходящей в голову версальной деформации функции (в стандартной нормальной форме на евклидовой плоскости) не образуют версальной дес рмации градиента исходной функции. [c.127]

В глобальной ситуации, мы можем рассмотреть пространства (вещественных) гладких функций на данном дифференцируемом многообразии, с некоторыми ограничениями на критические точки этих функций (например, пространства морсовских функций, пространства функций с особенностями кратности меньшей чем f и т. д.). Топологические и гомотопические инварианты таких пространств доставляют, в принципе, инварианты дифференцируемой структуры исходного многообразия. [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...