Шаровые точки инерции

Пример 3. Для точек, которые были названы фокусами инерции, два главных момента инерции равны. Показать, что в общем случае нет такой точки, чтобы моменты инерции относительно всех осей, переходящих через нее, были одинаковы. Найти условия, при которых эта точка может существовать. Такие точки, если они существуют в твердом теле, называются шаровыми точками инерции этого тела. [c.53]

Пример 4. Шаровыми точками инерции полусферы являются ее центр и точка на поверхности. Найти шаровые точки для объема полусферы. [c.53]

Из примера 8 п. 5 следует, что моменты инерции полусферы относительно любой оси, проходящей через ее центр, одинаковы. Следовательно, центр есть шаровая точка инерции. Так как центр тяжести делит пополам расстояние между шаровыми точками, положение другой точки определяется сразу. [c.53]

Шаг винта 211 Шаровые точки инерции 53 [c.463]

Если точка О является шаровой, то оси O x y z будут главными осями инерции и, следовательно, [c.139]

Три последние соотношения будут одновременно удовлетворены, если обращаются в нуль две координаты точки О, другими словами, шаровые точки могут лежать на главных осях центрального эллипсоида инерции. Не уменьшая общности, допустим, что , = 0, 1Г) = 0. В этом случае для шаровой точки О все моменты инерции А, В, С относительно осей O x y z должны быть равны между собой и моменты эти могут быть определены по теореме Штейнера [c.139]

Отсюда следует равенство А = В, т. е. если шаровая точка существует на оси Z, то центральный эллипсоид инерции должен быть эллипсоидом вращения вокруг оси z. Затем для получим уравнение [c.139]

У к, Zf ) является шаровой точкой, то любая ось, проведенная из точки к, является главной осью инерции. [c.193]

О. И. Богоявленский [21] установил полную интегрируемость этой задачи в случае шарового тензора инерции, сведя уравнения вращения к уравнениям задачи Неймана о движении точки по трехмерной сфере с квадратичным потенциалом. Для доказательства воспользуемся тождеством Эйлера [c.95]

В этом случае на оси неравных моментов инерции имеются две шаровые точки. [Пуассон и Бине. ] [c.53]

Для волчка Эйлера и = 3, к = 1 (единственная функция Казимира — квадрат модуля момента), в = 1 (если тензор инерции не шаровой, то интеграл энергии независим с функцией Казимира). Соотношение (5.9) выполнено и поэтому группа 50(3) расслоена на двумерные торы — поверхности Бернулли. [c.182]

Примеры. 1°. Моменты инерции однородного шара. Пусть р — плотность. Найдем сначала момент инерции (т шара относительно его центра. Этот момент является функцией радиуса / . Когда последний получает бесконечно малое приращение dR, тогда приращение др является моментом инерции шарового слоя массы 4яУ 2р относительно точки, находящейся на постоянном расстоянии Н (рис. 179). Следовательно, [c.17]

Усилия, действующие на барабан мельницы вес барабана с венцом и торцевыми стенками Gg, центробежная сила инерции шаровой загрузки Р вес шаров и топлива G ut окружное усилие, т. е давление, оказываемое малой шестерней на зубья венца, Я). Сила Gf приложена в центре сечения барабана. Сюда же можно переместить и точки приложения остальных сил, причём для силы Яг это осуществляется простым пере- [c.109]

Пример 112. Определить точки, для которых эллипсоид инерции представляет собой шар (такие точки называют шаровыми). [c.381]

Из первой главы мы знаем, что наличие силы упругости и инерции служит при определённых условиях причиной возникновения волнового движения. Именно упругость и инерция воздуха приводят к образованию упругих волн в воздухе. Упругая воздушная волна образуется при внезапном изменении плотности воздуха, т. е. при появлении сгущения или разрежения в какой-нибудь точке. Когда, например, лопается сильно надутый резиновый шар, освободившийся сжатый воздух ударяет об окружающий воздух, находящийся при нормальном давлении, и расталкивает его во все стороны. Вследствие своей инерции воздух не может расшириться мгновенно, и более близкий слой оказывается сжатым. Этот слой благодаря объёмной упругости воздуха снова расширяется и при этом сжимает следующий наружный слой, который, в свою очередь расширяясь, сжимает следующий слой. Так в воздухе возникает шаровая упругая волна состояния сжатия и разрежения передаются от одного слоя к другому. В воздушной волне каждая частица воздуха движется взад и вперёд по направлению движения волны, т. е. по радиусам, проходящим через центр лопнувшего мяча. Таким образом, в воздушной упругой волне частицы колеблются в направлении распространения волны такая волна называется продольной. Вспомним, что движение частиц в волнах на воде имеет совсем другой характер частицы воды совершают движение по круговым орбитам, причём плоскость кругов лежит в направлении распространения волны. [c.52]

Введение понятия о главных моментах инерции дает возможность произвести классификацию твердых тел по их инерционным свойствам. Твердые тела, у которых все три главных момента инерции различны, называют асимметрическими волчками. Примером асимметрического волчка может служить однородное тело, имеющее форму прямоугольного или косоугольного параллелепипеда. Если два главных момента инерции равны друг другу, а третий не равен им, т. е. если У1 = Уз =й Уз, то твердое тело называют симметрическим волчком. Симметрическим волчком является любое однородное тело вращения, правильная прямоугольная призма. Наконец, если совпадают между собой все три главных момента инерции, то твердое тело называют шаровым волчком- Примерами шаровых волчков могут служить однородные шар и куб. [c.287]

