Разложение экспоненциальное

Закон Планка имеет два предельных случая. К одному из них относится случай, когда произведение КТ велико по сравнению с постоянной С2. При этом можно ограничиться двумя слагаемыми разложения экспоненциальной функции [c.371]

Пусть замкнутая цилиндрическая оболочка, которую мы хотим рассчитывать при помощи уравнений безмоментной теории, ограничена поперечными краями 1=0, I = Иг, где I — длина оболочки. Тогда о точности безмоментной теории можно судить по погрешности, с которой на интервале (0 I) аппроксимируются потенциальные функции (24.9.1а) и (24.9.2а) выражениями вида (24.9.3). Обозначим через k любой из малых корней характеристического уравнения и выпишем известную формулу разложения экспоненциальной функции [c.360]

Вспомнив разложение экспоненциальной функции в ряд, мы можем выполнить суммирование и получить следующее выражение [c.370]

При этом условии можно ограничиться двумя слагаемыми разложения экспоненциальной функции (15-23) в ряд по степеням [c.348]

В зависимости от соотношения коэффициентов передачи Ар.у, йус и /е эта передаточная функция может быть аппроксимирована алгебраической передаточной функцией первого или второго порядка, например, с помощью разложения экспоненциального члена е Р в ряд Пада. [c.223]

Последний шаг здесь состоит в разложении экспоненциальной функции в степенной ряд. [c.324]

Полагая 1 и ограничиваясь в разложении экспоненциального [c.546]

Полученное уравнение (6.28) для системы с сосредоточенными параметрами является наиболее общим. Это уравнение можно упростить путем разложения экспоненциального множителя в ряд с сохранением первых двух членов. Математическое преобразование подобного рода было выполнено в работах [133], [134]. Оно является незаконным в случае построения границ устойчивости, но поскольку оно применяется в ряде исследований, мы покажем, как им пользоваться. [c.153]

Отметим, что (3.3.9) и (3.3.12) представляют собой разложения функций g t) и h t) в ряд Тейлора около точки = 0 (ряд Маклорена). Поэтому приближенное представление g t) с помощью (3.3.11) и h t) с помощью (3.3.13) справедливы вблизи точки = 0, причем чем больше взято членов в (3.3.11) и (3.3.13) [соответственно, чем больше членов в (3.3.10)], тем больше интервал вблизи точки = О, на котором gN t) и Лл/(0 дают достаточно точную аппроксимацию для g t) и h t). В реальных технологических объектах весовая функция g t) экспоненциально стремится к нулю, а переходная функция h(t) при t oo стремится к конечному пределу /г(оо), соответствующему выходу объекта на стационарный режим работы. Фактически за конечное время to происходит изменение g t) от начального значения до нуля и h t) от начального нулевого значения до стационарного значения /2(00) (рис. 3.1), поэтому для получения полной информации о переходных процессах в объекте достаточно выбрать в (3.3.10) столько слагаемых, сколько нужно для того, чтобы соответствующие функции gN t) и hN(t) с необходимой для практических целей точностью аппроксимировали g(t) и h t) в интервале [О, о]. [c.112]

Здесь, как и в разложении Фурье, нет отрицательных частот. Принятое решение имело экспоненциальную форму. Комбинация пары таких решений с равными и противоположными значениями (о дает решение, содержащее только синус или косинус, причем две произвольные постоянные входят в него как произвольные значения амплитуды и фазы. [c.53]

Для обращения этого преобразования нужно представить Фо (s) в виде слагаемых типа a/s и b/(s+a), оригиналами для которых являются, как известно, константы или экспоненциальные функции. Такое разложение решения для (s) на простые дроби осуществляется следующим образом. [c.168]

Для выяснения особенностей распространения волны вблизи нагружаемого конца динамометра воспользуемся разложением показателя экспоненциальной функции в ряд с удержанием первого члена ряда. Получим приближенную зависимость [c.111]

Разлагая обе экспоненциальные функции в ряд и ограничившись первыми членами разложения, получим из (1.12) [c.13]

Но по условию п а — малая величина, поэтому обе экспоненциальные функции без большой погрешности можио заменить приближенным разложением в ряд, тогда [c.53]

Из последнего равенства вытекают две формулы для водородного перенапряжения. В области малых значений т путем разложения в ряд обеих экспоненциальных функций находим [c.74]

