Интегралы движения инволюция

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

А. Невозмущенное движение. Система с гамильтонианом Но (/) имеет п первых интегралов в инволюции п переменных действия). Каждое множество уровня всех этих интегралов представляет собой .-мерный тор в 2п-мерном фазовом пространстве. Этот тор инвариантен относительно фазового потока невозмущенной системы каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. [c.368]

Таким образом, в соответствии с теоремой Лиувилля, система (1.42) вполне интегрируема, так как обладает г функционально независимыми глобальными интегралами движения, находящимися в инволюции. Ниже мы дадим независимое кон--структивное доказательство этой теоремы, построив в явном [c.154]

Операторы Казимира функциональной группы <3 выражаются через обобщенные импульсы, отвечающие г циклическим переменным фазового пространства, иначе говоря, инвариантные полиномы 0 представляют собой г интегралов движения системы (1.47) в инволюции, одним из которых является гамильтониан (1.45). Нетрудно заметить, что выбор указанных выше начальных условий не нарушает сделанных утверждений. Такн.м образом, динамическая система (1.42) имеет г интегралов движения в инволюции, совпадающих по форме с инвариантными полиномами на О , в которых К = 0, = (1/2)о 6ц. [c.156]

Функции (31.34) — еще одна пара первых интегралов в инволюции. Равенства (31.32) — (31.34) неявно определяют движение qi t), Pi t). [c.186]

Стоит еще отметить, что Н,К и образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций Кх,Ку,К . При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера. [c.192]

Функции 1)3 являются интегралами гамильтоновых уравнений движения, и эти интегралы находятся в инволюции. В самом деле, легко проверить, что левые части уравнений (25.8.7) образуют систему в инволюции требуемый результат следует тогда из теоремы Ли. [c.522]

Уравнения динамики принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. Интегрируемые системы имеют достаточно много независимых первых интегралов (например, для полной интегрируемости гамильтоновой системы с п степенями свободы достаточно знать п интегралов, попарно находящихся в инволюции см. [3, гл. 4]). В соответствии с этим можно выделить интегрируемые биллиардные системы, обладающие полным набором независимых интегралов. Мы укажем основные известные интегрируемые биллиарды, а также некоторые способы их точного интегрирования и исследования качественных особенностей движения. [c.99]

Поэтому / 1, 2 = 0. и интегралы , N1, А) уравнения Эйлера находятся в инволюции на каждой орбите Од,. В работах [176, 177] Мищенко и Фоменко доказали независимость интегралов а, (/И, Л) на орбитах Од,, содержащих почти все М, обобщили систему интегралов и доказали интегрируемость в квадратурах уравнений движения обобщенного твердого тела с пространством угловых скоростей — полупростой алгеброй Ли. [c.311]

НЕИНВОЛЮТИВНЫЙ НАБОР ИНТЕГРАЛОВ. Приведем пример задачи с п степенями свободы, в которой имеется ровно п интегралов движения, но они не находятся в инволюции пусть по сфере движутся две точки, причем потенциальная энергия действующих сил зависит только от расстояния между ними. Тогда сохраняются полная энергия и три компоненты суммарного кинетического момента системы — эти последние и имеют ненулевые скобки Пуассона. [c.272]

В более поздних работах внимание сосредоточилось на качественном исследовании движения гамильтоновых систем, решаемых методом Гамильтона — Якоби, в первую очередь — методом разделения переменных. В научном обиходе появляются специфические для интегрируемых систем переменные действие — угол. Они были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позднее они оказались чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная действия полагалась равной целому кратному постоянной Планка (Дж. Л. Синг [152]). Впервые условия квантования были сформулированы для систем с разделенными переменными, но постепенно стало ясно, что и в самом общем случае совместные уровни полного набора интегралов в инволюции в компактном случае гомеоморфны многомерным торам, что движение по ним в соответствующих угловых переменных происходит по условно-периодическому закону и что переменные действия [c.13]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

Р. Мало того, мы всегда можем выбрать такое контактное преобразование, которому соответствует функция Н, тождественно равная нулю. Отсюда следует, что Р, как и Q, остаются неизменными в процессе движения. Следовательно, если известны п интегралов, находящихся в инволюции, то существуют еще п однозначных интегралов. Совокушность 2п интегралов дает возможность построить полное решение задачи. [c.519]

Гамильтоновы уравнения движения имеют четыре первых интеграла сохраняются полная энергия Я и три проекции (Fl, р2, Fз) момента импульса системы (тело -Ь ротор) на оси неподвижной ортогональной системы отсчета. Нетрудно проверить, что FьF2 = Я, F2,Fз = Ри 3, Fl = р2- Следовательно, функции Я, Р], = Р + Р2+Р находятся в инволюции, и для полной интегрируемости уравнений движения нужен еще один независимый интеграл, коммутирующий с функциями Я, Р и Р . Так, если ротор симметричен относительно своей оси вращения, то дополнительным интегралом является проекция момента импульса [c.273]

В качестве примера с тремя степенями свободы рассмотрим лагранжев тяжелый симметричный волчок, закрепленный в точке на оси. Здесь сразу видны три первых интеграла Н, М , М . Легко проверить, что интегралы и Мд находятся в инволюции. Далее, многообразие Н = кв фазовом пространстве компактно. Поэтому мы без всяких вычислений сразу можем сказать, что при большинстве начальных условий ) движение волчка условнопериодично фазовые траектории заполняют трехмерные торы Н = Сг, М = Са, М = Сд. Соответствующие три частоты называются частотами собственного вращения, прецессии и нутации- [c.239]

Таким образом, кроме интеграла энергии задача Якоби имеет еще п—1 первых интегралов. Ими являются номера софокус-ных квадрик, о которых идет речь в теореме Якоби — Шаля. Можно показать, что они находятся в инволюции и в общем положении независимы. Геометрическое доказательство первого факта можно найти в статье [4, гл. 3L а второй факт проверяется прямым вычислением с использованием эллиптических координат. Итак, гамильтонова система, описывающая движение точки по п-мерному эллипсоиду, имеет ровно п независимых инволютивных интегралов и поэтому вполне интегрируема согласно теореме Лиувилля. [c.105]

Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, <7ь . <7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2,...,находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02,.... ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С],...,С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные <рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...