Если среди моментов инерции тела относительно главных осей в данной точке нет равных, то эллипсоид инерцни называется трехосным. При двух равных моментах инерции (например, = 1у) эллипсоид инерции превращается в эллипсоид вращения. Если же х 1ц — ТО эллипсоид инерции вырождается в сферу соответствующие Точки называются шаровыми. [c.483]

Шаровые точки. Точка О, относительно которой эллипсоид ииерцпи есть шар, называется шаровой точкой. Определим условия, при которых существуют у материальной системы шаровые точки, и найдем эти точки. Для простоты анализа проведем через точку О ( , т], оси координат O x y z, параллельные главным осям Oxyz центрального эллипсоида инерции. Координаты точек материальной системы в этих осях связаны формулами [c.139]

Таким образом, для существовашя шаровых точек необходимо, чтобы центральный эллипсоид инерции являлся сплюснутым (1 > 1у ) эллипсоидом вращения. В этом случае на его неравной оси будут находиться две шаровые точки, расположенные по обе стороны от центра на равных расстояниях. [c.194]

Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции А = АЕ, А = onst, Е = в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в [18, 89] (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле V = V(7) динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей (М,7) = О эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере S . Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами е(п), она подробно обсуждается в [31]. [c.325]

Доказательство f повторяет рассуждения 1 главы I. Если тензор инерции I не шаровой, то h onst и поэтому поле v не коллинеарно своему ротору. [c.161]

Решение. Центр масс шара совпадает с его центром С. Как и в примере 1.14.9, назначим произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с началом в точке С и направляющими единичными векторами ei, ез, ез. Найдем момент инерции щара относительно точки С. С этой целью разобьем радиус щара на п одинаковых частей и рассмотрим совокупность концентрических сфер с радиусами р, = 1Я/п. Вычислим массу шарового слоя между соседними сферами с радиусами Р. и pi i [c.70]

На сх. б—д — планетарные В. Бегунок 5 с неуравновешенной массой 2 — сателлит планетарногр фрикционного м., обкатывается по внутренней поверхности корпуса 6 (сх. б) или по внешней поверхности выступа 7 (сх. е). Бегунок подвешен к валу двигателя ] посредством поводка 4 с шаровыми шарнирами. Прижимается бегунок к указанной поверхности благодаря силам инерции. Так как ось бегунка перемещается вокруг оси вала 1, а кроме того, бегунок вращаете вокруг своей оси, то получаются двухчастотные колебания. Частота перемещения оси бегунка равна частоте вращения двигателя, а частота вращения бегунка равна частоте вра- [c.36]

Поместим начало координат О в центре масс системы, а за направление эсей координат х, у, г выберем главные оси центрального эллипсоида инерции. Координаты искомой точки О обозначим через 1], Если точка О шаровая, го любые прямоугольные оси, проходящие через нее, будут главными осями инерции. Проведем оси х, у, г , параллельные осям х, у, г сооответственно. Будем иметь [c.381]

Координата будет иметь действительное значение, если С Л, т. е. централь ный эллипсоид инерции должен быть либо шаром, либо сжатым по оси г эллип соидом. В последнем случае шаровыми будут две точки оси г, симметричнс расположенные относительно центра масс. [c.382]

Для бесконечно тонкой шаровой оболочки, рассмотренной в 5 гл. XI, мы имеем такой момент инерции относительно ее центра О б//о = 4яур р отсюда для однородного шара радиуса Н найдем [c.487]

В качестве примера рассмотрим задачу Эйлера о вращении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки. Пространством положений N служит группа 50(3). Кинетический момент твердого тела постоянен в неподвижном пространстве. Фиксируя его ненулевое постоянное значение, можно представить кинетический момент тела в подвижном пространстве в виде функции от положения твердого тела. В результате на группе 50(3) появляется стационарное трехмерное течение можно проверить, что оно вихревое. Функция В в нашей задаче постоянна на 50(3) лишь в том вырожденном случае, когда тензор инерции шаровой поэтому в типичной ситуации rot и х г> 0. Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях Бернулли Г = х В х) = с , которые при некритических значениях с диффеоморфпы двумерным торам. Отметим, что критических значений всего три они совпадают с энергией вращения твердого тела вокруг главных осей инерции (при фиксированном значении кинетического момента). [c.72]

С. В. Болотин указал интересное применение теоремы 2 в динамике твердого тела. Речь идет о возмущении приведенной задачи Лагранжа, рассматривавшейся в п. 2. Если постоянная площадей равна нулю, то характеристические числа неустойчивого равновесия оказываются вещественными, и поэтому теорема Деванея неприменима. В [29] показано, что если тензор инерции не шаровой, и центр масс тела несколько смещен относительно оси динамической симметрии (при этом его г-координата отлична от нуля), то возмущенная задача Лагранжа допускает не являющуюся главной трансверсальную гомоклинную траекторию к слабо нерезонансному положению равновесия. Для построения нужной траектории используются идеи теории возмущений (см. 1). Эта задача обсуждается также в работе [51]. [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...