Эти выражения применимы лишь в том случае, если отбрасываемые члены быстро уменьшаются или содержат (pRe) . В дальнейшем такая операция будет производиться часто. Разложения (19а) и (19Ь) до пренебрегаемых членов совершенно идентичны. Постоянные С[ и Сг получаются элементарно из условий (16Ь) и (16с). Однако их выражения содержат еще величину f/(l), для получения которой нужно проинтегрировать решение для U. Чтобы выполнить условие (16а), принимаем в качестве начальной точки интегрирования у=0. Так как функции экспоненциально затухают, то при интегрировании основного интеграла, содержащего i или Сь решающую роль играет только пристеночная область. При этом в нашем приближении учитывается только первое слагаемое /го решения (19а). Интегрирование проводится от точки у=0 [c.302]

С целью упрощения использования уравнения (4.4) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три первых члена этого разложения. В результате зависимость погрешности СИ от времени будет представлена в виде [c.174]

Описанные в этой главе ряды Фурье легко распространяются на двух-и трехмерные случаи. Аналогичным образом, когда анализируемые картины являются функциями времени, а не пространства, коэффициенты разложения Фурье относятся к временным частотам, а не к пространственным. Соответствующие уравнения в экспоненциальном виде выглядят тогда следующим образом [c.61]

Описанный способ решения является удобным по двум причинам. Во-первых, возможен непосредственный предельный переход к панели бесконечной длины. Во-вторых, каждый член полученных рядов носит экспоненциальный характер изменения по длине панели, что соответствует характеру искомых решений. Однако описанный метод решения имеет недостатки. Обсуждаемое решение неудобно использовать для панелей, у которых не равны нулю поперечные перемещения. Как будет показано ниже, в этом случае собственные функции оказываются не ортогональными, поэтому нельзя найти коэффициенты рядов в явном виде. Кроме этого, решение малоудовлетворительно в случае достаточно коротких, но широких пластин. В этом случае более выгодно строить разложение искомых функций в тригонометрические ряды по поперечной координате. [c.83]

Рассмотрим сначала задачу I предыдущего параграфа, в которой температура поверхности постоянна. Ранее, в б гл. VII, уже отмечалось, что решением (2.7) предыдущего параграфа неудобно пользоваться при малых значениях v.tja , например при значениях, меньших 0,02. Аналогичное затруднение встречалось и в задачах для пластины и шара. В этих случаях другие решения можно найти, как и в 5 гл. XII, разлагая v в ряд по экспоненциальным функциям с отрицательным показателем. В задачах для цилиндра метод решения еще сложнее он заключается в использовании асимптотического разложения функций Бесселя, вводимого с тем, чтобы получить формулу с показательными функциями, коэффициенты которых служат членами рядов по Ijq [1,7]. [c.325]

В работах [2—6] использовано приближение оптически толстого слоя для исследования влияния излучения на течение в пограничном слое серого газа. Авторы работ [7—11] применили приближение оптически тонкого слоя. В работах [12—14] использованы соответственно экспоненциальная аппроксимация ядра, приближение оптически толстого слоя и метод итераций, а в [15а и 156] с помощью метода разложения по собственным функциям [c.524]

Подставляя два последних выражения в формулу для производящей функции и используя разложение в ряд Тейлора для экспоненциальной функции,. получим [c.237]

Поскольку это волновое число является комплексным, оно отвечает экспоненциально затухающей амплитуде. Следует отметить, что это пространственное затухание существенно зависит от коэффициента в фурье-разложении. Ширина запрещенной зоны определяется величиной Дсо ар 1со — со 1 и в соответствии с (6.1.28) дается выражением [c.176]

Если краевым условиям на боковой поверхности удовлетворять точно, то мы столкнемся с рядом проблем. Следы однородных решений на кривых отличных от координатных из-за экспоненциальных членов обладают гораздо худшими аппроксимационными свойствами, чем на координатных кривых. Поэтому невозможно известными способами [260] получить бесконечную систему приемлемого качества. Если же мы получим решение такой бесконечной системы, то остается открытым вопрос о сходимости полученных разложений. Ряд вопросов, связанных с суммируемостью разложений такого рода, обсуждается в работах [49, 192, М5]. [c.184]

Чтобы определить предельное значение коэффициента поглощения <1 при X, стремящемся к нулю, разложим экспоненциальные функции в формуле (2-112) в ряд и ограничимся двумя первыми членами разложения. Получим [c.54]

