Интегралы в инволюции

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Отметим, что пример 9.6.5 содержит систему интегралов в инволюции, удовлетворяющую теореме 9.7.9. [c.695]

Теперь становится очевидной тесная связь доказанной теоремы с теоремой Гамильтона — Якоби. Зная п интегралов в инволюции, мы можем построить функцию W по полному дифференциалу (25.7.18), и так как [c.520]

Теорема принимает еще более простой вид, когда функции Я и ф не содержат t. В этом случае мы имеем п интегралов в инволюции [c.520]

Тогда Gi = Fi — Я/, —первые интегралы в инволюции. [c.235]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

ЭФФЕКТИВНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ. Существование переменных р, а было установлено на произвольном каноническом многообразии и без предположения, что интегралы в инволюции заданы в какой-либо канонической системе координат. Если это предположение все же выполнено, то мы можем воспользоваться эффективным пополнением и получить смешанные формулы замены [c.269]

Случай, когда система (6) уже имеет гамильтонову форму вида (7) с не зависящим от времени гамильтонианом Н) и инвариант (8) с функцией С. Тогда для выполнения равенств (21) и (22) достаточно, чтобы функции С и ф были первыми интегралами в инволюции ф,С = 0) обобщённо-консервативной системы. [c.231]

Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

Система канонических уравнений с гамильтонианом (3.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю существуют и+1 независимых первых интегралов в инволюции [c.211]

Выписать полный набор интегралов в инволюции как полной, так и приведенной системы не представляет труда. Исследуем сначала поведение решений приведенной системы. Из уравнений Гамильтона [c.218]

В этом случае, очевидно, П = К". Гамильтоновы системы с п степенями свободы, имеющие п независимых интегралов в инволюции, называются вполне интегрируемыми. [c.83]

Итак, если гамильтонова система решается методом Гамильтона— Якоби с использованием разделения переменных, то в этом случае можно сразу же выписать (dim М)/2 независимых интегралов в инволюции. [c.101]

Теорема 2. Если система с гамильтонианом Н = к имеет п аналитических интегралов в инволюции [c.127]

Применим теорему 3 к гамильтоновой системе с п степенями свободы, обладающей нерезонансным А, -мерным инвариантным тором. Предположим, что эта система допускает г независимых интегралов в инволюции. Утверждается, что спектр соответствующей матрицы Q содержит не менее 2г - к чисел вида г Х, и>), X е Z При к = 1 получаем теорему 4 из 8. Доказательство основано на том факте, что гамильтоновы поля v// ,..., vh являются полями симметрий, причем для них справедливы соотношения (9.9). Для получения нужной оценки остается воспользоваться заключением теоремы 3. [c.235]

Тогда, при малых фиксированных е ф О в любой окрестности замыкания траектории возмущенные уравнения Гамильтона не имеют полного набора независимых интегралов в инволюции. [c.265]

Теорема 4. Пусть преобразование Биркгофа сходится и аналитически зависит от е. Если выполнено условие 1) теоремы 3, то при малых е Ф О уравнения Гамильтона не имеют полного набора независимых аналитических интегралов в инволюции. [c.265]

Доказательство теоремы Лиувилля. Пусть f(z) суть т независимых первых интегралов в инволюции. Если провести симплектическое преобразование с производящей функцией 5 (p,q), определенной (25), то в переменных р, гамильтониан задачи будет иметь вид [c.370]

Для определения решения в исходных переменных необходимо вычислить квадратуры (25). То есть для получения в некоторой области переменных р, q общего решения достаточно уметь вычислить соответствующие квадратуры и разрешить неявные функции. Такие задачи называются интегрируемыми. Тем самым теорема Лиувилля утверждает, что знание всего т независимых первых интегралов в инволюции гарантирует интегрируемость уравнений Гамильтона. В этом одна из специфических особенностей гамильтоновых систем. [c.370]

Задачу при 8 = 0 будем называть невозмущенной. Гамильтониан невозмущенной задачи зависит только от импульсов Часть 8Я1( , Т)) будем называть возмущающей функцией. Будем предполагать, что т ) - 2т1-периодическая функция компонентов вектора Г1. Как мы знаем, если некоторая невозмущенная задача интегрируема (т.е. имеет т интегралов в инволюции), то, описывая возмущенную задачу в переменных действие - угол , определенных для невозмущенной задачи, мы, вообще говоря, приходим к задаче с гамильтонианом в виде (25). То есть рассматриваемый вид гамильтониана (25) является в определенном смысле типичным для задач, близких (8 - мало) к интегрируемым. [c.470]