Полученные в 2 результаты позволяют установить переход от деформационных свойств к изменению прочности 1[94, 95]. Разложив экспоненциальный сомножитель в степенной ряд и пренебрегая величинами второго порядка малости, оставляя два первых члена разложения, получим [c.53]

Общие решения (У-6), (У-7) и (У-8) используются для получения частных решений конкретных задач теплопроводности. Уравнение (У-6) предполагает экспоненциальное распределение температуры, а уравнение (У-7) допускает разложение распределения в бесконечные [c.74]

Из разложения (7) видно, что ядро k t) имеет логарифмическую особенность в нуле. Кроме того, оно экспоненциально исчезает на бесконечности. С учетом этих факторов, а также первого соотношения (14) можно показать, что справедлива равномерная по t асимптотическая оценка [c.12]

Пусть выделенная на заданном волновом фронте лучевая трубка при подходе к некоторой точке схлопывается, т, е. площадь трубки 5(т) становится равной нулю. При этом нулевой член лучевого разложения (21,23) становится бесконечно большим. Это означает, что структура поля локально не близка к плоской волне, В ряде случаев — каустика, фокус — переход к иным, не экспоненциальным, как при рассмотрении почти плоских волн, функциям позволяет построить асимптотические разложения, в которых уже нулевой член хорошо описывает поле. [c.225]

В этой связи отметим следующее. В силу экспоненциальной формы выражения (3.2.10) и медленной сходимости соответствующих степенных рядов разложения (3.2.16), необходимы, в общем случае, более детальные сведения о структуре турбулентного поля течения многокомпонентной смеси, другими словами знания одних только парных корреляций для пульсирующих температуры и состава (и может быть некоторых моментов более высокого порядка) совершенно недостаточно для удовлетворительного вычисления осредненной величины [c.147]

Используя кластерное разложение для обобщенных экспоненциальных функций [47], получаем [c.241]

При hv< kT показатель степени (hvIkT) <Л. Разлагая экспоненциальную функцию в ряд, можно ограничиться двумя первыми членами ехр (hvIkT) 1 + (hvIkT). Подставляя это разложение в формулу (24.24) и сопоставляя с (24.11), имеем [c.145]

Приведенные выражения позволяют найти квазиклассическое разложение для произвольных величин, представимых в виде фазовых средних. Получаемые при этом разложения, вообще говоря, являются асимптотическими и, как правило, оказываются знакопеременными рядами по четным степеням постоянной Планка плюс экспоненциально малые обменные члены. В этих случаях высшие члены разложения дают возможность получить мажорирующую оценку погрешности квазиклассических формул. [c.224]

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням г. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции i(e) и Лг(е) и два семейства решений системы (12е.д е)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в — окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные. [c.203]

Уравнение (8.10) принимает более простой вид, когда и экспоненциальные функции можно заменить разложением в ряд. Г н этом условии коэффлциеит разностного эффекта [c.153]

Правая часть этого равенства получена путем разложения подынтегральной экспоненты в ряд. При оперировании с экспоненциальными функциями от операторов всегда требуется большая осторожность для правильного учета некоммутативности. В частности, экспонента суммы операторов не равна произведению отдельных экспонент. В частном случае (справедливом для оператора Вейля), когда коммутатор операторов Ь и с является с-числом [см. (1.3.3) , справедлива следующая формула [c.28]

Диффузионный процесс в значительной степени зависит от перемешивания наблюдается линейная зависимость от концентрации реагента и относительно малое влияние температуры кажущаяся энергия активации составляет 8—16 кДж/моль. Для внутренней диффузии характерно резкое уменьшение удельной скорости разложения во времени. Найболее показательным для кинетически определяемого процесса является сильное влияние темпаратуры (обычно экспоненциальная зависимость) энергия активация при этом составляет 40—250 кДж/моль. Процесс не зависит от гидродинамических факторов. [c.313]

Решение этого уравнения ищется в виде разложения по обратным степеням Inka (так называемое экспоненциальное приближение) [c.127]

Влияние ансамбля примесных ионов на поле можно рассчитать приближённо, выбирая в разложении (4.80) 1 = А1 равным времени Т — времени жизни иона в состоянии 1 ) и затем усредняя по С экспоненциальным распределением вероятности для среднего значения Т [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...