Говорят, что функции Fn, Fk находятся в инволюции. Системы с полным набором интегралов в инволюции называют вполне интегрируемыми если система с гамильтонианом Н — Н х, р) имеет s первых интегралов Fl = Н, F2,. .., Fg в инволюции, то ее можно проинтегрировать в [c.256]

Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым пространством) известны п независимых первых интегралов в инволюции, то система интегрируема в квадратурах. [c.238]

Другие примеры получаются из следующего замечания если каноническая система интегрируется методом Якоби — Гамильтона, то она имеет п первых интегралов в инволюции. [c.240]

В. Построение переменных действие — угол в Перейдем теперь к системе с п степенями свободы, заданной в = р, q) функцией Гамильтона Н (р, q) и имеющей п первых интегралов в инволюции Fi = Н, F ,. . ., F . Не будем повторять рассуждений, которые привели нас к выбору 2я/ = dg в одномерном случае, и сразу определим п переменных действия Z. [c.248]

А. Невозмущенное движение. Система с гамильтонианом Но (/) имеет п первых интегралов в инволюции п переменных действия). Каждое множество уровня всех этих интегралов представляет собой .-мерный тор в 2п-мерном фазовом пространстве. Этот тор инвариантен относительно фазового потока невозмущенной системы каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется. [c.368]

Теорема 4. Геодезический поток на центральной поверхности второй степени в евклидовом пространстве — вполне интегрируемая по Лиувиллю система имеющая столько независимых интегралов в инволюции, каково число степеней свободы). [c.441]

Оказывается, получающаяся гамильтонова система с п степенями свободы имеет п интегралов в инволюции и может быть полностью проинтегрирована с помощью подходящих координат действие — угол. Таким образом получается конечномерное семейство частных решений уравнения Кортевега — де Фриза, зависящее от Зге -Ь 1 параметров 2п фазовых координат и еще п параметр с , й). [c.468]

Подстановка 5 в уравнения (31.4) и решение относительно а и /г приводит к двум первым интегралам в инволюции один из них Н = к, где Н— функция Гамильтона (31.32), другой — [c.185]

Функции (31.34) — еще одна пара первых интегралов в инволюции. Равенства (31.32) — (31.34) неявно определяют движение qi t), Pi t). [c.186]

Измеримое пространство 122 Изометрия 28 Изоморфизм 20, 34, 123 Инвариант Пуанкаре 232 Инвариантные торы 92, 97 Индуцированный оператор 29, 145 Интегралы в инволюции 208, 210 Интегрируемые системы 93, 107, 208 [c.278]

Проинтегрировать систему уравнений примера 9.6.5 с помощью теоремы 9.7.9 Лиубилля об интегралах в инволюции. [c.703]

Интегралы в инволюции. Ранее (в 24.14) было покавано, что если мы имеем систему из п функций (д р t) класса С2, находящихся в инволюции (т. е. таких, что скобка Пуассона любой пары функций тождественно равна нулю), и если якобиан [c.519]

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72]

В более поздних работах внимание сосредоточилось на качественном исследовании движения гамильтоновых систем, решаемых методом Гамильтона — Якоби, в первую очередь — методом разделения переменных. В научном обиходе появляются специфические для интегрируемых систем переменные действие — угол. Они были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позднее они оказались чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная действия полагалась равной целому кратному постоянной Планка (Дж. Л. Синг [152]). Впервые условия квантования были сформулированы для систем с разделенными переменными, но постепенно стало ясно, что и в самом общем случае совместные уровни полного набора интегралов в инволюции в компактном случае гомеоморфны многомерным торам, что движение по ним в соответствующих угловых переменных происходит по условно-периодическому закону и что переменные действия [c.13]

Таким образом, возмущенную задачу можно считать решенной , если ряды теории возмущений корректно определены и являются сходящимися. Из их сходимости вытекал бы ряд важных следствий (в частности, вечная устойчивость Солнечной системы). Забегая вперед, скажем о разочаровывающем результате Пуанкаре в общем случае из-за наличия так называемых малых делителей ряды теории возмущений расходятся. Более того, расходятся ряды усовершенствованной теории возмущений, предложенной Пуанкаре и Болином, в которой решения разлагаются в ряды не по степеням е, а по степеням у/ё. Заметим, что если ряды теории возмущений сходятся, то уравнения движения имеют полный набор интегралов в инволюции, которые можно представить в виде сходящихся степенных рядов по е (или у/е). [c.15]

Теорема 5 [88]. Пусть существуют п интегралов в инволюции Gk x, 2/, е) = I Е хк, е) х1 + у ) + Gkj x, у, е), аналити- [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...